Maths • Physique • Chimie

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DANIEL FREDON
SANDRINE MARGAIL
DIDIER MAGLOIRE

© Dunod, 2014
5 rue Laromiguière, 75005 Paris
www.dunod.com
ISBN 978-2-10-071365-3
Conception et création de couverture : Atelier 3+
Collaboration technique : Thomas Fredon, ingénieur à l'Université de Limoges
Crédits photographiques :
Portait de Carl Friedrich Gauss : lithographie de Siegfried Detlev Bendixen,
in Astronomische Nachrichten, 1828
Portait de James Clerck Maxwell : Lewis Campbell and William Garnett,
The Life of James Clerk Maxwel, 1882.
Portait de Michael Faraday : R. A. Millikan & H. G. Gale, A First Course in Physics, 1906.

Avant propos
Pour chaque mati` ere propos´ ee dans cet ouvrage (math´ ematiques, physique, chimie), vous
trouverez un r´ esum´ e de cours pour vous aider dans vos r´ evisions tout au long de l’ann´ ee et,
dans la derni` ere ligne droite, juste avant vos concours.
Ces r´ esum´ es sont enrichis - non pas aux omega 3 comme dans la publicit´ e -mais avec des
conseils, des m´ ethodes, des mises en garde, et des exercices types pour vous entraˆ ıner ` a ma-
nipuler les notions pr´ esent´ ees.
Synth` ese des programmes, ce livre vous accompagnera avant tout contrˆ ole oral ou ´ ecrit.
L’ordre de pr´ esentation des notions a ´ et´ e pens´ e en fonction de cet objectif. Ne soyez pas
surpris que l’ordre p´ edagogique de votre cours puisse ˆ etre diff´ erent : l’apprentissage n’est pas
un processus lin´ eaire. Mais il est normal que l’ordre p´ edagogique de votre cours puisse ˆ etre
diff´ erent : l’apprentissage n’est pas un processus lin´ eaire.
Grˆ ace au d´ ecoupage en fiches et ` alapr
´
esence d’un index tr` es d´ etaill´ e, vous retrouverez faci-
lement, et ` a tout moment, les notions que vous souhaitez r´ eviser.
Le livre de la mˆ eme s´ erie de premi`
ere ann´ ee vous sera utile car, rappelez-vous, le programme
des concours que vous passerez porte sur les deux ann´ ees de classes pr´ eparatoires.
Dans chaque des fiches, certaines parties sont mises en valeur par un fond tram´ e:
−pour mettre en ´ evidence un r´ esultat important,
−avec le pictogramme (prenez note !) pour des commentaires, remarques, m´
ethodes,
−avec le pictogramme (Attention, danger !) pour des mises en garde, des erreurs `
a
´
eviter.
Un r´ esum´ e de cours n’est pas un cours complet. Pour ceci, rien ne remplace le cours de votre
professeur. Vous pouvez aussi consulter le catalogue Dunod, riche de nombreux manuels et
ouvrages d’entraˆ ınement.
N’h´ esitez pas ` a nous communiquer vos critiques, vos propositions d’am´ elioration, et aussi
vos encouragements.
Daniel Fredon Didier Magloire Sandrine Margail
[email protected] didier[email protected] sandrine [email protected]
math´ ematiques physique chimie
Un grand merci ` a Claude Morin pour sa relecture minutieuse de la partie maths, Matthieu
Daniel pour le suivi attentif de la r´ ealisation de ce livre et ` a Thomas Fredon sans qui ce livre
n’existerait pas.

Table des mati`eres
Avant-propos 3
Math´ematiques
Alg`ebre
1. Compl´ements sur les groupes page 11
2. Compl´ements sur les anneaux page 14
3. R´eduction des endomorphismes page 20
4. Compl´ements sur les espaces euclidiens page 26
Analyse
5. Fonctions convexes page 31
6. Topologie des espaces norm´es page 34
7. S´eries num´eriques et familles sommables page 41
8. Suites et s´eries de fonctions page 45
9. S´eries enti`eres page 50
10. Fonctions vectorielles page 55
11. Int´egration sur un intervalle quelconque page 59
12. ´ Equations diff´erentielles lin´eaires page 64
13. Calcul diff´erentiel page 70
Probabilit´es
14. Calcul des probabilit´es page 77
15. Variables al´eatoires discr`etes page 82
16. Esp´erance et variance page 86
Corrig´es des math´ematiques page 91