UE103 – Optique géométrique - Devoir surveillé N°1 - 02/11/07 2/3
Solutions :
I) La loi de Descartes appliquée à l’interface coeur-gaine s’écrit : n2 sin(π/2- θ) = n1 sin(r) où
r est l’angle que fait le rayon réfracté avec la normale à la surface. Il y’a donc réflexion totale
lorsque n1 sin(π/2- θ) > n2, i.e. lorsque cos(θ) > n1/n2.Définissons alors l’angle β tel que
cos(β)=n1/n2. Un faisceau est donc piégé dans la fibre lorsque θ<β.
Le temps de parcourt minimal est réalisé par le rayon passant par l’axe de la fibre. Celui-ci
met pour parcourir la distance L un temps L/v où v=c/n2 est la vitesse de parcourt de la
lumière dans le milieu n2. Le rayon qui effectue le trajet le plus long est celui dont l’angle θ
est le plus grand, i.e. à la limite l’angle θ=β . On voit aisément d’après la figure que ce rayon
parcourt, avant d’arriver à l’extrémité de la fibre, un nombre p de segments de longueurs
égales à la distance OM (voir figure). Le nombre P de segments est égal à p= L/ON. Or
cos(β)=ON/OM, donc la distance parcourue par ce rayon est p OM=L/cos(β) et le temps mis
par celui-ci est donc égal à Ln2/cos(β)/c. La différence de temps de parcourt entre le second et
le premier rayon est alors égal à Dt = L n2/c (n2/n1 – 1 ).
gaine
coeur
n2
n1
θ
θ
L
M
N
O
II) On voit aisément d’après la figure que tan (t)=A’B’/OA’= AB/OA d’où A’B’/AB=
OA’/OA. Considérons le faisceau lumineux A-I-A’. On a tan(u)= OI /AO et tan
(u’)=OI/A’O, il vient alors que tan(u) OA = tan(u’) OA’. Nous sommes dans les conditions
de Gauss par conséquent l’angle u est petit et par voie de conséquence l’angle u’ également.
On a donc u OA = u’ OA’. Multiplions cette équation par AB/OA. Il vient alors donc u AB =
u’ AB (OA’/OA) . Or d’après ce qui précède A’B’/AB= OA’/OA, d’où la relation de
Lagrange-Helmholtz : u AB = u’ AB.
B
A
uA’
B’
u'
O
I
t
t
III) Soit A’ l’image d’un objet A à travers la lentille de distance focale f’. La relation de
conjugaison s’écrit pour cet objet : '
11
'
1f
OAOA =− . Posons x=A’O et D= AA’. La relation de