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2. — Carré construit sur une hauteur d'un triangle. Objekttyp: Chapter Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band (Jahr): 25 (1926) Heft 1: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE PDF erstellt am: 05.06.2017 Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. 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Carré construit sur une hauteur d'un triangle. Premier cas. ? Triangle acutangle (fig. 2) Fig. 2. Soit ABC un triangle acutangle. D'après la première des formules du groupe (1), nous avons Les triangles semblables AA,Get la BB t G fournissent relation Multiplions membre à membre Les quadrilatères BCB,^, CAC^ étant ins oriptibles, le théorème des sécantes donne ABA^, Remplaçons aa" par bb' dans A' 2 , puis appliquons la permu tation circulaire (2) <A:st--à-dire ? Théorème 11. Le carré construit sur une hauteur d'un triangle acutangle est équivalent au rectangle construit sur les xfgiïients qu'elle détermine sur le côté correspondant augmenté du rectangle construit sur Vun des deux autres côtés et la -projection du second sur lui. Second cas. Triangle obtusangle (a > 90°) (fig. 3). En appliquant successivement à chacune des formules du groupe (1) le même procédé que dans le premier cas et en obser vant que a = a' + a\ b = V b\ c = c" c\ on est conduit aux résultats ci-dessous ? ? ? (2') Dans le cas d'un triangle obtusangle, le carré construit sur une hauteur est donc équivalent à la différence des deux rec tangles en question. Les relations (2) et (2') peuvent être exprimées par le théo rème unique suivant: Théorème ll'. Dans un triangle quelconque, le carré construit sur une hauteur est équivalent au rectangle construit sur les segments qu'elle détermine sur le côté correspondant augmenté ? Fig. 3. ou diminué du rectangle construit sur Vun des deux autres côtés et la projection du second sur lui, suivant que les trois angles sont aigus ou que Vangle traversé par la hauteur est obtus. Le carré d'une hauteur ne traversant pas Vangle obtus est égal au second rectangle moins le premier* Si nous convenons d'envisager les segments Remarque 1. ? comme positifs quand ils sont dirigés dans le sens ABC A et négatifs dans le sens contraire ACB A, les formules (2) sont alors valables dans tous les cas, donc quels que soient les angles du triangle. On constate d'emblée qu'un segment négatif est situé en entier sur le prolongement du côté correspondant; un seg ment qui empiète seulement sur le prolongement du côté est ?positif. I Remarque 2. et ABC un triangle rectangle en ? leSoitthéorème suivant: A (fig. 3) appliquons-lui Le carré construit sur la hauteur oVun triangle rectangle est équi valent au rectangle construit sur les segments qu'elle détermine ' sur l hyp otén use : Supposons que le sommet A se déplace sur la hauteur A', que B et C restent fixes et les segments a' et a" par conséquent invariables. 1° Si A s'éloigne de a, l'angle a diminue, la hauteur h' augmente et Ton a, d'après les formules (2) concernant le triangle acutangle les sommets Le carré construit sur la hauteur h a ainsi augmenté du rectangle 1 bb\ 2° Si par contre A se rapproche de a, l'angle a augmente, la hauteur h' diminue et l'on a, d'après les formules (2') appli cables au triangle obtusangle en A où b" doit être pris en valeur absolue. Dans ce cas, le carré construit sur la du rectangle bb". hauteur h' a diminué D'ailleurs, en faisant tendre a vers 90°, la première des for mules (2) (ou (2')), c'est-à-dire devient, puisqu'à la limite b" = 0, ± Nous pouvons donc envisager la relation h' 2 = a' a" bb" relative à un triangle acutangle ou obtusangle en A, c'est-à-dire le théorème ', comme étant la généralisation du théorème énoncé ci-dessus et relatif à un triangle rectangle. Si l'on tient compte de la règle des signes des segments, le théorème généralisé c'est-à-dire le théorème peut s'énon suit: cer comme Dans un triangle quelconque, le carré construit sur chaque hauteur est équivalent à la somme algébrique du rectangle construit sur les segments qiïelle détermine sur le côté correspondant et du rectangle construit sur Vun des deux autres côtés et la projection du second sur lui, la surface d'un des rectangles devant être prise négativement si Vun des segments qui deviennent ses dimensions est négatif. ll ll' ? ? 3. ? Carré construit sur un côté d'un triangle Premier cas. ? Triangle acutangle (fig. 4) Fig. Le théorème II donne 4.
