Cours de Mathématiques

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Table des matières
I Arithmétique 9
1 5ème - Enchaînements d’opérations 11
1.1 Vocabulaire ................................................. 12
1.2 Enchaînements d’opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 5ème - Nombres relatifs 15
2.1 Se repérer sur un axe gradué, dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Comparer des nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Additionner des nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Soustraire un nombre relatif à un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Simplifier l’écriture d’une somme de relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 6ème - Division 19
3.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Division décimale .............................................. 20
3.3 Division par 10, 100, 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 6ème - Fractions 23
4.1 Situation de partage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Ecriture fractionnaire d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Différentes écritures fractionnaires pour un même nombre ..................... 25
4.4 Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire ......................... 26
5 5ème - Fractions 29
5.1 Ecriture fractionnaire d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Différentes écritures fractionnaires pour un même nombre ..................... 31
5.4 Comparer des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.5 Ajouter, soustraire des nombres en écriture fractionnaire ...................... 33
5.6 Multiplier des nombres en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 4ème - Nombres en écriture fractionnaire 35
6.1 Transformer, simplifier une écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Produits en croix et égalité de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3 Multiplier des nombres en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4 Inverse d’un nombre relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.5 Diviser par un nombre en écriture fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.6 Ajouter, soustraire des nombres en écriture fractionnaire ...................... 38
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7 4ème - Puissances 39
7.1 Comprendre les notations anet a−n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2 Effectuer des produits, des quotients de puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2.1 Opérations sur les puissances d’un même nombre ...................... 41
7.2.2 Calculer une puissance d’un produit ou d’un quotient .................... 42
7.2.3 Prendre la puissance d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.3 Multiplier un nombre décimal par 10n, par 10−n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.4 Ecriture scientifique d’un nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.5 Obtenir un ordre de grandeur ou un encadrement du résultat d’un calcul en utilisant la notation scientifique
7.6 Effectuer à la main des calculs avec des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.7 Puissances et utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8 3ème - Racines carrées 45
8.1 Définition .................................................. 45
8.2 Produit, quotient de racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.3 Equation x2=a............................................... 47
8.4 Comment éliminer le radical du dénominateur d’une fraction ? ................... 48
8.5 En géométrie ................................................ 48
9 3ème - PGCD 49
9.1 Relation de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9.1.1 Diviseurs d’un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9.1.2 Diviseurs communs à deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.1.3 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.1.4 Propriétés des diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.2 Calcul du PGCD de deux nombres à l’aide d’algorithmes ....................... 52
9.2.1 Algorithme des différences successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9.2.2 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9.3 Fractions irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.4 Eléments culturels et historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II Algèbre 55
10 5ème - Calcul littéral et distributivité 57
10.1 Distributivité de la multiplication sur l’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10.2 Expressions littérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10.3 Simplification de l’écriture d’une expression littérale ......................... 59
10.4 Distributivité appliquée au calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10.5 Tester si une égalité est vraie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
11 3ème - Ecritures littérales, identités remarquables 61
11.1 Développer un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11.1.1 Distributivité simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
11.1.2 Distributivité double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
11.1.3 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.2 Factoriser une somme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.2.1 Avec un facteur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.2.2 Avec les identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
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12 4ème - Calcul littéral, équations 65
12.1 Remplacer la lettre par un nombre dans une expression littérale ; tester une égalité ....... 66
12.2 Développer un produit grâce à la règle de distributivité simple ................... 66
12.3 Factoriser, réduire une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
12.4 Règles de suppression des parenthèses précédées d’un signe +, d’un signe −........... 67
12.5 Double distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
12.6 Résoudre une équation du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
12.7 Mettre en équation et résoudre un problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
13 3ème - Equations et inéquations 71
13.1 Equations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
13.2 Equations-produits ............................................. 73
14 3ème : Systèmes d’équations 75
14.1 Equation à deux inconnues, système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
14.2 Méthodes de résolution d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
15 3ème - Fonctions 81
15.1 Fonction linéaire .............................................. 82
15.1.1 Définitions .............................................. 82
15.1.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire ....................... 83
15.1.3 Fonction linéaire et pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
15.2 Fonction affine ............................................... 85
15.2.1 Définitions .............................................. 85
15.2.2 Représentation graphique d’une fonction linéaire ....................... 85
15.2.3 Proportionnalité des accroissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
III Figures géométriques 89
16 5ème - Parallélogramme 91
16.1 Reconnaître un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
16.2 Centre de symétrie d’un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
16.3 Utiliser les propriétés d’un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
16.4 Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ....................... 94
16.5 Reconnaître un parallélogramme particulier grâce à sa définition ................. 94
16.6 Utiliser les propriétés des parallélogrammes particuliers ....................... 95
16.7 Déterminer la nature d’un parallélogramme particulier (rectangle, losange, carré) ....... 96
17 5ème - Triangles 99
17.1 Somme des mesures des angles dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
17.2 Angles et triangles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
17.3 Utiliser l’inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
17.4 Construction de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
17.5 Médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
17.6 Comment construire la médiatrice d’un segment ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
17.7 Cercle circonscrit à un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
17.8 Médiane, hauteur dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
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