Les équations

Vers PROBLÈMES et ÉQUATIONS
Retrouve parmi les équations suivantes celle qui correspond à chacun des problèmes proposés ci-
dessous, écris cette équation à côté de son énoncé et résous-la. Donne enfin la réponse.
43 43xx=+7437xx
+
=
43xx7
−
=
473xx
−
= 7xx+=
Problème Équation associée et résolution.
Dans la cour de l’école maternelle, il y a deux bacs à sable;
l’un est carré et l’autre a la forme d’un triangle équilatéral.
Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure.
La somme du périmètre du bac carré et de celui du bac
triangulaire est égale à 7 mètres.
Trouver la mesure du côté du bac carré.
Soit x la mesure du bac carré.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Christophe achète trois chewing-gum et Gaëlle en achète
sept.
A eux deux, ils ont dépensé quatre francs.
Quel est le prix d’un chewing-gum ?
Soit x le prix d’un chewing-gum.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans la cour de l’école maternelle, il y a deux bacs, l’un est
carré et l’autre a la forme d’un triangle équilatéral.
Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure.
Le périmètre du bac carré fait 7 mètres de plus que celui du
bac triangulaire.
Trouver la mesure du côté du bac carré.
Soit x la mesure du bac carré.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Christophe achète trois chewing-gum et Gaëlle en achète
quatre.
A eux deux, ils ont dépensé sept francs
Quel est le prix d’un chewing-gum ?
Soit x le prix d’un chewing-gum.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans la cour de l’école maternelle, il y a deux bacs à sable;
l’un est carré et l’autre a la forme d’un triangle équilatéral.
Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure.
Le périmètre du bac triangulaire fait sept mètres de moins
que celui du bac carré.
Trouver la mesure du côté du bac carré.
Soit x la mesure du bac carré.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PROBLÈME ET ÉQUATION
n - Mise en équation d’un problème
Le demi périmètre d’une cour rectangulaire C1 mesure 130 mètres.
On transforme cette cour C1 en allongeant sa longueur de 5 mètres et en raccourcissant sa largeur de 3
mètres.
On obtient ainsi une cour rectangulaire C2 dont l’aire dépasse de 91 m² celle de C1.
On demande les dimensions de la cour C1.
a)Choix des inconnues:
*On appelle x la longueur de la cour C1.(Les dimensions étant exprimées en m).
Sa largeur est donc : 130 - x
Son aire est :longueur × largeur = x(130 - x)
*La longueur de la cour C2 est : x + 5
Sa largeur est : (130 - x) - 3 = 127 - x
Son aire est : (x + 5)(127 - x)
b)Mise en équation:
« L’aire de la cour C2 dépasse de 91 m² celle de C1 »
Cette phrase est traduite par l’équation :
() ( )( )
5 137 130 91xxxx+−=−+
Il reste alors à résoudre cette équation et à donner, si elles existent, les dimensions de la cour C1.
Cette étude est interrompue pour permettre de revoir et approfondir les méthodes de résolution des
équations.
o - Résolutions d’équations
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue x qui vérifient l’égalité; ces
valeurs s’appellent les solutions de l’équation.
Rappels :
* L’équation :
a une solution unique :
axb=xba+
=
−
Exemple :
12
53
21
35
13
15
x
x
x
+=−
=
−−
=−
* L’équation : a une solution unique (si a ≠ 0) :
axb=×
b
xa
=

Exemple :
12
53
2
3
1
5
25
3
10
3
x
x
x
x
=−
−
=
=− ×
=−
Exemple :
()
13 21
13 22
13 2 2
3221
1
1
x
x
x
x
xx
xx
x
x
−= −
−=−
−+ =
−+ =−
−=
=−
1. on développe
2. on ajoute 2x aux deux membres
3. on ajoute (-1) aux deux membres
4. on réduit
5. x = -1 est la solution (on peut la vérifier)
Exemple :
(
)
(
)
43 151 16
4335516
4356513
18 9
9
18
1
2
x
xxx
x
xx
xxxx
x
x
x
+−=−+−
+−=−+−
+++ =++
=
=
=
x
1. on développe
2. on « transpose »
3. on réduit
4. on divise par 18
5. on simplifie la solution
Exemple :
()
()
()
51
35
24 3
51 4
36 5 3
26 43 34
20 1
18 15
12 12 12
18 15 20 20
12 12
18 15 20 20
15 20 20 18
52
2
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
−
−=
−×
××
−=
×× ×
−
−=
−−
=
−=−
−+ =−
=
=
on réduit tout au même dénominateur qui est 12
on simplifie les deux membres par 12
on transpose

p - Retour au problème mis en équation
c)
Résolution de l’équation:
()
(
)
(
)
5 127 130 91
127 ² 635 5 130 ² 91
127 5 130 ² ² 91 635
8 544
544
8
68
xxxx
xx x xx
xx xxx
x
x
x
+−=−+
−+ − = −+
−− −+=−
−=−
−
=−
=
On transpose
On développe
d)
Conclusion:
La cour C1 mesure donc 68 mètres de long et : 130 - 68 = 62 mètres de large.
e)
Vérification:
L
’aire de la cour C1 est : 68 × 62 = 4216 m²
Les dimensions de la cour C2 sont : 68 + 5 = 73 m et 62 - 3 = 59 m
L’aire de la cour C2 est : 73 × 59 = 4307 m²
La différence entre les deux aires est : 4307 - 4216 = 91 m²
q - Autre problème à mettre en équation
Dans une basse-cour, il y a des poules et des lapins.
On dénombre 30 têtes et 86 pattes.
Quel est le nombre de lapins ?
a)
Choix des inconnues
x est le nombre de lapins
est donc le nombre de poules
30 x−
Un lapin a quatre pattes, donc : 4 est le nombre de pattes de lapins
x
Une poule a deux pattes, donc :
(
)
230
x
−
est le nombre de pattes de poules.
b)
Mise en équation
On transforme le dernier renseignement de l’énoncé en équation :
« le nombre total de pattes est 86 »
()
4230 8xx+−=6
c)
Résolution de l’équation

()
4230 8
460286
4 2 86 60
226
26
2
13
xx
xx
xx
x
x
x
+−=
+−=
−=−
=
=
=
6
d)
Conclusion
Il y a 13 lapins et, par conséquent :30 13
−
=17 p esoul
e)
Vérification (non obligatoire mais fortement conseillée)
4 13 2 17 52 34 86×+×= + =