Dérivabilité bijection réciproque : Cours de maths

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 −2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Chapitre III
D´erivabilit´e d’une bijection r´eciproque
Table des mati`eres
1 Rappels sur le th´eor`eme de la bijection 2
2 D´erivabilit´e et d´eriv´ee d’une bijection r´eciproque 6
3 La fonction arcsinus 7
4 La fonction arccosinus 8
5 La fonction arctangente 10
1

1 Rappels sur le th´eor`eme de la bijection
Notation : On note Rl’ensemble R∪ {−∞,+∞}.
Th´eor`eme 1 (crit`ere d’existence de limites aux bornes d’un intervalle de d´efinition) : Soit a, b ∈R.
1. Soit f: [a, b[→Rune fonction monotone. Alors f(x) tend vers une limite finie ou infinie quand xtend
vers b−.
2. Soit f: ]a, b]→Rune fonction monotone. Alors f(x) tend vers une limite finie ou infinie quand xtend
vers a+.
⋄Exercice 1 Soit fla fonction d´efinie par :
f: [1,+∞[→R;A7→ ZA
1
e−x2
2dx
et soit gla fonction d´efinie par :
g: [1,+∞[→R;A7→ ZA
1
e−x
2dx.
1. ´ Etudier le comportement asymptotique de gen +∞.
2. Montrer que fest croissante sur [1,+∞[. Que peut-on en d´eduire quant au comportement asymptotique
de fen +∞?
3. Montrer que pour tout x∈[1,+∞[ :
e−x2
2≤e−x 2.
4. En d´eduire que f(A) tend vers une limite finie quand Atend vers +∞.
Th´eor`eme 2 (th´eor`eme des valeurs interm´ediaires)
1. 1`ere version : Soit Iun intervalle et soit f:I→Rune fonction continue sur I. Alors f(I) est un
intervalle.
2. 2`eme version : Soit Iun intervalle et soit f:I→Rune fonction continue sur I. Pour tout a, b ∈I,
pour tout yentre f(a) et f(b), il existe xentre aet btel que f(x) = y.
⋄Exemple 1
1. La fonction f, repr´esent´ee graphiquement ci-dessous, est d´efinie sur l’intervalle [1,3] et n’est pas continue
sur [1,3] (elle n’est pas continue en 2). Son image, qui est [0,2] ∪[3,5], n’est pas un intervalle. L’hypoth`ese
de continuit´e dans le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires est donc importante.
1
2
3
4
5
−1
1 2 3 4−1
[
2. La fonction f, repr´esent´ee graphiquement ci-dessous, est d´efinie et continue sur l’ensemble [1,3] ∪[4,6]
qui n’est pas un intervalle. Son image, qui est {1} ∪ [2,4], n’est pas un intervalle. L’hypoth`ese ≪Iest un
intervalle ≫dans le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires est donc importante.
2

1
2
3
4
5
−1
123456−1
3. La fonction f, repr´esent´ee graphiquement ci-dessous, est d´efinie et continue sur l’intervalle [1,9]. Elle
v´erifie donc les hypoth`eses du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.
•1`ere version : Son image est donc un intervalle. On trouve graphiquement f([1,9]) = [3,11].
•2`eme version : De plus pour tout a, b ∈[1,9], pour tout yentre f(a) et f(b), il existe xentre aet btel
que f(x) = y. Ci-dessous, on illustre cette propri´et´e pour a= 3, b= 8, y= 8.6. On a bien ycompris
entre f(a) et f(b), car f(a)<7 et f(b)>10. On voit alors qu’il existe xcompris entre aet b(i.e. dans
[3,8]) tel que f(x) = y. En fait, il existe 3 tels x:x1,x2et x3d´etermin´es graphiquement. On notera en
particulier que le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires donne un r´esultat d’existence, mais pas d’unicit´e.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
−1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12−1ab
f(b)
f(a)
x1x2x3
y
⋄Exercice 2
1. Soit P=X3+ 5X−4. Montrer que Pposs`ede au moins une racine r´eelle.
2. Soit P=X3+a2X2+a1X+a0un polynˆome `a coefficients a0, a1, a2r´eels de degr´e 3. Montrer que P
poss`ede au moins une racine r´eelle.
3. Comment peut-on g´en´eraliser le pr´ec´edent r´esultat ?
3

D´efinition (ensemble image d’une application) : Soit f:E→Fune application. Alors l’image de f,
not´ee f(E), est l’ensemble des ´el´ements de fqui poss`edent au moins un ant´ec´edent par f, i.e. :
f(E) = {y∈F:∃x∈E f (x) = y}.
⋄Exemple 2
1. Repr´esentation d’une application f:E→F`a l’aide de diagrammes de Venn, puis son image f(E).
2. D´etermination graphique, puis analytique, de l’image de la fonction f: [0,1] →R;x7→ 2x−1.
Corollaire (image continue strictement monotone d’un intervalle) : Soit fune fonction continue et
strictement monotone sur un intervalle I. Alors f(I) est un intervalle. Le tableau suivant donne la forme de
f(I) en fonction de la forme de Iet du sens de variation de f.
fstrictement croissante sur I f strictement d´ecroissante sur I
I= [a, b]f(I) = [f(a), f (b)] f(I) = [f(b), f(a)]
I=]a, b]f(I) = ilim
x→af(x), f(b)if(I) = hf(b),lim x→af(x)h
I= [a, b[f(I) = f(a),lim
x→bf(x)f(I) = lim x→bf(x), f(a)
I=]a, b[f(I) = lim
x→af(x),lim
x→bf(x)f(I) = lim x→bf(x),lim
x→af(x)
D´efinitions (application injective, application surjective, application bijective) : Soit f:E→Fune
application.
•On dit que fest injective si pour tout y∈Fl’´equation :
f(x) = y
d’inconnue x∈Eadmet 0 ou 1 solution.
•On dit que fest surjective si pour tout y∈Fl’´equation :
f(x) = y
d’inconnue x∈Eadmet au moins une solution.
•On dit que fest bijective si fest injective et surjective, i.e. si pour tout y∈Fl’´equation :
f(x) = y
d’inconnue x∈Eadmet une et une seule solution.
⋄Exemple 3 : Repr´esentation d’une application finjective (resp. non injective, resp. surjective, resp. non
surjective, resp. bijective) `a l’aide de diagrammes de Venn.
D´efinition (bijection r´eciproque) : Si fest bijective, on d´efinit sa bijection r´eciproque :
f−1:F→E
comme ´etant la fonction qui `a tout y∈Fassocie l’unique solution de l’´equation f(x) = ydans E. On a donc :
∀y∈F f−1(y) = x⇐⇒ 
f(x) = y
et
x∈E
.
4

De plus :
∀x∈E f−1◦f(x) = xet ∀y∈F f ◦f−1(y) = y.
⋄Exemple 4
1. Repr´esentation d’une application fbijective, puis de f−1`a l’aide de diagrammes de Venn.
2. D´emonstration de la bijectivit´e de f: [1,4] →[3,9] ; x7→ 2x+ 1, calcul de f−1(y) pour tout y∈[3,9],
explication des repr´esentations graphiques de fet f−1ci-dessous.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−1
12345678910
y=x
Cf
Cf−1
Remarque importante : Si fest une application bijective, de repr´esentation graphique Cfdans un rep`ere
Rdu plan, alors la repr´esentation graphique de f−1dans Rest le sym´etrique de Cfpar rapport `a la premi`ere
bissectrice (i.e. par rapport `a la droite d’´equation y=x).
Th´eor`eme 3 (th´eor`eme de la bijection) : Soit fune fonction, de domaine de d´efinition I. Si :
•Iest un intervalle ;
•fest continue sur I;
•fest strictement monotone sur I
alors finduit une bijection f−1de f(I) sur I. De plus f−1est continue sur f(I) et de mˆeme monotonie que la
fonction f.
⋄Exemple 5
1. En appliquant le th´eor`eme de la bijection `a la fonction
sin|[−π
2,π 2]:h−π
2,π 2i→[−1,1] ; x7→ sin(x)
on montre que sin|[−π
2,π 2]est bijective. Sa bijection r´eciproque est appel´ee fonction arcsinus et not´ee arcsin :
arcsin: [−1,1] →h−π
2,π 2i.
On a :
∀y∈[−1,1] arcsin(y) = x⇐⇒ 
sin(x) = y
et
x∈h−π
2,π 2i.
5