2. — Carré construit sur une hauteur d`un triangle. - E

2. — Carré construit sur une hauteur d'un
triangle.
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 25 (1926)
Heft 1: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 05.06.2017
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On adonc
Par permutation circulaire on a
(1)
c'est-à-dire
Théorème I. ?Le rectangle construit sur deux hauteurs d'un
triangle quelconque est égal au rectangle construit sur les deux
côtés correspondants, diminué du rectangle construit sur les pro
jections de ces côtés Vun sur Vautre.
Remarque. ?Ce théorème est valable quels que soient les
angles du triangle.
2. ?Carré construit sur une hauteur d'un triangle.
Premier cas. ?Triangle acutangle (fig. 2)
Fig. 2.
Soit ABC un triangle acutangle. D'après la première des
formules du groupe (1), nous avons

Les triangles semblables AA,Get BBtGfournissent la
relation
Multiplions membre àmembre
Les quadrilatères ABA^, BCB,^, CAC^ étant ins
oriptibles, le théorème des sécantes donne
Remplaçons aa" par bb' dans A'2,puis appliquons la permu
tation circulaire
(2)
<A:st--à-dire
Théorème 11. ?Le carré construit sur une hauteur d'un
triangle acutangle est équivalent au rectangle construit sur les
xfgiïients qu'elle détermine sur le côté correspondant augmenté du
rectangle construit sur Vun des deux autres côtés et la -projection
du second sur lui.
Second cas. ?Triangle obtusangle (a >90°) (fig. 3).
En appliquant successivement àchacune des formules du
groupe (1) le même procédé que dans le premier cas et en obser
vant que a=a' +a\ b=V?b\ c=c" ?c\ on est conduit
aux résultats ci-dessous
(2')

Dans le cas d'un triangle obtusangle, le carré construit sur
une hauteur est donc équivalent àla différence des deux rec
tangles en question.
Les relations (2) et (2') peuvent être exprimées par le théo
rème unique suivant:
Théorème ll'. ?Dans un triangle quelconque, le carré
construit sur une hauteur est équivalent au rectangle construit sur
les segments qu'elle détermine sur le côté correspondant augmenté
Fig. 3.
ou diminué du rectangle construit sur Vun des deux autres côtés
et la projection du second sur lui, suivant que les trois angles
sont aigus ou que Vangle traversé par la hauteur est obtus. Le
carré d'une hauteur ne traversant pas Vangle obtus est égal au
second rectangle moins le premier*
Remarque 1. ?Si nous convenons d'envisager les segments

comme positifs quand ils sont dirigés dans le sens ABCAet
négatifs dans le sens contraire ACB A, les formules (2) sont alors
valables dans tous les cas, donc quels que soient les angles du
triangle. On constate d'emblée qu'un segment négatif est situé
en entier sur le prolongement du côté correspondant; un seg
ment qui empiète seulement sur le prolongement du côté est
?positif.
IRemarque 2. ?Soit ABC un triangle rectangle en A(fig. 3)
et appliquons-lui le théorème suivant:
Le carré construit sur la hauteur oVun triangle rectangle est équi
valent au rectangle construit sur les segments qu'elle détermine
sur l'hypoténuse :
Supposons que le sommet Ase déplace sur la hauteur A', que
les sommets Bet Crestent fixes et les segments a' et a" par
conséquent invariables.
1° Si As'éloigne de a, l'angle adiminue, la hauteur h' augmente
et Ton a, d'après les formules (2) concernant le triangle acutangle
Le carré construit sur la hauteur h1aainsi augmenté du rectangle
bb\
2° Si par contre Ase rapproche de a, l'angle aaugmente, la
hauteur h' diminue et l'on a, d'après les formules (2') appli
cables au triangle obtusangle en A
où b" doit être pris en valeur absolue.
Dans ce cas, le carré construit sur la hauteur h' adiminué
du rectangle bb".
D'ailleurs, en faisant tendre avers 90°, la première des for
mules (2) (ou (2')), c'est-à-dire
devient, puisqu'à la limite b" =0,