Institut Galilée

Institut Galil´ee
Sciences et technologies
Licence 2eme ann´ee SPI
Math´ematiques du deuxi`eme semestre 2010 - 2011
Formes quadratiques
Marie-Claude Werquin
D´epartement de Math´ematiques
www.math.univ-paris13.fr/depart
c
INSTITUT GALILEE, 99 avenue Jean-Baptiste-Cl´ement 93430 VILLETANEUSE 2007/2008

Table des mati`eres
1 Formes quadratiques 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Formes bilin´eaires sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 D´ecomposition de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Loi d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Classification des coniques 11
3

Chapitre 1
Formes quadratiques
1.1 Introduction
IK = IR ou lC).
Eest un IK-espace vectoriel de dimension n.
Soit {e1,··· , en}une base de E. Pour xinE, on a x=x1e1+···+xnen.
Nous allons ´etudier les applications q:E→IK telles que :
q(x) =
n
X
i=1
aiix2
i+X
i6=j
aij xixj
polynˆome homog`ene de degr´e 2 par rapport aux xi, somme de termes ”carr´es”
et de termes ”rectangles”.
1.2 Formes bilin´eaires sym´etriques
D´efinition 1.2.1 On appelle forme bilin´eaire sym´etrique sur Eune appli-
cation f:E×E→IK telle que :
•Lin´earit´e par rapport `a la premi`ere variable :
f(x+x′, y) = f(x, y) + f(x′, y)
f(λx, y) = λf(x, y)
•Sym´etrie :
f(x, y) = f(y, x)
On notera S(E)l’ensembles des formes bilin´eaires sym´etriques sur E.
Exemples
1. Un produit scalaire si IK = IR
1