Cours développer, factoriser pour résoudre

Seconde
Cours Développer, factoriser pour résoudre
I. Développement – factorisation
a) Développer
Développer un produit, c’est l’écrire sous forme d’une somme.
Réduire une somme, c’est l’écrire avec le moins de termes possibles.
4
1
Exemple : Développer et réduire l’expression A(x) = x –  (x – 2)
5
2
b) Factoriser
Factoriser une expression, c’est l’écrire sous forme d’un produit.
Exemple : Factoriser l’expression B(x) = (3x – 1)(2x + 4) – (x – 5)(3x – 1)
c) Identités remarquables
(a + b)²
(a – b)²
(a – b)(a + b)
on développe
=
=
=
on factorise
a² + 2ab + b²
a² – 2ab + b²
a² – b²
Exemples :
1. Développer à l’aide d’une identité remarquable :
Développer C(x) = (2x + 4)² – (4x – 6)(4x + 6).
2. Factoriser à l’aide d’une identité remarquable :
Factoriser D(x) = (x – 1)² – 9 puis E(x) = 2x² + 8x + 8
D(x) =
E(x) =
1
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3. Ecrire sous la forme d'un quotient :
x+3 x+1
F(x) =
–
x-1 x+2
On réduit les fractions au même dénominateur : un dénominateur commun à (x - 1) et
(x + 2) est (x – 1)×(x + 2).
F(x) =
II. Fonctions polynômes de degré 2
a) Définition
Dire qu'une fonction f définie sur  est une fonction polynôme de degré 2, signifie qu'il existe
des nombres réels a (a ≠ 0), b et c tels que pour tout réel x :
f(x) = ax² + bx + c.
Il s'agit de la forme développée de f(x).


On admet que f(x) peut aussi s'écrire sous la forme f(x) = a(x - )² +  où  et  sont des
nombres réels. Il s'agit de la forme canonique de f(x).
On peut parfois factoriser f(x).
On obtient alors f(x) = a(x – x1)(x – x2).
Il s'agit, lorsqu'elle existe, de la forme factorisée de f(x).
b) Exemples
Pour tout x, f(x) = (x – 2)² + 1
Pour tout x, f(x) = 8 – 2(x – 1)²
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III. Egalités et équations
a) Egalité
Une égalité est une affirmation utilisant le signe « = » et qui ne peut être que vrai ou fausse.
Les identités remarquables sont des égalités.
Une égalité permet d’utiliser le principe de substitution :
Ainsi, pour f(x) = x² - 3x + 1, si on choisit x = a + 2, alors :
b) Equation
Une équation est une égalité où figure un nombre inconnu.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possibles de l’inconnue telles que
l’égalité soit vraie.
On détermine ainsi l’ensemble des solutions.
Exemple : 6 est solution de l’équation 2 + x = 8 car l’égalité 2 + 6 = 8 est vraie.
c) Résolution algébrique d’une équation
Règle du produit nul :
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un des facteurs est nul :
A  B = 0  A = 0 ou B = 0
Règle du quotient nul :
Un quotient est nul si, et seulement si, le numérateur est nul, mais pas le dénominateur :
N
 0  N = 0 et D  0
D
Exemples :
Résoudre (x + 4)(5 -7x) = 0
Résoudre
4x + 1
=0
x+2
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Résolution d’une équation du premier degré
Règles
Lorsqu’on ajoute ou que l’on retranche un même réel aux deux membres d’une équation, on
obtient une autre équation qui a exactement les mêmes solutions.
Lorsqu’on multiplie ou que l’on divise chaque membre d’une équation par un même réel différent
de 0, on obtient une autre équation qui a exactement les mêmes solutions.
Exemple : Résoudre l’équation : 3x – 4(3 + x) + 5(2x – 1) = 5 – x
Résolution des équations du type « x² = a » (a étant un paramètre réel)

Si a < 0 alors l'équation « x² = a » n'a pas de solution.
S=

Si a = 0 alors l'équation « x² = a » a comme solution unique le nombre 0.
S = {0}

Si a > 0 alors l'équation « x² = a » a deux solutions - a et a.
S = {- a;
a}
Exemple : Résoudre l'équation (x + 3)² - 5 = 0
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d) Résolution graphique d’une équation
Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère.
Equation f(x) = k (avec k réel)
Les solutions sont les abscisses des points
d’intersection de Cf avec la droite d’équation
y = k.
Equation f(x) = g(x)
Les solutions sont les abscisses des points
d’intersection des deux courbes Cf et Cg.
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