TP 7 - DTU Compute

Vincent Neiger et Henri Lastakowski
2010–2011
Matlab – TP no 7
Exercices de révision
1
Suite récurrente linéaire d’ordre 2
On considère la suite (un ) définie par u1 = 2, u2 = 1 et pour n > 2, un = − 65 un−1 + 23 un−2 .
(En mathématiques, vous savez que ce problème admet une unique solution, et vous savez la
trouver !)
Q 1.a)
Q 1.b)
Écrire une fonction qui calcule le n-ième terme de la suite.
Tracer le graphe de (un ) pour n compris entre 1 et 100. Que peut-on conjec-
turer ?
Q 1.c) Tracer le graphe de (un ) pour n compris entre 1 et 300. La conjecture était-elle
correcte ? Que s’est-il passé ?
2
Calcul de racine carrée
De nombreuses fonctions (logarithme, exponentielle, cosinus...) ne se calculent pas directement, il faut prévoir un algorithme de calcul pour accéder (le plus rapidement possible) aux
résultats souhaités, généralement en n’utilisant que les quatres opérations de base (addition,
soustraction, multiplication et division).
Par exemple, pour le calcul de la racine carré d’un nombre A, un algorithme très efficace
est celui-ci :
– On part d’une valeur arbitraire u1 > 0.
– On calcule à chaque étape un+1 = 12 (un + uAn ).
– On s’arrête lorsque l’on a obtenu une précision suffisante.
√
Q 2.a) Se convaincre que la suite définie ainsi converge vers A.
Q 2.b) Prendre A = 2, u0 = 1, et écrire une fonction utilisant une boucle for pour
calculer le n-ième terme de la suite. Est-ce que la suite converge rapidement ?
Q 2.c) À l’aide d’une boucle while, réécrire cette fonction pour s’arrêter lorsque l’on
a obtenu une précision de 10−k , k entier naturel.
Q 2.d) Connaissez-vous d’autres algorithmes pour calculer une racine carrée ? (la
réponse est oui !). Si vous êtes en avance sur vos voisins, implémentez-les dans matlab et comparez l’efficacité des différents algorithmes.
Matlab – TP no 7
3
Exercices de révision
2/2
Division euclidienne et calcul du PGCD
Théorème (Division euclidienne). Pour tout entier naturel a et tout entier naturel non nul b, il
existe un unique couple d’entiers (q, r) tel que a = bq + r avec 0 6 r < b.
Q 3.a) Écrire une fonction matlab qui retourne le quotient et le reste de la division
euclidienne de a par b. Pour cette question, il est interdit d’utiliser la fonction mod existant
dans matlab : vous n’avez le droit qu’à des soustractions, des comparaisons et l’utilisation de
boucles while.
L’algorithme d’Euclide pour trouver le pgcd de deux nombres a et b est basé sur la remarque suivante :
On suppose que a ≥ b. Si b = 0, alors le pgcd de a et b est a, sinon le pgcd de a et b est égal
au pgcd de b et r, avec r le reste de la division euclidienne de a par b.
Par exemple pour a = 15 et b = 9, on aura successivement :
(a, b, r) = (15, 9, 6) → (9, 6, 3) → (6, 3, 0) → (3, 0, −). Donc le pgcd est 3.
Q 3.b) Pour calculer des fonctions comme la factorielle, on connaissait le nombre
d’étapes à effectuer. Est-ce le cas ici ?
Q 3.c) Donner un algorithme qui calcule le pgcd de deux nombres, en utilisant une
boucle while.