A et B - Mathématiques du Cnam

MVA003
Combinatoire, probabilités
ordre, calcul booléen
séance n°7
séance n°7
1
MVA003
Chapitre 8
Probabilités combinatoires
1. Épreuves et événements
2. Fréquences et probabilités
3. Lois de probabilité
4. Probabilité conditionnelle et indépendance
5. Essais répétés
Plan ch8-1
2
Le calcul des probabilités étudie les phénomènes qui dépendent du
hasard ; on les appelle les phénomènes aléatoires .
Dans un phénomène aléatoire, l'ensemble des résultats théoriquement
possibles s'appelle l' ensemble des épreuves ; on le note
.
Un élément de (donc un résultat théoriquement possible) s'appelle une
épreuve ou une issue.
Exemple
Exemple
le lancer de 2 dés, un blanc et un noir.
le lancer de 2 dés indiscernables.
issues
3
Avec une issue, il arrive qu'un certain événement se produise.
on a sorti un double .
Avec
Exemple
L'ensemble des doubles est :
D={
,
,
,
,
,
}
Cette liste remplace la définition en compréhension :
sortir deux
fois le même numéro , par une définition en extension : on donne
la liste des doubles .
D'une façon générale, on appelle
événement toute partie de
.
Exemple
A={
,
,
Avec cette définition,
On dit que l'issue
et
,
,
,
,
}
sont des événements !
x réalise l'événement E quand
.
Exemple
langage courant :
est un double.
langage mathématique :
langage des probabilités : l'issue
réalise l'événement
D.
événements
4
Règles de représentation
langage mathématique
langage des probabilités
A est un événement
l'issue x réalise l'événement
A est un singleton
A est un événement
A
élémentaire
l'événement A entraîne
l'événement B
Ac est la non réalisation de A
A et B est la conjonction de A et B
A et B sont incompatibles
A ou B est la disjonction de A et B
règles de représentation
5
MVA003
Chapitre 8
Probabilités combinatoires
1. Épreuves et événements
2. Fréquences et probabilités
3. Lois de probabilité
4. Probabilité conditionnelle et indépendance
5. Essais répétés
Plan ch8-2
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On lance une pièce. Elle tombe sur le côté
Face :
Face
Pile
Pourquoi dit-on : "
Pile, ou sur le côté
J'ai 1 chance sur 2 de tirer
Face " ?
L'idée intuitive est que si on lance un
très grand nombre de fois
pièce, on trouvera à peu près autant de fois Pile que Face …
la
- si on l'a lancée 1 million de fois, est-ce un très grand nombre fois ?
- si on trouve 499703 fois Pile et 500297 fois Face, est-ce à peu près
la même chose ?
Et si la pièce est truquée ?
proba 1/2
7
L'idée va être la suivante :
Quand on reproduit expérimentalement un phénomène aléatoire
(je prends une vraie pièce et je la lance vraiment
), une probabilité
est attachée à chaque événement.
p(A), la probabilité de l'événement
A est une grandeur
physique ( comme la longueur d'une tige, le poids d'une
personne, la vitesse d'un mobile … ), mesurée par un
nombre réel.
On a une valeur approchée de
l'événement A.
p(A) avec f(A) la fréquence de
Pour obtenir f(A), on reproduit le phénomène
et on note a le nombre de fois où l'événement
réalisé. Alors f(A) = a/N .
Quand N tend vers l'infini,
f(A) tend vers
N fois
A est
p(A) .
Il faut remarquer que p(A) ne dépend que de A et du dispositif
expérimental alors que f(A) dépend du hasard … Si on refait
l'expérience, on ne retrouve pas exactement la même valeur …
proba-2
8
Propriétés
Puisque
est toujours égale à 1, sa limite
est égale à 1.
Donc :
De même :
Puisque on a toujours
, le passage à la limite donne :
Si A et B sont des événements
parce que
incompatibles , on a toujours :
.
proba-3
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MVA003
Chapitre 8
Probabilités combinatoires
1. Épreuves et événements
2. Fréquences et probabilités
3. Lois de probabilité
4. Probabilité conditionnelle et indépendance
5. Essais répétés
Plan ch8-3
10
Loi de probabilité
Quand on reproduit expérimentalement un phénomène aléatoire,
une probabilité est attachée à chaque événement. On a donc une
application
qui a les propriétés suivantes :
quand
et
D'une façon générale, quand on a un ensemble non vide
appelle loi de probabilité sur E toute application
telle que :
E , on
quand
et
Exemple
loi
11
Propriétés des loi de probabilité
Si
sont des événements
incompatibles 2 à 2 , alors :
loi-2
12
Comment fabriquer des loi de probabilité ?
Pour fabriquer une loi de probabilité on doit associer un nombre
compris entre 0 et 1 à chaque partie de façon que ces nombres
vérifient des relations. Comment y arriver ?
Si la partie A a pour éléments
, alors
A est la réunion
des singletons
et ces singletons sont 2 à 2 disjoints, donc :
Pour simplifier, on écrit
au lieu de
nombre la probabilité de l'élément
et on appelle ce
.
Théorème
Pour définir une loi de probabilité sur un ensemble fini non vide
il suffit de se donner une application
telle que :
et de poser :
loi-3
13
Exemple
Pour définir une loi de probabilité sur
nombre p(F) = a avec 0≤ a ≤1 :
E, il suffit de se donner le
Équiprobabilité
On dit qu'une loi de probabilité est
uniforme ou encore, qu'il y a
équiprobabilité quand p(e) est le même pour toutes les issues.
Dans ce cas :
et
loi-4
14
Exemple
Équiprobabilité => la probabilité d'un tirage est 1/36
Équiprobabilité => la probabilité d'un tirage est 1/21
ce n'est pas pareil !
- dans le premier cas, la probabilité de tirer un 3 et un 2
est 2/36=1/18 , dans le deuxième c'est 1/21.
- dans le premier cas, la probabilité de tirer un double 6
est 1/36 , dans le deuxième c'est 1/21.
loi-5
15
MVA003
Chapitre 9
Probabilités combinatoires
1. Épreuves et événements
2. Fréquences et probabilités
3. Lois de probabilité
4. Probabilité conditionnelle et indépendance
5. Essais répétés
Plan ch9-4
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Quand on reproduit expérimentalement un phénomène aléatoire, il
arrive qu'on ait des informations qui modifient notre pronostic.
Exemple
On tire au hasard de façon uniforme une carte dans un jeu de 52
cartes. La probabilité de tirer cœur est 1/4.
Si l'on me dit que la carte tirée est noire, je sais que je
n'ai aucune chance d'avoir tiré un cœur.
Si l'on me dit qu'elle est rouge, je sais que c'est
cœur ou carreau et je " devine " que j'ai une chance
sur 2 que ce soit un cœur …
Probabilité conditionnelle
On a un phénomène aléatoire dont l'espace des épreuves est
On a un loi de probabilité
p et deux événements
.
A et B .
On tire une issue. On voudrait définir p(B/A) la probabilité que
l'événement B soit réalisé sachant que A est réalisé.
On dit que p(B/ A) est une probabilité conditionnelle .
Le symbole p(B/ A) s'appelle la probabilité de B sachant A
.
condit-1
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On va définir p(B/ A) comme la limite de
réalisation de B quand A est réalisé.
On reproduit expérimentalement
f(B/ A) la fréquence de
N fois le phénomène aléatoire.
On compte a, le nombre de fois où l'événement
A a été réalisé.
On dispose donc de a expériences où l'événement A est réalisé.
Si, parmi elles, on en compte
c où B était réalisé, c/a = f(B/ A) est
la fréquence de réalisation de
B quand A est réalisé, c'est une
fréquence relative .
Mais il se trouve que c est aussi le nombre de réalisation
simultanées de A et B parmi les N expériences, donc :
Puisqu'on veut que
p(B/ A) soit la limite de
f(B/ A) , on décide que :
condit-2
18
Exemple
On tire au hasard de façon uniforme une carte dans un jeu de 52
cartes. La probabilité d'un événement
A est p(A)= |A|/52 .
p(cœur )= 13/52 = 1/4
p(rouge ) = p(noire )= 26/52 = 1/2
p(cœur et noire)= 0/52 = 0
p(cœur/noire )= 0
p(cœur/rouge ) =
p(cœur et rouge)= 13/52 = 1/4
Remarque : Quand p(A)= 0 on a aussi p(A et B)= 0 donc p(B/A) n'est
pas défini quand A est un événement improbable.
Indépendance
A et B sont deux événements.
Si p(B/ A) = p(B) l'information apportée par la réalisation de
modifie pas la probabilité de
B et réciproquement.
A ne
Cette condition donne immédiatement :
qui a l'avantage de faire jouer un rôle symétrique à
Définition
On dit que
A et B .
A et B sont indépendants quand:
condit-3
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Exemple
On tire de façon uniforme une carte dans un jeu de 52 cartes.
L'événement figure est constitué des valets, des
dames, des rois.
p(cœur ) = 13/52
p(figure ) = 12/52
p(cœur et figure) = 3/52
(13/52) x (12/52) = 3/52
Tirer une figure ou tirer un
pour la loi uniforme.
cœur sont des événement indépendants
Remarques :
1) Un événement improbable est indépendant de tous les
autres événements.
2) La propriété d'indépendance dépend de la loi de
probabilité. Deux événements peuvent être indépendants
pour une loi et pas pour une autre.
indépendance
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