Chapitre 13 : DISTANCES BISSECTRICES ET

Chapitre 13 :
DISTANCES
BISSECTRICES ET TANGENTES
I) Distance d'un point à une droite :
1) Définition : Distance d'un point à une droite :
La distance d'un point à une droite est la courte distance séparant ce point à un point de
la droite.
Exemple : Sur le dessin ci-dessous, AH est la distance du point A à la droite (d).
En effet, pour tout point M de (d) AH  AM.
2) Propriété :
Si :
(d) est une droite,
– A un point,
– H le point d'intersection de la droite (d) et de la droite perpendiculaire à (d) passant par A.
Alors :
– la distance du point A à la droite (d) est la longueur du segment AH.
–
Exemple :
Dans l'exemple précédent,
(AH) ⊥ (d) donc la distance du point A à la droite (d) est la longueur AH.
II) Bissectrice :
1) Définition : Bissectrice :
La bissectrice d'un angle est la droite qui passe par son sommet et qui le partage en
deux angles adjacents de même mesure.
Exemple :
Sur le dessin ci-contre,
la droite (OC) est la bissectrice de l'angle

AOB :
2) Propriété 1 : (Permet de montrer que deux longueurs sont égales)
Si un point appartient à la bissectrice d'un angle,
Alors ce point est à la même distance des côtés de l'angle
Exemple :
Données :
A appartient à la
bissectrice de 
MON
Conclusion :
Propriété 1
AN' = AM'
3) Propriété 2 : (Permet de conclure qu'un point appartient à la bissectrice d'un angle)
Si un point est équidistant des côtés d'un angle,
Alors ce point appartient à la bissectrice de cet angle.
Exemple :
Données :
AN' = AM'
Conclusion :
Propriété 2
A appartient à la
bissectrice de 
MON
4) Propriété : Centre du cercle inscrit :
Les bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes (se coupent en un même
point).
Ce point de concours est le centre du cercle inscrit au triangle.
Exemple :
II) Tangente à un cercle :
1) Définition : Bissectrice :
Une droite (d) est tangente à un cercle C lorsqu'elle a un unique point commun A avec le
cercle.
On dit alors que (d) est la tangente en A au cercle C.
Exemple :
C et (d) ont un seul point
commun A :
(d) est la tangente en A au
cercle C.
C et (d) ont deux points
communs A et B :
(d) N'est PAS une tangente à C.
C et (d) n'ont aucun point
commun :
(d) N'est PAS une tangente à C.
2) Propriété : Centre du cercle inscrit :
Soit C un cercle de centre O et A un point de ce cercle.
La tangente en A au cercle C est la perpendiculaire à la droite (OA) passant par A.
Exemple :