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Chapitre 6 - Les triangles Résumé du cours 5e
1 - Inégalité triangulaire
Une évidence
Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite. Tout autre chemin, passant par un troisième
point est forcément plus long (ou de même longueur si le troisième point est situé sur le segment qui joint
les deux points).
A
B
C
On peut donc énoncer la propriété suivante :
Si A, B et C sont trois points quelconques du plan, alors AB 6AC +CB.
Il s’agit de l’inégalité triangulaire.
Bilan 1
Triangle constructible
Pour pouvoir construire un triangle ayant pour côtés trois longueurs données, il faut que chaque longueur
soit inférieure à la somme des deux autres. C’est-à-dire :
a
b
c
A
B
C
Avec les notations suivantes : a=BC ; b=AC et c=AB.
a6b+cet b6a+cet c6a+b.
Dans la pratique :
Pour savoir si un triangle est constructible, il suffit de vérifier que la plus grande longueur
est inférieure à la somme des deux autres longueurs.
Dans le cas contraire, le triangle est non constructible.
Bilan 2
Un exemple : Vérifier qu’un triangle est constructible
Peut-on tracer le triangle COR avec CO = 4 cm, OR = 6 cm et RC = 1 cm ?
Réponse :
Dans le triangle COR, [OR] est le côté le plus long et OR = 6 cm.
La somme des deux autres est RC + CO = 1 + 4 = 5.
Comme OR > RC + CO, le triangle COR n’est pas constructible.
Une remarque importante
Dans le cas d’une égalité, cela signifie que le triangle est aplati, c’est-à-dire que les trois points sont alignés.
Par exemple : AB = 7 cm, AC = 5 cm et BC = 2 cm.
Comme AB = AC + BC, cela signifie que les points A, B et C sont alignés.
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Chapitre 6 - Les triangles Résumé du cours 5e
2. Construire un triangle
On peut construire un triangle dans les trois cas suivants :
•Lorsqu’on connaît la longueur des trois côtés et que ce triangle est constructible.
•Lorsqu’on connaît la longueur de deux côtés et la mesure de l’angle délimité par ces deux côtés.
•Lorsqu’on connaît la longueur d’un côté et la mesure des angles adjacents à ce côté.
Bilan 3
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Chapitre 6 - Les triangles Résumé du cours 5e
3. Triangles particuliers et angles
1. Le triangle rectangle
La somme des mesures des deux angles aigus d’un triangle rectangle est égale à 90 °.
Cela signifie que les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.
Par exemple pour le triangle suivant ABC rectangle en A :
\
ABC +
\
ACB = 40°+50°= 90°.
A
B
40˚
C
50˚
2. Pour le triangle isocèle :
Les deux angles à la base d’un triangle isocèle ont la même mesure.
Les angles à la base sont les deux angles symétriques !
Par exemple avec le triangle suivant ABC isocèle en C et
\
ACB = 120 °.
Déterminons les mesures des angles
\
BAC et
\
ABC .
AB
C
120˚
××
Comme Les angles
\
BAC et
\
ABC ont la même mesure, nous pouvons déterminer la mesure de ces
deux angles.
En effet, dans un triangle,la somme des mesures des angles est de 180°.
Donc,
\
BAC =
\
ABC =180 −120
2= 30°.
3. Pour le triangle rectangle et isocèle :
Les deux angles aigus d’un triangle rectangle et isocèle mesurent 45 °.
Cette propriété découle du fait que le triangle est rectangle. Donc, les deux angles aigus sont com-
plémentaires.
De plus, le triangle est isocèle. Donc, les deux angles symétriques, c’est-à-dire les deux angles aigus
(le dernier est droit) sont de même mesure. Soit 90
2= 45 °.
Une remarque importante, un triangle rectangle et isocèle est tout simplement un demi carré.
4. Pour le triangle équilatéral :
Chacun des trois angles d’un triangle équilatéral mesure 60 °.
Bilan 4
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Chapitre 6 - Les triangles Résumé du cours 5e
4. Droites remarquables
a) Médiatrices
Définition :
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
×
(D)
B
×
A
×
I90˚
Sur la figure précédente, la droite (D) est la médiatrice du segment [AB].
En effet, la droite (D) est perpendiculaire au segment [AB] et la droite (D) coupe le segment [AB] en son
milieu.
Propriétés :
•Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est à égale distance (équidistant) des
extrémités de ce segment.
•Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de
ce segment.
•Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle circonscrit.
Bilan 5
Exemples
1. Soit le triangle ABC isocèle en C. Le point C est à égale distance de A et de B. Donc, le point C est sur
la médiatrice de segment [AB].
2. Dès que vous prenez un point K sur la médiatrice du segment [NP], cela donne un triangle KNP isocèle
en K.
3. Cercle circonscrit à un triangle.
b) Hauteurs
Définition : Un hauteur d’un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire
au côté opposé à ce sommet.
Bilan 6
Exemple
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Chapitre 6 - Les triangles Résumé du cours 5e
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Je prépare le contrôle du chapitre
Ecris ton nom et ta classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Afin de bien réussir le contrôle, je dois bien :
•Apprendre mon cours
•Refaire des exercices faits en classe et surtout bien corriger mes erreurs
•M’entraîner avec le Labomep (Bonus de 1 point si je fais tous les exercices demandés)
•Comprendre les attendus de ce chapitre
•M’autoévaluer sur mon travail
Mon autoévaluation à compléter pour le jour du contrôle
Pour chaque tâche à accomplir, vous devez cocher votre niveau de maîtrise.
A savoir, I pour insuffisant, F pour fragile, B pour bonne et TB pour très bonne.
Tâche I F B TB
Apprendre mon cours
Comprendre mon cours
Refaire des exercices
Corriger mes erreurs
Effectuer les exercices sur labomep
Savoir si un triangle est constructible ou non.
Construire un triangle connaissant trois informations
Connaître les triangles particuliers
Utiliser les angles dans les triangles
Utiliser les médiatrices d’un triangle
Utiliser les hauteurs d’un triangle
Effectuer des tracés précis et soignés
Utiliser ses connaissances afin de résoudre une tâche complexe
Je peux écrire un commentaire si nécessaire sur ce chapitre :
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