Chapitre PARALLÉLOGRAMMES

Chapitre
PARALLÉLOGRAMMES
Figure obtenue à partir de la symétrie centrale
Définition et propriétés découlant de celles de la symétrie centrale.
Construction de parallélogrammes
Premiers pas vers la démonstration : relier logiquement des "morceaux"
de raisonnement puis créer un raisonnement.
Aire du parallélogramme
Centre et axes de symétrie des figures
Remarques :
Les propriétés sur les angles seront abordées dans le chapitre (10)
« Angles et parallélisme » après le chapitre (8) « Angles » étudié en
Grcom.
La propriété « si un parallélogramme possède un angle droit alors c’est
un rectangle » pourrait être étudiée dans ce chapitre ( en utilisant la
propriété de 6 ème , « si deux droites sont parallèles alors toute
perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre ») mais le chapitre
est déjà assez long et la démonstration utilisant les angles est plus
naturelle…voir chapitre 10.
Chapitre
PARALLÉLOGRAMME
1) Parallélogramme :
Définition :
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
A
B
Exemple :
ABCD est un parallélogramme signifie que
(AB) est parallèle à (CD) et (AD) est parallèle à (BC).
C
D
Remarques :
Dans la définition, on devrait écrire en toute rigueur, « les droites portant les côtés opposés sont
parallèles » mais pour alléger la rédaction, on se permet d'écrire « les côtés opposés sont parallèles ».
On pourra donc écrire « [AB] est parallèle à [CD] » et « [AD] est parallèle à [BC] ».
2) Parallélogramme et symétrie centrale :
a) Centre de symétrie d'une figure :
Lorsque le symétrique d'une figure par rapport à un point est elle même,
on dit que ce point est "le centre de symétrie" de la figure.
Exemples :
centre de symétrie
centre de symétrie
Remarque :
Si une figure a un centre de symétrie alors en la faisant tourner de 180° (demi-tour) autour de son centre
de symétrie, on obtient la même figure.
b) Centre de symétrie d'un parallélogramme : (propriété admise)
Si un quadrilatère est un parallélogramme
alors il possède un centre de symétrie qui est le point d'intersection de ses diagonales.
D
Exemple :
On dit que "O est le centre de symétrie du parallélogramme".
O est le point d'intersection des diagonales [DB] et [UE].
Le symétrique de D par rapport à O est B.
Le symétrique de U par rapport à O est E.
En faisant tourner de 180° le parallélogramme autour du point O,
on obtient le même parallélogramme.
U
O
E
B
3) Propriétés du parallélogramme :
a) Propriétés sur les diagonales d'un parallélogramme :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Exemple :
VERT est un parallélogramme
donc le point O est le milieu des diagonales [VR] et [TE].
E
V
O
Démonstration :
T
R
Hypothèse :
VERT est un parallélogramme donc O est le centre de symétrie du parallélogramme VERT d'après le 2 b)
du cours.
Conclusions :
Le symétrique de V part rapport à O est R donc O est le milieu de [VR].
Le symétrique de E part rapport à O est T donc O est le milieu de [ET].
Remarque : Cette propriété permet de prouver qu'un point est le milieu d'un segment.
On a réciproquement :
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu
alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Démonstration :
Hypothèse :
O est le milieu de [VR] et O est le milieu de [ET].
Conclusions :
Le symétrique de V part rapport à O est R.
Le symétrique de E part rapport à O est T .
Le symétrique de (VE) est (RT) donc (VE)//(RT) ( le symétrique d'une droite est une droite parallèle).
Le symétrique de (VT) est (RE) donc (VT)//(RE).
VERT est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles 2 à 2 donc VERT est un parallélogramme.
b) Propriétés sur les longueurs des côtés d'un parallélogramme :
Si un quadrilatère est un parallélogramme
alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Exemple :
CHUT est un parallélogramme donc CH=TU et CT=HU.
H
C
T
U
Démonstration :
H
C
Hypothèse :
O
CHUT est un parallélogramme donc il possède un centre de symétrie O
qui est le milieu de [CU] et [HT].
Conclusions :
T
U
Le symétrique de [CH] par rapport à O est [UT] donc CH=UT puisque la symétrie centrale conserve les
longueurs. De même on montre que CT=HU.
Remarque : Cette propriété permet de prouver que des segments ont la même longueur.
On a réciproquement : (propriété admise)
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés qui ont la même longueur deux à deux
alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Exemple :
Dans le quadrilatère non croisé CHUT on a
CH=TU et CT=HU donc CHUT est un parallélogramme.
H
C
T
U
Remarque :
A
Attention, il ne faut pas oublier "non croisé" dans l'énoncé de la propriété.
Par exemple AMER est tel que AM=RE et AR=ME,
pourtant AMER n'est pas un parallélogramme car c'est un quadrilatère croisé.
M
E
R
Remarque:
En utilisant la définition du 1) et une propriété du 3 b) du cours on peut déduire la propriété suivante:
Si un quadrilatère non croisé possède deux côtés opposés parallèles et de même longueur
alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
D
Exemple :
DA=ER et (DA)//(ER)
donc DARE est un parallélogramme.
A
Droites parallèles
E
R
4) Aire du parallélogramme :
L'aire d'un parallélogramme est égale au produit
de la longueur d'un de ses côtés par la hauteur associée.
h est la hauteur associée au côté c et on a : Aire = c × h
On peut calculer de deux façons
l’aire du parallélogramme
h' est la hauteur associée au côté c' et on a : Aire = c' × h'
h
c
h’
Rappel :
Pour calculer une aire il faut que toutes les dimensions soient dans la même unité.
c’
Vérification de la formule à l’aide d’une figure :
A
c
B
h
C
D
On « découpe » ce triangle rectangle et on le « place » ici .
Ensuite, on constate que pour calculer l’aire du parallélogramme,
il suffit de calculer l’aire du rectangle ABCD c'est-à-dire c × h.
5) Parallélogrammes particuliers :
a) Propriétés communes aux rectangles, losanges et carrés :
Un rectangle est un parallélogramme particulier.
A
B
Démonstration :
ABCD est un rectangle donc il possède 4 angles droits.
(AD) est perpendiculaire à (AB),(BC) est perpendiculaire à (AB),
D
C
donc (AD) est parallèle à (BC),
ème
,
d'après la propriété suivante étudiée en 6
si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors ces deux droites sont parallèles.
De même on prouve que (AB) est parallèle à (DC) et donc on peut affirmer que ABCD est un
parallélogramme puisque ses côtés opposés sont parallèles 2 à 2.
Un losange est un parallélogramme particulier.
M
Démonstration :
P
MNOP est un losange
donc il possède 4 cotés de même longueur.
On a en particulier, MN=PO et MP=NO
O
donc les côtés opposés du losange MNOP ont même longueur,
et ceci prouve que MNOP est un parallélogramme
d'après la propriété suivante,
si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés qui ont la même longueur deux à deux
alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
N
Un carré est un parallélogramme particulier.
Démonstration :
Un carré est un rectangle particulier (vu en 6 ème ) donc c'est aussi un parallélogramme.
Un rectangle, un losange ou un carré étant des parallélogrammes particuliers, on en déduit que ces
quadrilatères possèdent les mêmes propriétés que le parallélogramme:
leurs côtés opposés sont parallèles deux à deux,
leurs côtés opposés sont de même longueur deux à deux,
leurs diagonales se coupent en leur milieu,
leur centre de symétrie est le point d’intersection de leurs diagonales.
2 axes de symétrie
b) Propriétés propres au rectangle :
Un rectangle possède deux axes de symétrie
qui sont les médiatrices de ses côtés opposés ( rappel 6 ème ).
(d’)
A
B
O
Les diagonales d’un rectangle ont même longueur.
(d)
Démonstration :
Le symétrique de [AC] par rapport à la droite (d) est [DB].
Comme la symétrie axiale conserve les longueurs, AC=DB.
D
C
On a réciproquement :
Un parallélogramme qui possède des diagonales de même longueur est un rectangle.
c) Propriétés propres au losange :
Un losange a deux axes de symétrie qui sont
les deux droites portant ses diagonales ( rappel 6ème ).
2 axes de symétrie
B
Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires.
Démonstration :
(AC)=(d) est un axe de symétrie de ABCD
donc (AC) est la médiatrice de [BD]
et ceci prouve que (AC) est perpendiculaire à (BD).
A
O
C
(d)
D
On a réciproquement :
Un parallélogramme qui possède des diagonales perpendiculaires est un losange.
Un parallélogramme qui possède deux côtés « consécutifs » de même longueur est un losange.
Démonstration :
Des côtés « consécutifs » sont des côtés ayant un sommet commun.
On sait déjà qu’un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur donc si deux côtés
consécutifs ont même longueur, ceci prouve que tous les côtés ont même longueur.
d) Propriétés propres au carré :
4 axes de symétrie
Le carré est à la fois un rectangle et un losange
donc il hérite de toutes les propriétés du rectangle et du losange.
1 centre de symétrie