Calcul de la puissance annulatrice du radical à partir du carquois

Calcul de la puissance annulatrice du radical à partir du
carquois ordinaire
par
Marion Henry
mémoire présenté au Département de mathématiques
en vue de l’obtention du grade de Maître ès sciences (M. Sc.)
FACULTÉ DES SCIENCES
UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Sherbrooke, Québec, Canada, décembre 2015

Le 18 décembre 2015,
le jury a accepté le mémoire de Madame Marion Henry
dans sa version finale.
Membres du jury :
Professeur Ibrahim Assem
Directeur de recherche
Département de mathématiques
Professeure Vasilisa Shramchenko
Membre interne
Département de mathématiques
Professeur Thomas Brüstle
Membre interne
Département de mathématiques
Professeur Shiping Liu
Président-rapporteur
Département de mathématiques
ii

RÉSUMÉ
Dans ce mémoire, on commence par introduire le radical de la catégorie mod Apour une
algèbre donnée Ade dimension finie sur un corps algébriquement clos, avant d’en définir
la puissance annulatrice dans le cas où Aest de représentation finie. On calcule ensuite
cette puissance annulatrice en fonction du nombre de cordes dans le carquois ordinaire
QA, dans le cas où Aest une algèbre inclinée itérée de type A.
Mots-clés : Catégorie de modules, radical, degré, puissance annulatrice, corde, algèbre
inclinée itérée de type A.
iii

REMERCIEMENTS
Je tiens avant tout à remercier mon directeur de recherche, Dr. Ibrahim Assem, pour ses
encouragements à intégrer le groupe de recherche en algèbre de l’Université de Sherbrooke
puis pour sa disponibilité, son grand soutien autant professionnel que personnel et les
nombreuses discussions mathématiques tout au long de mes études de maîtrise. Je tiens
aussi à souligner la disponibilité de Dr. Shiping Liu que j’ai sollicité à plusieurs reprises
durant mes travaux de recherche.
J’aimerais également remercier Dr. Ibrahim Assem ainsi que le département de mathé-
matiques de l’Université de Sherbrooke pour leur précieux soutien financier.
Enfin, je tiens à remercier mes collègues du département de mathématiques et le groupe
de recherche en algèbre pour leur appui et les divers moments de partage durant ces deux
années de maîtrise, ainsi que ma famille et mes amis pour leur indispensable soutien du-
rant mes études à Sherbrooke.
Marion Henry
Sherbrooke, novembre 2015
iv

TABLE DES MATIÈRES
RÉSUMÉ iii
REMERCIEMENTS iv
INTRODUCTION 1
CHAPITRE 1 — Prérequis sur le radical 4
1.1 Radical d’une algèbre ............................. 4
1.2 Radical de la catégorie mod A........................ 10
1.2.1 Rappels sur les catégories ...................... 10
1.2.2 La catégorie mod A.......................... 13
1.3 Rappels sur la théorie d’Auslander-Reiten ................. 19
1.4 Cas particulier des algèbres de Nakayama .................. 27
CHAPITRE 2 — Degrés des morphismes irréductibles 31
2.1 Définition et premières propriétés ...................... 32
v