Chapitre III Dérivabilité d`une bijection réciproque Table des mati`eres

L.E.G.T.A. Le Chesnoy
D. Blottière
TB2 − 2011-2012
Mathématiques
Chapitre III
Dérivabilité d’une bijection réciproque
Table des matières
1 Rappels sur le théorème de la bijection
2
2 Dérivabilité et dérivée d’une bijection réciproque
6
3 La fonction arcsinus
7
4 La fonction arccosinus
8
5 La fonction arctangente
10
1
1
Rappels sur le théorème de la bijection
Notation : On note R l’ensemble R ∪ {−∞, +∞}.
Théorème 1 (critère d’existence de limites aux bornes d’un intervalle de définition) : Soit a, b ∈ R.
1. Soit f : [a, b[→ R une fonction monotone. Alors f (x) tend vers une limite finie ou infinie quand x tend
vers b− .
2. Soit f : ]a, b] → R une fonction monotone. Alors f (x) tend vers une limite finie ou infinie quand x tend
vers a+ .
⋄ Exercice 1
Soit f la fonction définie par :
A
f : [1, +∞[→ R ; A 7→
Z
Z
A
g : [1, +∞[→ R ; A 7→
e−
x2
2
dx
1
et soit g la fonction définie par :
e− 2 dx.
x
1
1. Étudier le comportement asymptotique de g en +∞.
2. Montrer que f est croissante sur [1, +∞[. Que peut-on en déduire quant au comportement asymptotique
de f en +∞ ?
3. Montrer que pour tout x ∈ [1, +∞[ :
e−
x2
2
≤ e− 2 .
x
4. En déduire que f (A) tend vers une limite finie quand A tend vers +∞.
Théorème 2 (théorème des valeurs intermédiaires)
1. 1ère version : Soit I un intervalle et soit f : I → R une fonction continue sur I. Alors f (I) est un
intervalle.
2. 2ème version : Soit I un intervalle et soit f : I → R une fonction continue sur I. Pour tout a, b ∈ I,
pour tout y entre f (a) et f (b), il existe x entre a et b tel que f (x) = y.
⋄ Exemple 1
1. La fonction f , représentée graphiquement ci-dessous, est définie sur l’intervalle [1, 3] et n’est pas continue
sur [1, 3] (elle n’est pas continue en 2). Son image, qui est [0, 2] ∪ [3, 5], n’est pas un intervalle. L’hypothèse
de continuité dans le théorème des valeurs intermédiaires est donc importante.
5
b
4
[
3
2
b
1
b
−1
1
2
3
4
−1
2. La fonction f , représentée graphiquement ci-dessous, est définie et continue sur l’ensemble [1, 3] ∪ [4, 6]
qui n’est pas un intervalle. Son image, qui est {1} ∪ [2, 4], n’est pas un intervalle. L’hypothèse ≪ I est un
intervalle ≫ dans le théorème des valeurs intermédiaires est donc importante.
2
5
4
b
3
2
b
1
−1
b
1
2
3
4
b
5
6
−1
3. La fonction f , représentée graphiquement ci-dessous, est définie et continue sur l’intervalle [1, 9]. Elle
vérifie donc les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires.
• 1ère version : Son image est donc un intervalle. On trouve graphiquement f ([1, 9]) = [3, 11].
• 2ème version : De plus pour tout a, b ∈ [1, 9], pour tout y entre f (a) et f (b), il existe x entre a et b tel
que f (x) = y. Ci-dessous, on illustre cette propriété pour a = 3, b = 8, y = 8.6. On a bien y compris
entre f (a) et f (b), car f (a) < 7 et f (b) > 10. On voit alors qu’il existe x compris entre a et b (i.e. dans
[3, 8]) tel que f (x) = y. En fait, il existe 3 tels x : x1 , x2 et x3 déterminés graphiquement. On notera en
particulier que le théorème des valeurs intermédiaires donne un résultat d’existence, mais pas d’unicité.
11
f (b)
10
b
9
y
8
b
7
f (a)
6
5
4
3
2
1
−1
1
2
a 3
x1 4
5 x2
6
7 x3 8 b
9
10
11
12
−1
⋄ Exercice 2
1. Soit P = X 3 + 5X − 4. Montrer que P possède au moins une racine réelle.
2. Soit P = X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 un polynôme à coefficients a0 , a1 , a2 réels de degré 3. Montrer que P
possède au moins une racine réelle.
3. Comment peut-on généraliser le précédent résultat ?
3
Définition (ensemble image d’une application) : Soit f : E → F une application. Alors l’image de f ,
notée f (E), est l’ensemble des éléments de f qui possèdent au moins un antécédent par f , i.e. :
f (E) = {y ∈ F : ∃ x ∈ E f (x) = y}.
⋄ Exemple 2
1. Représentation d’une application f : E → F à l’aide de diagrammes de Venn, puis son image f (E).
2. Détermination graphique, puis analytique, de l’image de la fonction f : [0, 1] → R ; x 7→ 2x − 1.
Corollaire (image continue strictement monotone d’un intervalle) : Soit f une fonction continue et
strictement monotone sur un intervalle I. Alors f (I) est un intervalle. Le tableau suivant donne la forme de
f (I) en fonction de la forme de I et du sens de variation de f .
f strictement croissante sur I
f strictement décroissante sur I
I = [a, b]
f (I) = [f (a), f (b)]
f (I) = [f (b), f (a)]
I =]a, b]
i
i
f (I) = lim f (x), f (b)
h
h
f (I) = f (b), lim f (x)
I = [a, b[
f (I) = f (a), lim f (x)
f (I) = lim f (x), f (a)
I =]a, b[
f (I) = lim f (x), lim f (x)
f (I) = lim f (x), lim f (x)
x→a
x→a
x→b
x→a
x→b
x→b
x→b
x→a
Définitions (application injective, application surjective, application bijective) : Soit f : E → F une
application.
• On dit que f est injective si pour tout y ∈ F l’équation :
f (x) = y
d’inconnue x ∈ E admet 0 ou 1 solution.
• On dit que f est surjective si pour tout y ∈ F l’équation :
f (x) = y
d’inconnue x ∈ E admet au moins une solution.
• On dit que f est bijective si f est injective et surjective, i.e. si pour tout y ∈ F l’équation :
f (x) = y
d’inconnue x ∈ E admet une et une seule solution.
⋄ Exemple 3 : Représentation d’une application f injective (resp. non injective, resp. surjective, resp. non
surjective, resp. bijective) à l’aide de diagrammes de Venn.
Définition (bijection réciproque) : Si f est bijective, on définit sa bijection réciproque :
f −1 : F → E
comme étant la fonction qui à tout y ∈ F associe l’unique solution de l’équation f (x) = y dans E. On a donc :

f (x) = y

et
∀y ∈ F
f −1 (y) = x ⇐⇒
.

x∈E
4
De plus :
f −1 ◦ f (x) = x
∀x ∈ E
et
f ◦ f −1 (y) = y.
∀y ∈ F
⋄ Exemple 4
1. Représentation d’une application f bijective, puis de f −1 à l’aide de diagrammes de Venn.
2. Démonstration de la bijectivité de f : [1, 4] → [3, 9] ; x 7→ 2x + 1, calcul de f −1 (y) pour tout y ∈ [3, 9],
explication des représentations graphiques de f et f −1 ci-dessous.
10
y=x
9
8
7
6
5
Cf
4
3
2
1
Cf −1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−1
Remarque importante : Si f est une application bijective, de représentation graphique Cf dans un repère
R du plan, alors la représentation graphique de f −1 dans R est le symétrique de Cf par rapport à la première
bissectrice (i.e. par rapport à la droite d’équation y = x).
Théorème 3 (théorème de la bijection) : Soit f une fonction, de domaine de définition I. Si :
• I est un intervalle ;
• f est continue sur I ;
• f est strictement monotone sur I
alors f induit une bijection f −1 de f (I) sur I. De plus f −1 est continue sur f (I) et de même monotonie que la
fonction f .
⋄ Exemple 5
1. En appliquant le théorème de la bijection à la fonction
h π πi
sin|[− π2 , π2 ] : − ,
→ [−1, 1] ; x 7→ sin(x)
2 2
on montre que sin|[− π2 , π2 ] est bijective. Sa bijection réciproque est appelée fonction arcsinus et notée arcsin :
h π πi
arcsin: [−1, 1] → − ,
.
2 2
On a :
∀ y ∈ [−1, 1]
arcsin(y) = x ⇐⇒
5





sin(x) = y
et
h π πi .
x∈ − ,
2 2
De plus :
h π πi
∀x ∈ − ,
2 2
arcsin(sin(x)) = x
et
∀ y ∈ [−1, 1]
sin(arcsin(y)) = y.
Toujours grâce au théorème de la bijection, on sait que arcsin est continue et strictement croissante sur
[−1, 1].
2. Calcul de arcsin(0), arcsin(
2
√
2
2 ),
arcsin(− 21 ).
Dérivabilité et dérivée d’une bijection réciproque
Théorème 4 (dérivabilité et dérivée d’une bijection réciproque ) : Soit f une application bijective et
continue d’un intervalle I vers un intervalle J. Si f est dérivable en x0 ∈ I, et si f ′ (x0 ) 6= 0, alors f −1 est
dérivable en y0 = f (x0 ) et l’on a :
1
(f −1 )′ (y0 ) = ′ −1
.
f (f (y0 ))
Remarque importante : Soit f : I → J une bijection dérivable (et donc continue) sur l’intervalle I. Alors
l’ensemble de dérivabilité de f −1 , noté Df′ −1 , est donné par :
Df′ −1 = {y ∈ J : f ′ (f −1 (y)) 6= 0}.
Autrement dit, Df′ −1 est défini par la non annulation du dénominateur dans la formule du théorème 4.
Preuve de l’assertion Df′ −1 = {y ∈ J : f ′ (f −1 (y)) 6= 0}.
⊃ Soit y0 ∈ J tel que f ′ (f −1 (y0 )) 6= 0. Soit x0 = f −1 (y0 ). On a donc f (x0 ) = y0 . Le théorème 4 appliqué
en x0 montre que f −1 est dérivable en y0 . On a donc l’inclusion : {y ∈ J : f ′ (f −1 (y)) 6= 0} ⊂ Df′ −1 .
⊂ Soit y0 ∈ Df′ −1 . Comme f −1 est dérivable en y0 et que f est dérivable en f −1 (y0 ), la fonction f ◦ f −1 est
dérivable en y0 . D’après la formule de dérivation d’une composée, on a alors :
(f ◦ f −1 )′ (y0 ) = (f −1 )′ (y0 ) × f ′ (f −1 (y0 )).
(1)
Mais on a également f ◦ f −1 (y) = y pour tout y ∈ J. On en déduit que f ◦ f −1 est dérivable sur J et que
pour tout y ∈ J : (f ◦ f −1 )′ (y) = 1. En particulier on a :
(f ◦ f −1 )′ (y0 ) = 1.
(2)
(f −1 )′ (y0 ) × f ′ (f −1 (y0 )) = 1.
(3)
De (1) et (2) on déduit que :
Par suite, f ′ (f −1 (y0 )) ne peut être nul et donc y0 ∈ {y ∈ J : f ′ (f −1 (y)) 6= 0}. On a donc l’inclusion
Df′ −1 ⊂ {y ∈ J : f ′ (f −1 (y)) 6= 0}.
⋆ Notons au passage que de (3), on déduit aisément la formule du théorème 4.
⋄ Exercice 3 : On se propose de donner une définition de la fonction racine carrée et de retrouver quelques
unes de ses propriétés, en particulier son domaine de dérivabilité et sa dérivée, en appliquant le théorème 3, le
théorème 4 et la remarque importante qui le suit.
Soit f la fonction définie par :
f : [0, +∞[→ R : x 7→ x2 .
1. Montrer que f induit une bijection de [0, +∞[ sur [0, +∞[. On note f −1 la bijection réciproque. C’est par
définition la fonction usuelle racine carrée. Dans la suite on répondra aux questions sans jamais invoquer
de propriétés ≪ connues ≫ de la fonction racine carrée.
2. Calculer f −1 (4).
3. Montrer que f −1 est dérivable en 4 et calculer (f −1 )′ (4).
4. Donner le domaine de dérivabilité Df′ −1 de f −1 .
5. Calculer (f −1 )′ (y) pour tout y ∈ Df′ −1 .
6
3
La fonction arcsinus
La fonction arcsinus, notée arcsin, a été définie dans l’exemple 5.
Théorème 5 (propriétés de la fonction arcsin)
h π πi
1. La fonction arcsin est définie sur [−1, 1] et prend ses valeurs dans l’intervalle − , .
2 2
2. On a :

sin(x) = y


et
∀ y ∈ [−1, 1]
arcsin(y) = x ⇐⇒
h π πi .


x∈ − ,
2 2
3. On a :
h π πi
∀x ∈ − ,
2 2
arcsin(sin(x)) = x
et
∀ y ∈ [−1, 1]
4. La fonction arcsin est impaire.
5. La fonction arcsin est continue sur [−1, 1].
6. Le domaine de dérivabilité de arcsin est ] − 1, 1[.
7. Pour tout y ∈] − 1, 1[
8. Le tableau de variations de arcsin est :
1
.
arcsin′ (y) = p
1 − y2
−1
x
Variations de arcsin
π
−
2
1
ր
π
2
9. Le tableau de signes de arcsin est :
−1
x
Signe de arcsin
0
−
0
1
+
10. La courbe représentative de arcsin dans un repère orthonormé du plan est :
7
sin(arcsin(y)) = y.
2.0
1.5
1.0
0.5
−2.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
−0.5
Csin|[− π , π ]
2
2
−1.0
Carcsin
y=x
−1.5
−2.0
⋄ Preuve du théorème 5
π
π
et en . Par suite (cf.
2
2
symétrie par rapport à la première bissectrice), la courbe Carcsin présente deux demi-tangentes verticales : en
−1 et en 1. On retrouve ainsi graphiquement le fait que la fonction arcsin n’est dérivable ni en −1, ni en 1.
Remarque : La courbe Csin|[− π , π ] présente deux demi-tangentes horizontales : en −
2
⋄ Exercice 4 : Calculer
4
Z
1
2
0
2
1
√
dx.
1 − x2
La fonction arccosinus
On démontre, en utilisant le théorème de la bijection, que la fonction
cos|[0,π] : [0, π] → [−1, 1] , x 7→ cos(x)
est bijective. Sa bijection réciproque est appelée fonction arccosinus et est notée arccos.
⋄ Exemple 6 : Calcul de arccos(0), arccos( 12 ), arccos(−1).
Théorème 6 (propriétés de la fonction arccos)
1. La fonction arccos est définie sur [−1, 1] et prend ses valeurs dans l’intervalle [0, π].
2. On a :
∀ y ∈ [−1, 1]
arccos(y) = x ⇐⇒
3. On a :
∀ x ∈ [0, π]
arccos(cos(x)) = x
et


cos(x) = y
et

∀ y ∈ [−1, 1]
4. La fonction arccos n’a aucune propriété de parité.
5. La fonction arccos: [−1, 1] → [0, π] est continue sur [−1, 1].
6. Le domaine de dérivabilité de arccos est ] − 1, 1[.
7. Pour tout y ∈] − 1, 1[,
8. Le tableau de variations de arccos est :
1
.
arccos′ (y) = − p
1 − y2
8
.
x ∈ [0, π]
cos(arccos(y)) = y.
−1
x
1
π
ց
Variations de arccos
0
9. Le tableau de signes de arccos est :
−1
x
1
Signe de arccos
+
0
10. La courbe représentative de arccos dans un repère orthonormé du plan est :
Carccos
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
−2.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.5
−0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Ccos|[0,π]
−1.0
y=x
−1.5
⋄ Preuve du théorème 6
Remarque : La courbe Ccos|[0,π] présente deux demi-tangentes horizontales : en 0 et en π. Par suite (cf. symétrie
par rapport à la première bissectrice), la courbe Carccos présente deux demi-tangentes verticales : en −1 et en 1.
On retrouve ainsi graphiquement que la fonction arccos n’est dérivable ni en −1, ni en 1.
Rappel (corollaire du théorème des accroissements finis) : Si f est une fonction dérivable sur un
intervalle I et si pour tout x ∈ I :
f ′ (x) = 0
alors la fonction f est constante sur I, i.e. :
∃K ∈ R
∀x ∈ I
9
f (x) = K.
⋄ Exercice 5 : Montrer que :
5
∀ x ∈ [−1, 1]
arcsin(x) + arccos(x) =
π
.
2
La fonction arctangente
On démontre, en utilisant le théorème de la bijection, que la fonction
i π πh
→ R , x 7→ tan(x)
tan|]− π , π [ : − ,
2 2
2 2
est bijective. Sa bijection réciproque est appelée fonction arctangente et est notée arctan.
⋄ Exemple 7 : Calcul de arctan(0) et arctan(1).
Théorème 7 (propriétés de la fonction arctan)
i π πh
1. La fonction arctan est définie sur R et prend ses valeurs dans l’intervalle − , .
2 2
2. On a :

tan(x) = y


et
∀y ∈ R
arctan(y) = x ⇐⇒
i π πh .


x∈ − ,
2 2
3. On a :
i π πh
∀x ∈ − ,
2 2
arctan(tan(x)) = x
et
∀y ∈ R
tan(arctan(y)) = y.
4. La fonction arctan est impaire.
5. La fonction arctan est dérivable (donc continue) sur R.
6. Pour tout y ∈ R,
arctan′ (y) =
7. On a :
arctan(x) −→ −
x→−∞
π
2
1
.
1 + y2
et donc par imparité
arctan(x) −→
x→+∞
8. Le tableau de variations de arctan est :
−∞
x
Variations de arctan
π
−
2
+∞
ր
π
2
9. Le tableau de signes de arctan est :
x
−∞
Signe de arctan
0
−
0
+∞
+
10. La courbe représentative de arctan dans un repère orthonormé du plan est :
10
π
.
2
Ctan
5
]
| −π,π
2 2
[
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
Carctan
−2
−3
−4
y=x
−5
⋄ Preuve du théorème 7
⋄ Exercice 6 : Montrer que :
∀ x ∈ R∗
 π


 −2
1
=
arctan(x) + arctan

x
 π

2
11
si x < 0
.
si x > 0
7