Les équations

Vers PROBLÈMES et ÉQUATIONS
Retrouve parmi les équations suivantes celle qui correspond à chacun des problèmes proposés cidessous, écris cette équation à côté de son énoncé et résous-la. Donne enfin la réponse.
4 x + 3x = 7
4 x = 3x + 7
3x + 7 x = 4
Problème
Dans la cour de l’école maternelle, il y a deux bacs à sable;
l’un est carré et l’autre a la forme d’un triangle équilatéral.
Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure.
La somme du périmètre du bac carré et de celui du bac
triangulaire est égale à 7 mètres.
Trouver la mesure du côté du bac carré.
4 x − 3x = 7
4 x − 7 = 3x
Équation associée et résolution.
..........................................................
...........................................................
..........................................................
..........................................................
Soit x la mesure du bac carré.
.
Christophe achète trois chewing-gum et Gaëlle en achète
sept.
A eux deux, ils ont dépensé quatre francs.
Quel est le prix d’un chewing-gum ?
...........................................................
...........................................................
...........................................................
Soit x le prix d’un chewing-gum.
Dans la cour de l’école maternelle, il y a deux bacs, l’un est
carré et l’autre a la forme d’un triangle équilatéral.
Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure.
Le périmètre du bac carré fait 7 mètres de plus que celui du
bac triangulaire.
Trouver la mesure du côté du bac carré.
...........................................................
..........................................................
...........................................................
...........................................................
...........................................................
Soit x la mesure du bac carré.
Christophe achète trois chewing-gum et Gaëlle en achète
quatre.
A eux deux, ils ont dépensé sept francs
Quel est le prix d’un chewing-gum ?
...........................................................
...........................................................
...........................................................
Soit x le prix d’un chewing-gum.
.
Dans la cour de l’école maternelle, il y a deux bacs à sable;
l’un est carré et l’autre a la forme d’un triangle équilatéral.
Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure.
Le périmètre du bac triangulaire fait sept mètres de moins
que celui du bac carré.
Trouver la mesure du côté du bac carré.
Soit x la mesure du bac carré.
...........................................................
...........................................................
...........................................................
...........................................................
...........................................................
PROBLÈME ET ÉQUATION
n - Mise en équation d’un problème
Le demi périmètre d’une cour rectangulaire C1 mesure 130 mètres.
On transforme cette cour C1 en allongeant sa longueur de 5 mètres et en raccourcissant sa largeur de 3
mètres.
On obtient ainsi une cour rectangulaire C2 dont l’aire dépasse de 91 m² celle de C1.
On demande les dimensions de la cour C1.
a)Choix des inconnues:
*On appelle x la longueur de la cour C1.(Les dimensions étant exprimées en m).
Sa largeur est donc : 130 - x
Son aire est :longueur × largeur = x(130 - x)
*La longueur de la cour C2 est : x + 5
Sa largeur est : (130 - x) - 3 = 127 - x
Son aire est : (x + 5)(127 - x)
b)Mise en équation:
« L’aire de la cour C2 dépasse de 91 m² celle de C1 »
Cette phrase est traduite par l’équation :
( x + 5) (137 − x ) = x (130 − x ) + 91
Il reste alors à résoudre cette équation et à donner, si elles existent, les dimensions de la cour C1.
Cette étude est interrompue pour permettre de revoir et approfondir les méthodes de résolution des
équations.
o - Résolutions d’équations
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue x qui vérifient l’égalité; ces
valeurs s’appellent les solutions de l’équation.
Rappels :
* L’équation :
a+x=b
a une solution unique :
x =b−a
Exemple :
1
2
+x=−
5
3
2 1
x=− −
3 5
13
x=−
15
* L’équation :
a× x = b
a une solution unique (si a ≠ 0) :
x=
b
a
Exemple :
1
2
x=−
5
3
2
−
x= 3
1
5
2
x = − ×5
3
10
x=−
3
Exemple :
1 − 3 x = 2 (1 − x )
1. on développe
1 − 3x = 2 − 2x
2. on ajoute 2x aux deux membres
1 − 3x + 2x = 2
3. on ajoute (-1) aux deux membres
−3x + 2 x = 2 − 1
−x =1
4. on réduit
5. x = -1 est la solution (on peut la vérifier)
x= − 1
Exemple :
4 x + 3 ( x − 1 ) = 5 (1 − x ) + 1 − 6 x
4x + 3x − 3 = 5 − 5x + 1 − 6 x
4x + 3x + 5x + 6 x = 5 + 1 + 3
18 x = 9
9
x=
18
x=
1. on développe
2. on « transpose »
3. on réduit
4. on divise par 18
5. on simplifie la solution
1
2
Exemple :
3 5x
−
2
4
3× 6 5x × 3
−
2×6
4×3
18 15 x
−
12
12
18 − 15 x
12
18 − 15 x
=
=
=
=
=
5 (1 − x )
3
5 (1 − x ) × 4
3× 4
2 0 (1 − x )
12
20 − 20 x
12
20 − 20 x
−15 x + 20 x = 20 − 18
5x = 2
x=
2
5
on réduit tout au même dénominateur qui est 12
on simplifie les deux membres par 12
on transpose
p - Retour au problème mis en équation
c) Résolution de l’équation:
( x + 5 )(127 − x ) = x (130 − x ) + 91
127 x − x ² + 635 − 5 x = 130 x − x ² + 91
127 x − 5 x − 130 x − x ² + x ² = 91 − 635
On développe
On transpose
−8 x = −544
x=
−544
−8
x = 68
d) Conclusion:
La cour C1 mesure donc 68 mètres de long et : 130 - 68 = 62 mètres de large.
e) Vérification:
L’aire de la cour C1 est : 68 × 62 = 4216 m²
Les dimensions de la cour C2 sont : 68 + 5 = 73 m et 62 - 3 = 59 m
L’aire de la cour C2 est : 73 × 59 = 4307 m²
La différence entre les deux aires est : 4307 - 4216 = 91 m²
q - Autre problème à mettre en équation
Dans une basse-cour, il y a des poules et des lapins.
On dénombre 30 têtes et 86 pattes.
Quel est le nombre de lapins ?
a) Choix des inconnues
x est le nombre de lapins
30 − x est donc le nombre de poules
Un lapin a quatre pattes, donc : 4 x est le nombre de pattes de lapins
Une poule a deux pattes, donc : 2 ( 30 − x ) est le nombre de pattes de poules.
b) Mise en équation
On transforme le dernier renseignement de l’énoncé en équation :
« le nombre total de pattes est 86 »
4 x + 2 ( 30 − x ) = 86
c) Résolution de l’équation
4 x + 2 ( 30 − x ) = 86
4 x + 60 − 2 x = 86
4 x − 2 x = 86 − 60
2 x = 26
26
2
x = 13
x=
d) Conclusion
Il y a 13 lapins et, par conséquent : 30 − 13 = 17 poules
e) Vérification (non obligatoire mais fortement conseillée)
4 ×13 + 2 ×17 = 52 + 34 = 86
ÉQUATIONS
X - Vérifie une équation
3
1 1
1
; − ;
; 3;
2
3 7
2
Elles ont été mélangées. Il s’agit donc de redonner à chaque équation sa solution.
x x
= + 3 a pour solution x = . . . . . . . .
3x − 1 = 8 a pour solution x = . . . . . .
2 4
2( x − 3) = −5 a pour solution x = . . . . . . . .
2 x − (3x − 1) = 8x + 4 a pour solution x =
Les solutions des équations ci-dessous sont : −2 ; 12 ;
3x − 5(1 − x) = 7
a pour solution
17( x − 2) − 13( x − 8) = 5(11 − x) − 3
5x 1 4 x
− =
3 5 15
a pour solution x = . . . . . . . .
x=
........
a pour solution x =
........
Y -Résous les équations suivantes
5x − 21 = 30
−3x + 8 = 5
3x − 5 = 4 x − 9
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
3x +
5 7
=
3 9
2
1
x+ =9
3
8
7
13
x−4=
11
3
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
−3x − 7 = − x + 3
2( 3x + 5) = x + 5
7x −
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
1
1 ⎞
⎛
= 2⎜ 4 − x⎟
⎝
4
5 ⎠
.
5( x − 1) − (2 x + 2) = 4 − x
3(2 x − 1) − 4(3 − x) = 2 x
..............................................
..............................................
..............................................
..............................................
..............................................
..............................................
..............................................
..............................................
5− x 7 + x
−
=2
3
2
x 2 − 16 = 0
..............................................
......................
..............................................
.......................
..............................................
.......................
..............................................
.......................
.
..............................................
......
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES (suite)
On donne les équations suivantes :
35 + x = 2(10 + x)
2(10x − 35) = 15x
10 − 2( x + 15) = x − 35
2( x + 15) − 35 = x
On donne les problèmes suivants :
n -Des amis décident de se cotiser pour acheter un ballon.
S’ils donnent 10 F chacun, ils peuvent faire l’acquisition d’un ballon de cuir et il leur restera 35 F.
Ils décident finalement de donner 15 F chacun pour acheter deux ballons.
Combien sont-ils ?
o - Marc a 10 ans et son père a 35 ans.
Ils fêtent leur anniversaire le même jour.
Dans combien d’année le père soufflera-t-il, exactement, deux fois plus de bougies que son fils ?
p - Je choisis un nombre.
Je lui ajoute 15.
Je double le résultat obtenu puis j’enlève 35; je retrouve alors le nombre choisi.
Quel est ce nombre ?
Recherche parmi les équations données celles qui permettent de résoudre ces problèmes.
f........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
g........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
h........................................................................................................
..........................................................................................................
...........................................................................................................
...........................................................................................................
Donne les réponses :
f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h...........................................................................................................
Devoir 1
n - Je pense à un nombre, que j’appelle x. J’ajoute 5 et je multiplie le résultat par 2.
J’ajoute ensuite 30 et je divise le résultat obtenu par 3.
Je retranche enfin le double du nombre x.
Je trouve 8.
Quel est ce nombre x ?
o - Une bonbonne à 48 € et cinq bouteilles me coûtent autant qu’un flacon à 5 € et quinze bouteilles.
Quel est le prix d’une bouteille ?
Appelle x le prix (en euros) d’une bouteille
p - Un robinet A a un débit de 300 L/h et un robinet B a un débit de 400 L/h.
Sachant que le robinet A met 3 h 48 min de plus que B pour remplir un bassin, trouve la contenance de ce
bassin.
Appelle x la contenance (en litres) du bassin.
Rappel : débit ( L / h) =
quantité ( L)
durée(h)
Devoir 2
X - 18 personnes mangent ensemble au restaurant.
Le menu est à 14 € tout compris.
Quatre personnes ont oublié leur chéquier.
Combien chaque autre personne doit payer en plus ?
Y - 18 personnes mangent ensemble au restaurant.
Quatre personnes ont oublié leur chéquier.
Chacune des autres doit payer 6 € de plus.
Quel était le prix du menu ?
Z - Le menu est à 12 €.
Quatre personnes ont oublié leur chéquier.
Chacune des autres doit payer 4 € en plus.
Combien y avait-il de personnes ?
[ - 18 personnes mangent ensemble au restaurant.
Le menu est à 19 €.
Certaines ont oublié leur chéquier.
Chacune des autres doit payer 3,80 € en plus.
Combien de personnes n'avaient pas de chéquier ?
Vers PROBLÈMES et ÉQUATIONS
Retrouve parmi les équations suivantes celle qui correspond à chacun des problèmes proposés cidessous, écris cette équation à côté de son énoncé et résous-la. Donne enfin la réponse.
4 x + 3x = 7
4 x = 3x + 7
3x + 7 x = 4
Problème
4 x − 3x = 7
4 x − 7 = 3x
Équation associée et résolution.
Le périmètre du carré est : 4x
Le périmètre du triangle est 3x
Dans la cour de l’école maternelle, il y a deux bacs à sable;
l’un est carré et l’autre a la forme d’un triangle équilatéral.
Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure.
La somme du périmètre du bac carré et de celui du bac
triangulaire est égale à 7 mètres.
Trouver la mesure du côté du bac carré.
Leur somme est 7 m donc : 4x + 3x = 7
Soit x la mesure du bac carré.
Le bac mesure 1 m de côté
Soit : 7x = 7 ou : x =
7
=1
7
.
Christophe achète trois chewing-gum et Gaëlle en achète
sept.
A eux deux, ils ont dépensé quatre francs.
Quel est le prix d’un chewing-gum ?
Soit x le prix d’un chewing-gum.
Dans la cour de l’école maternelle, il y a deux bacs, l’un est
carré et l’autre a la forme d’un triangle équilatéral.
Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure.
Le périmètre du bac carré fait 7 mètres de plus que celui du
bac triangulaire.
Trouver la mesure du côté du bac carré.
Les prix des chewing-gums sont : 3x et 7x
Le prix total est : 4 (F)
D’où l’équation : 3x + 4x = 7
10x = 4
4
= 0, 4
x=
10
Un chewing-gum coûte 0,40 F
Le périmètre du carré (4x) fait 7 m de plus que celui
du triangle (3x) ; d’où l’équation :
4x − 3x = 7
x=7
Le bac carré mesure 7 m de côté
Soit x la mesure du bac carré.
Christophe achète trois chewing-gum et Gaëlle en achète
quatre.
A eux deux, ils ont dépensé sept francs
Quel est le prix d’un chewing-gum ?
Les prix des chewing-gums sont 3x et 4x.
Le prix total est 7 F d’où l’équation :
Soit x le prix d’un chewing-gum.
x =1
.
Dans la cour de l’école maternelle, il y a deux bacs à sable;
l’un est carré et l’autre a la forme d’un triangle équilatéral.
Le triangle et le carré ont des côtés de même mesure.
Le périmètre du bac triangulaire fait sept mètres de moins
que celui du bac carré.
Trouver la mesure du côté du bac carré.
Soit x la mesure du bac carré.
3x + 4x = 7
Un chewing-gum coûte 1 F
7x = 7
Le périmètre du triangle (3x) augmenté de 7 m est
égal au périmètre du carré (4x).
D’où l’équation :
4x = 3x + 7
4x − 3x = 7 Le bac carré mesure 7 m de côté
x=7
(même exercice que le troisième)
ÉQUATIONS
X - Vérifie une équation
3
1 1
1
; − ;
; 3;
2
3 7
2
Elles ont été mélangées. Il s’agit donc de redonner à chaque équation sa solution.
x x
= + 3 a pour solution x = 12
3x − 1 = 8 a pour solution x = 3
2 4
Les solutions des équations ci-dessous sont : −2 ; 12 ;
2( x − 3) = −5 a pour solution x =
1
2
3x − 5(1 − x) = 7
x=
a pour solution
17( x − 2) − 13( x − 8) = 5(11 − x) − 3
2 x − (3x − 1) = 8x + 4
3
2
5x 1 4 x
− =
3 5 15
a pour solution x = −2
a pour solution x =
Y -Résous les équations suivantes
5x − 21 = 30
5x = 30 + 21
−3x = 5 − 8
x=
8 1
8
x=− × = −
9 3
27
x=
1
3
1
7
3x − 5 = 4x − 9
3x − 4x = −9 + 5
− x = −4
−3x + 8 = 5
51
5
5 7
3x + =
3 9
7 5
3x = −
9 3
8
3x = −
9
x=
a pour solution x = −
−3
=1
−3
x=4
2
1
x+ =9
3
8
2
1
x = 9−
3
8
2
71
x=
3
8
7
13
x−4 =
11
3
7
13
x = +4
11
3
7
25
x=
11
3
25 11 275
x= × =
3 7
21
71 3 213
× =
8 2
16
1
1 ⎞
⎛
= 2⎜ 4 − x ⎟
4
5 ⎠
⎝
1
2
7x − = 8 − x
4
5
2
1
7x + x = 8 +
5
4
37
33
x=
5
4
7x −
−3x − 7 = − x + 3
2 ( 3x + 5 ) = x + 5
−3x + x = 3 + 7
−2x = 10
6x + 10 = x + 5
x=
10
= −5
−2
6 x − x = 5 − 10
5x = −5
x=
−5
= −1
5
5 ( x − 1) − ( 2x + 2 ) = 4 − x
3 ( 2x − 1) − 4 ( 3 − x ) = 2x
5x − 5 − 2x − 2 = 4 − x
6x − 3 − 12 + 4x = 2x
5x − 2x + x = 4 + 5 + 2
6x + 4x − 2x = 3 + 12
4x = 11
8x = 15
11
15
x=
4
8
5− x 7+ x
−
=2
3
2
10 − 2x 21 + 3x 12
−
=
on simplifie par 6
6
6
6
10 − 2x − 21 − 3x = 12 attention à la soustraction!!
x=
33 5
165
×
=
4 37 148
x=
−2x − 3x = 12 − 10 + 21
−5x = 23
23
23
= −
x=
−5
5
x 2 − 16 = 0
x 2 = 16
⎧x = 4
⎪
⎨ou
⎪ x = −4
⎩
il y a deux solutions !
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES (suite)
On donne les équations suivantes :
35 + x = 2(10 + x)
2(10x − 35) = 15x
10 − 2( x + 15) = x − 35
2( x + 15) − 35 = x
On donne les problèmes suivants :
n -Des amis décident de se cotiser pour acheter un ballon.
S’ils donnent 10 F chacun, ils peuvent faire l’acquisition d’un ballon de cuir et il leur restera 35 F.
Ils décident finalement de donner 15 F chacun pour acheter deux ballons.
Combien sont-ils ?
o - Marc a 10 ans et son père a 35 ans.
Ils fêtent leur anniversaire le même jour.
Dans combien d’années le père soufflera-t-il, exactement, deux fois plus de bougies que son fils ?
p - Je choisis un nombre.
Je lui ajoute 15.
Je double le résultat obtenu puis j’enlève 35; je retrouve alors le nombre choisi.
Quel est ce nombre ?
Recherche parmi les équations données celles qui permettent de résoudre ces problèmes.
n - Soit x le nombre d’amis. Un ballon de cuir coûte : 10x − 35
Deux ballons coûtent : 2 (10x − 35 ) ou 15x
2 (10x − 35 ) = 15x
D’où l’équation :
20x − 70 = 15x
5x = 70
x = 14
o - Dans x années l’âge du père sera :
35 + x et celui du fils : 10 + x
35 + x = 2(10 + x)
35 + x = 20 + 2x
Le père aura deux fois l’âge du fils d’où l’équation : x − 2x = 20 − 35
− x = −15
x = 15
p - Soit x le nombre choisi ; on ajoute 15 ; on obtient : x + 15 .
On double le résultat obtenu, soit : 2(x + 15) ; on retranche 35 : 2(x + 15) − 35 et on retrouve le
2(x + 15) − 35 = x
nombre x d’où l’équation : 2x + 30 − 35 = x
x =5
Donne les réponses :
n - Ils sont quatorze pour acheter 2 ballons en donnant 10 F chacun.
o - C’est dans quinze ans que le père aura deux fois l’âge du fils
p - Le nombre choisi est 5
Remarque : chaque solution peut être vérifiée