ECS1 LLG T.D. 16 2011/2012 Exercice 1. Soit Ω = Æ. Déterminer la

ECS1 LLG
T.D. 16
2011/2012
Exercice 1. Soit Ω = N. Déterminer la tribu engendrée par {{1, 2}, {3, 4}} puis par
{{1, 2}, {3, 4}, {1, 2, 3, 4}}.
Exercice 2. Une sauterelle parcourt un triangle équilatéral ABC. Elle se promène de la
façon suivante : si elle est au sommet A ou B, elle se dirige en sautant vers A, B ou C avec
la même probabilité (elle peut choisir de sauter sur place). Si elle est en C, elle se dirige
toujours vers A.
On observe cette sauterelle à partir d’un certain moment. Elle est alors en A avec
probabilité a0 , en B avec probabilité b0 et en C avec probabilité c0 . On note an (resp. bn ,
cn ) la probabilité que la sauterelle soit en A (resp. B, C) après le nième saut.

 

an+1
an
1. Montrer qu’il existe une matrice A d’ordre 3 telle que  bn+1  = A  bn .
cn+1
cn
2. Montrer que A est diagonalisable, la diagonaliser.
3. En déduire une expression des probabilités an , bn et cn en fonction de n.
Exercice 3. Dans cet exercice, on ne demande pas de modélisation précise.
Un joueur lance un nombre infini de fois et de manière indépendante une pièce dont la
masse peut varier. On note pi la probabilité que la pièce montre Pile au ième lancer. Quelle
est la probabilité que la première apparition de Pile soit au nième lancer ? Quelle est la
probabilité que Pile n’apparaisse jamais ? En déduire que pour toute suite (pi ) d’éléments
de [0, 1] on a


+∞
n−1
+∞
X
Y
Y
 pn
(1 − pj ) +
(1 − pi ) = 1
n=1
j=1
i=1
Exercice 4. On lance deux dés équilibrés jusqu’à ce que la somme de leurs valeurs soit 5
ou 7.
1. Soit En l’évènement « on obtient 5 au nième jet, et ni 5 ni 7 avant ». Calculer P (En ).
2. Quelle est la probabilité que le jeu s’arrête sur une somme de 5 ?
3. Quelle est la probabilité que le jeu s’arrête sur une somme de 7 ?
4. Quelle est la probabilité que le jeu ne s’arrête jamais ?
Exercice 5. Soit p ∈]0, 1[. Une personne joue à pile ou face. La pièce est biaisée et donne
Pile avec probabilité p. La personne gagne dès qu’elle obtient deux piles de plus que de faces
et est perdante dès qu’elle obtient deux faces de plus que de piles. Quelle est la probabilité
que la partie dure au moins 2n lancers ? Quelle est la probabilité de gagner ?
Exercice 6. Une urne contient deux boules blanches et une boule rouge. On effectue des
tirages successifs d’une boule dans cette urne avec remise. On s’arrête dès qu’on tire la
boule rouge. Montrer que l’on effectuera presque-sûrement un nombre fini de tirages.
Exercice 7. n joueurs jouent successivement à pile ou face avec une pièce biaisée (la
probabilité de gagner est p ∈]0, 1[). Si le premier joueur perd, la partie s’arrête. Si il gagne,
c’est au deuxième joueur de lancer la pièce, avec les mêmes règles. Si jamais le dernier
joueur lance la pièce : soit il perd et le jeu s’arrête, soit il gagne et donne la pièce au
premier joueur. On continue tant que personne ne perd. Quelle est la probabilité que le
kième joueur perde pendant sa ième tentative ? Quelle est la probabilité que le kième joueur
perde la partie ?
J. Gärtner.
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Exercice 8. Une urne contient 1 boule blanche et 1 boule noire. On effectue des tirages
successifs dans cette urne. Si on tire la boule blanche, on s’arrête. Si c’est une boule
noire, on la remet dans l’urne et on y ajoute autant de boules noires que l’urne contenait
de boules à l’étape précédente. On note An l’évènement « le nième tirage amène pour la
première fois
la boule
blanche ». Calculer les probabilités de A1 et A2 . Montrerque P (A
n ) =
1 Qn−1
1
1
1 − k . Déterminer la nature de la série de terme général ln 1 − k . En
2n k=1
2
2
déduire lim P (An ) et interpréter le résultat.
P
Exercice 9. On sait que la série n>k nk xn converge si x ∈] − 1, 1[. Rappeler la valeur
de la somme.
2
Soit p ∈]0, [. En France, la probabilité qn qu’une famille ait exactement n enfants est
3
1 n
1
pour n > 1, p . Par ailleurs, la probabilité d’avoir un garçon est à chaque naissance.
2
2
1. Quelle est la probabilité pour qu’une famille ait au moins un enfant ? Quelle est la
probabilité q0 qu’une famille n’ait pas d’enfant ?
2. Soit n > 1 et 0 6 k 6 n. On considère une famille de n enfants. Quelle est la
probabilité qu’elle ait exactement k garçons ?
3. Soit k > 1. Calculer la probabilité qu’une famille ait exactement k garçons.
4. Quelle est la probabilité qu’une famille n’ait aucun garçon ?
Exercice 10. On lance un dé équilibré, et on recommence tant que l’on n’a pas obtenu 6.
Soit A l’évènement « on effectue un nombre fini de lancers ». Calculer P (A). On donnera
deux méthodes.
J. Gärtner.
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