Chapitre XIV – Lois Normales 1 Approximation de la loi binomiale

Chapitre XIV – Lois Normales
1 Approximation de la loi binomiale centrée réduire
Théorème 1. (de Moivre-Laplace)
Pour tout entier naturel n, soit Xn une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n; p).
X −np
On pose Zn = p n
, variable centrée réduite associée à Xn (elle a pour espérance 0 et pour écart-type 1).
n p (1 − p)
Pour tous réels a, b tels que a < b :
lim P (a 6 Zn 6 b) =
n→+∞
Z
b
a
x2
1
−
√
e 2 dx
2π
Remarque. Quand n > 30 ; n p > 5 et n p (1 − p) > 5, on pourra approcher une loi binomiale B(n; p) par une loi normale N (µ; σ 2) avec
µ = n p et σ = n p (1 − p) avec une erreur très faible sur les probabilités calculées.
2 Loi normale centrée réduite : N (0; 1)
Définition 1. On dit qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite, notée N (0; 1), si elle admet comme
densité de probabilité la fonction ϕ, définie sur R par :
x2
1
−
ϕ(x) = √
e 2
2π
ϕ est appelée fonction de densité de Laplace-Gauss.
Remarque. • Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N (0; 1) alors, pour tous réels a, b tels que a < b :
Z b
x2
1
−
√
e 2 dx
P (a 6 X 6 b) =
2π
a
•
On calculera P (a 6 X 6 b) à la calculatrice ou à l’aide d’une table de valeurs.
Proposition 1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale, N (0; 1).
L’espérance de X, E(X) = 0 (la loi est centrée en 0) et l’écart-type σ(X) = 1 (la loi est réduite).
Proposition 2. Fonction de densité ϕ et courbe de Gauss
1. ϕ est une fonction de densité dont la courbe est appelée courbe de Gauss ou gaussienne.
•
•
ϕ est continue et positive sur R,
Z +∞
Z +∞
x2
1
−
√
ϕ(x) dx =
e 2 dx = 1 (aire totale sous la courbe).
2π
−∞
−∞
1
2. Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (ϕ paire), elle a pour maximum ϕ(0) = √
2π
≈ 0,4.
3. Pour tout réel a,
0, 5 0, 5
P (X 6 0) = P (X > 0) =
0
−a
0
1
2
a
a
P (X > a) = P (X 6 −a)
0
P (X 6 a) = 1 − P (X > a)
À connaître. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale, N (0; 1).
0, 68
−1
0 1
P (−1 6 X 6 1) ≈ 0,68
0, 997
0, 95
−2
0
2
P (−2 6 X 6 2) ≈ 0,95
0
−3
P (−3 6 X 6 3) ≈ 0,997
À la calculatrice. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale, N (0; 1), pour calculer P (a 6 X 6 b) :
On connaît [a; b] et on veut déterminer une probabilité.
TI
(donne
Touches 2nde + var
normalFRép(a,b,µ,σ)
distr )
Casio
Touches MENU Stat DIST Norm NCD
Lower : a
Upper : b
σ : 1
En prenant pour valeurs de a et b des réels, -10^99 (pour −∞) ou 10^99 (pour +∞)
µ : 0
3
Tale S2
Chapitre XIV – Lois Normales
Guist’hau - 2014/2015
Intervalle centré de probabilité donnée
Proposition 3. Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale, N (0; 1) alors pour tout réel α ∈ ]0; 1[, il existe uα > 0 tel que :
P (−uα 6 X 6 uα) = 1 − α
Démonstration. ROC dans le cahier de bord À connaître. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale, N (0; 1).
Pour α = 0,05, 1 − α = 0,95 et u0,05 ≈ 1,96
Pour α = 0,01, 1 − α = 0,99 et u0,01 ≈ 2,58
0, 99
0, 95
−1, 96
0
1, 96
−2, 58
P (−1,96 6 X 6 1, 96) ≈ 0,95
2, 58
0
P (−2,58 6 X 6 2,58) ≈ 0,99
À la calculatrice. Si X suit la loi normale, N (0; 1). Pour calculer la valeur de a telle que P (X 6 a) = 0,4 par exemple.
On connaît une probabilité et on veut déteminer un intervalle ]−∞; a].
TI
(donne distr )
Touches 2nde + var
FracNormal(p,µ,σ) avec p=0.4,µ=1,σ=1
Casio
Touches MENU Stat DIST
Area : 0.4
σ : 1
Norm InvN
µ : 1
3 Loi normale d’espérance µ et d’écart-type σ : N (µ; σ 2)
Définition 2. On dit qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale de paramètres µ et σ, notée N (µ; σ 2), si la variable
X−µ
aléatoire Y = σ suit une loi centrée réduite N (0; 1).
Représentation graphique.
→
La fonction de densité de la loi N (µ; σ 2) n’est pas à connaître. Sa
courbe est appelée courbe de Gauss ou gaussienne.
→
Elle est symétrique par rapport à la droite d’équation x = µ.
On a ci-contre les courbes des densités des lois normales :
N (0; 12) ; N (2; 12) ; N (7; 12).
→
µ=0
0.4
µ=2
µ=7
0.2
0
L’écart-type σ donne la « dispersion » autour de la moyenne. Plus
σ est grand, plus le sommet de la courbe est bas.
On a ci-contre les courbes des densités des lois normales :
N (2; 0,52) ; N (2; 12) ; N (2; 22).
0
−4 −3 −2 −1
1
2
3
4
5
6
7
8
σ = 0, 5
0.8
0.6
0.4
Interprétation.
X a pour moyenne µ et écart-type σ
X − µ est centrée, elle a pour moyenne 0 et écart-type σ
X−µ
Y = σ est centrée et réduite, elle a pour moyenne 0 et écart-type 1
σ=1
0.2
σ=2
0
−4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
6
Proposition 4. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale, N (µ; σ 2).
L’espérance de X, E(X) = µ et l’écart-type σ(X) = σ .
Propriété 1. Pour tout réel a,
0, 5 0, 5
µ
P (X 6 µ) = P (X > µ) = 0,5
µ−a µ
µ+a
a
P (X 6 µ − a) = P (X > µ + a)
2
P (X 6 a) = 1 − P (X > a)
7
9
Tale S2
Chapitre XIV – Lois Normales
Guist’hau - 2014/2015
À connaître. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale, N (µ; σ 2).
µ−σ
µ
0, 997
0, 95
0, 68
µ+σ
µ − 2σ
P (µ − σ 6 X 6 µ + σ) ≈ 0,68
µ + 2σ
µ
µ − 3σ
µ
µ + 3σ
P (µ − 3 σ 6 X 6 µ + 3 σ) ≈ 0,997
P (µ − 2 σ 6 X 6 µ + 2 σ) ≈ 0,95
Exemple 1. Soit X la variable aléatoire égale au temps de travail personnel quotidien d’un élève de terminale. X suit approximativement une loi normale
de moyenne µ = 3 et σ = 0,9. Déterminer P (2,1 6 X 6 3,9) et P (1,2 6 X 6 4,8).
P (1,2 6 X 6 4,8) = P (3 − 2 × 0,9 6 X 6 3 + 2 × 0,9) ≈ 0,95
P (2,1 6 X 6 3,9) = P (3 − 0,9 6 X 6 3 + 0,9) ≈ 0,68
À la calculatrice. On reprend les mêmes commandes que pour la loi N (0; 1).
Exemple 2. Soit X la variable aléatoire égale au temps de travail personnel quotidien d’un élève de terminale (en heures). X suit approximativement une
loi normale de moyenne µ = 3 et σ = 0,9.
•
Calculer P (1 6 X 6 5) et P (X < 4) puis en déduire P (X > 5) et P (4 6 X < 5). Donner les résultats à 10−4 près.
TI
(donne
Touches 2nde + var
normalFRép(a,b,µ,σ)
ici normalFRép(1,5,3,0.9)
À la calculatrice :
P (1 6 X 6 5) ≈ 0,9737
P (X > 4) ≈ 0,1333
◦
distr )
Touches MENU Stat
Lower : 1
Upper : 5
σ : 0.9
µ : 3
Casio
DIST Norm
NCD
1
3
1
3
à la calculatrice, P (X > 4) ≈ P (4 < X < 1099)
Interprétation :
La probabilité qu’un élève travaille entre 1 et 5 heures est de 0,97 environ.
Environ 13 % des élèves travaillent plus de 4 heures par jour.
P (X > 5) = 0,5 − P (3 6 X 6 5)
P (1 6 X 6 5)
P (X > 5) = 0,5 −
2
0,9737
P (X > 5) ≈ 0,5 −
2
P (X > 5) ≈ 0,5 − 0,4869
P (X > 5) ≈ 0, 0131
◦
P (3 < X < 4) = 0,5 − P (X > 4) ≈ 0,5 − 0,1333 = 0,3667
donc P (4 6 X < 5) = P (3 6 X 6 5) − P (3 < X < 4)
P (1 6 X 6 5)
− P (3 < X < 4)
P (4 6 X < 5) =
2
0,9737
P (4 6 X < 5) =
− 0,3667
2
à la calculatrice, P (4 6 X < 5) ≈ 0,1201
P (4 6 X < 5) = 0,1202
◦
•
à la calculatrice, P (5 6 X < 1099) ≈ 0,1201
4
Calculer la valeur de a telle que P (X 6 a) = 0,40 et la valeur de b telle que P (X > b) = 0, 2
TI
Touches 2nde + var
(donne distr )
FracNormal(p,µ,σ)
donne 2.7720
ici FracNormal(0.4,3,0.9)
•
5
◦
P (X 6 a) = 0,40 pour a ≈ 2,7720
◦
P (X > b) = 0,2
Touches MENU Stat
Area : 0.4
σ : 0.9
µ : 3
Casio
DIST Norm
P (X < b) = 0,8 pour b ≈ 3,7574
Déterminer un intervalle I de centre µ tel que P (X ∈ I) = 0,70
Soit a > 0 tel que I = [3 − a; 3 + a]
On cherche a > 0 tel que : P (3 − a < X < 3 + a) = 0,70
P (3 − a < X < 3) = 0,35
P (X < 3 − a) = 0,15
c’est-à-dire pour 3 − a ≈ 2,0672 soit a = 0,9328
On en déduit que I = [2,0672; 3,9328]
3−a
3
3
3+a
InvN
5
Tale S2
Chapitre XIV – Lois Normales
Guist’hau - 2014/2015
Exemple 3. Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale, de moyenne µ = 20 (et d’écart-type σ) :
0, 5 0, 5
20 − 9 20 20 + 9
20
10
P (X 6 20 − 9) = P (X > 20 + 9)
P (X 6 20) = 0,5 et P (X > 20) = 0,5
P (X 6 10) = 1 − P (X > 10)
0, 5 0, 5
0
a
a
0
−a
0
0.4
bcbc
Cφ
0
−4
−3
−2
0
−1
1
µ=0
2
3
µ=2
µ=7
0
−4
−3
−2
0
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
σ = 0, 5
0.8
0.6
0.4
σ=1
0.2
σ=2
0
−4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
6
7
Interprétation.
X a pour moyenne µ et écart-type σ
X − µ est centrée, elle a pour moyenne 0 et écart-type σ
X−µ
Y = σ est centrée et réduite, elle a pour moyenne 0 et écart-type 1
TI
Touche math
((6*X-Xš)/36,X,4,6) donne
0.2593
Touches MENU Stat
Lower : 1
4
Casio
DIST
Norm
NCD
Tale S2
Chapitre XIV – Lois Normales
Guist’hau - 2014/2015
Propriété 2. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N (0; 1) et a et b deux réels. Alors
P (X 6 0) = 0,5 et P (X > 0) = 0,5
P (X 6 a) = 1 − P (X > a)
P (X > b) = P (X 6 −b)
P (X ∈ R) = 1
ou P (X 6 a) + P (X > a) = 1
5