Leçon 1 I. RECHERCHE DU PGCD II. FRACTIONS

3ème
PGCD
Leçon 1
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I. RECHERCHE DU PGCD
L’algorithme d’EUCLIDE
Le mot « algorithme » vient d’une déformation du nom du mathématicien perse al Khwarizmi
(IXème siècle). Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s’exécutent toujours
de la même façon.
Propriété : Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b<a), alors
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)
! Exemple : Calculer PGCD (294 ; 70)
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé, donc PGCD (294 ; 70) = 14
! Applications : Déterminer PGCD (631 ; 203) et PGCD (741 ;198)
PGCD (631 ; 203) PGCD (741 ; 198)
II. FRACTIONS IRREDUCTIBLES
Définition : Une fraction
a
b
est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
! Exemple : la fraction
7
11
est irréductible car PGCD (7 ; 11) = 1
a
b
r
294
70
14
" On divise 294 par 70 (294 = 70 x 4 + 14)
70
14
0
" On divise 70 par 14. (70 = 14 x 5 +0)
a
b
r
a
b
r
" 631 = 203 x … +…
"
"
"
"
Donc PGCD (631 ; 203) =
On dit que 631 et 203 …
Donc PGCD (741 ; 198) =

3ème
PGCD
Leçon 2
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Propriété : Pour rendre irréductible une fraction
a
b
en une seule simplification, on calcule
le PGCD (a ; b) puis on divise numérateur et dénominateur par ce PGCD.
! Applications : Simplifier
357
561
,
235
534
,
319
407
avec l’algorithme d’Euclide et vérifier votre réponse à l’aide
d’une calculatrice.
PGCD (561 ; 357) = 51, on simplifie la fraction par de PGCD :
357
561
=51 ×......
51 ×......
=...
...
a
b
r
561
357
204