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Chapitre 4
Statistiques
Les statistiques sont une branche des mathématiques appliquées qui permettent d’étudier des phénomènes
ayant un caractère intrinsèquement aléatoire. Elles utilisent un vocabulaire spécifique que nous allons d’abord
introduire.
4.1 Vocabulaire des statistiques
Pour chaque étude statistique on doit systématiquement définir :
— la population étudiée,
— le caractère auquel on s’intéresse pour chaque individu de la population.
Exemples :
— Une étude statistique s’intéresse, chez les jeunes de 12 à 25 ans, à la taille en cm. Quelle est la population ?
Quel est le caractère ?
Réponses : la population étudiée est celle des jeunes de 12 à 25 ans . Le caractère étudié est la taille en
cm.
— Donner (ou imaginer) un autre exemple d’étude statistique, puis donner la population et le caractère
étudiés.
Réponse : On peut étudier le nombre d’année(s) d’étude après le bac. La population est celle des bacheliers.
Le caractère est le nombre d’années d’étude.
Le but des études statistiques est d’offrir à d’autres sciences (physique, biologie, économie,...) des moyens de
(1) recueillir 
des données décrivant la population.
(2) présenter
(3) analyser
(4) utiliser
Exemples :
(1) Lors d’un recensement de la population d’un pays on recueille diverses informations sur des individus.
Seul un groupe 1de la population est interrogé.
(2) On peut parfois présenter des données statistiques à l’aide d’un histogramme.
(3) Pour analyser globalement les résultats d’une classe d’élèves on peut utiliser la moyenne générale de la
classe.
(4) En médecine, on peut utiliser une étude statistique pour savoir si tel médicament, testé sur un échantillon
d’individus, aura une bonne efficacité sur l’ensemble de la population.
Donner d’autres exemples illustrant les quatre objectifs poursuivis par une étude statistique :
1. On parle en statistique d’échantillon de la population.
1

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Exemples :
(1) Les sondages (électoraux par exemple) sont un exemple d’étude statistique où l’on recueille des données.
(2) On présente parfois les données statistiques à l’aide de diagrammes circulaires, ou de diagrammes en
bâtons.
(3) On peut analyser les données d’une étude statistique en calculant la plus grande et la plus petite valeurs
receillies puis l’étendue (val. max. - val. min.).
(4) On peut utiliser les résultats d’une enquête statistique sur la vente d’un produit pour prévoir si il existe
un marché pour ce dernier.
Le caractère étudié peut être de plusieurs sortes comme l’indique l’arbre suivant :
caractère
qualitatif
(1)
quantitatif
(2)
discret
(2.1)
continu
(2.2)
Exemples :
(1) Si on étudie la couleur naturelle de cheveux d’une population de personnes, et qu’on admet que cette cou-
leur est dans la liste {blond, châtain, brun, roux}, alors le caractère étudié sera qualitatif (ne correspondant
pas à un nombre) 2.
(2.1) Si on étudie le nombre de véhicules personnels dans une population de ménages, alors le caractère sera
quantitatif discret , car ne pouvant être qu’un nombre entier (par exemple de 0 à 4).
(2.2) Si une expérience de physique consiste à mesurer la température à une heure donnée du jour sur un
ensemble de points géographiques, alors le caractère sera quantitatif continu, car pouvant être mesuré par
un nombre réel (par exemple de l’intervalle [−50°; 50°]). Dans ce cas on rassemblera les valeurs mesurées
dans des classes, c.-à-d. des intervalles. Par exemple ici on pourra choisir 3des classes de largeur 10°, de
[−50°;−40°]jusqu’à [40°; 50°]
Donner ci-dessous d’autres exemples des trois types de caractère qu’on peut rencontrer en statistiques :
Exemples :
(1) Qualitatif : La qualité des repas fournis par une cantine de lycée pourrait être mesurée auprés des élèves
en leur faisant choisir leur réponse dans une liste du type {mauvais, passable, correct, bon ,très bon}.
(2.1) Quantitatif discret : Une étude peut consister à étudier sur un groupe de personnes ayant un abonnement
internet le nombre de courriers électroniques envoyés par mois, dans la liste {0,1,...,599,600}.
(2.2) Quantitatif continu : La durée de vie d’un modèle donné d’ampoule à incandescence peut être mesurée
dans des classes de largeur 100 heures, par exemple de [0; 100],[100; 200] à[900; 1000].
Pour consigner les données recueillies, on utilise la notion de série statistique. Plus précisément, une série
statistique est représentable par un tableau contenant :
— la suite des valeurs prises par le caractère 4;
— la suite des effectifs associés à chaque valeur.
2. On parle alors parfois des modalités du caractère
3. Le choix de la largeur de chaque classe est arbitraire. Celui qui conçoit l’étude statistique fixe cette largeur.
4. ou la suite des classes, si le caractère est continu.
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Exemple : Pour l’exemple (2.1) donné précédemment on a obtenu 5:
Valeur
(Nb. de véhicules) 01234
Effectif
(Nb. de familles) 49 543 756 123 29
Cette série comporte 5valeurs différentes du caractère. L’effectif total N de la série est la somme de tous les
effectifs. La fréquence fd’une valeur du caractère dont l’effectif est nest
f=effectif
effectif total =n N.
En utilisant ces définitions, compléter le tableau suivant, en donnant les fréquences avec une précision de 10−3:
Valeur
(Nb. de véhicules) 0 1 2 3 4 Total
Effectif
(Nb. de familles) 49 543 756 123 29 1500
Fréquence 0,033 0,362 0,504 0,082 0,019 1
Les fréquences vérifient les propriétés suivantes qu’il faut connaître :
Propriétés :
1. Toute fréquence fvérifie : 06f61;
2. La somme des fréquences est égale à 1.
On peut aussi calculer les effectifs (ou les fréquences) cumulé(e)s croissant(e)s, qui sont surtout utilisés pour
un caractère quantitatif continu, pour lequel les valeurs du caractère sont réparties en classes (intervalles). Voici
un exemple, où on s’intéresse au salaire mensuel net des salariés d’une entreprise :
Valeur
(salaire net (en e)) [0; 1000[ [1000; 1200[ [1200; 1500[ [1500; 2500[ [2500; 3000[ Total
Effectif
(Nb. de personnes) 5 8 24 13 2 52
L’Effectif Cumulé Croissant (ou ECC) d’une valeur est le nombre d’individus ayant un caractère inférieur ou
égal à cette valeur. Les Fréquences Cumulées Croissantes (FCC) sont les ECC divisés par l’effectif total. Cette
définition permet de compléter le tableau suivant :
Valeur
(salaire net (en e)) [0; 1000[ [1000; 1200[ [1200; 1500[ [1500; 2500[ [2500; 3000[
Effectif
(Nb. de personnes) 5 8 24 13 2
ECC 5 13 37 50 52
FCC 0,096 0,250 0,712 0,962 1
Dans cet exemple, et d’après le tableau ci-dessus, le nombre de salariés ayant un salaire inférieur ou égal à
1500 eest 37 . De même, puisque la FCC en % de la valeur 2500 est 96,2, cela signifie que 96,2 % des salariés
de cet entreprise ont un salaire inférieur ou égal à 2500 e.
5. D’après une enquête de 1995 dans une région du Québec.
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4.2 Représentations d’une série statistique
Les représentations des données statistiques sont très variées. Selon la nature du caractère étudié, certaines
représentations graphiques sont plus appropriées. Schématiquement, si le caractère est
— qualitatif : on trace un diagramme circulaire
— quantitatif discret : on trace un diagramme en bâtons (ou en barres)
— quantitatif continu : on trace un histogramme et, éventuellement, le polygone des effectifs (ou des fré-
quences) cumulé(e)s croissant(e)s.
La construction de ces représentations à partir des données brutes, ou leur utilisation (par exemple pour retrouver
des effectifs) sont des compétences à maîtriser. On renvoit aux exercices traités en classe pour leur bonne
acquisition. Nous donnons ci-dessous des exemples de chacune de ces représentations évoquées ci-dessus.
Oiseaux: 35
Insectes: 19
Amphibiens: 11
Reptiles: 10
Mammifères: 40
Figure 4.1: Exemple de diagramme circulaire.
Étude des espèces animales menacées
Nombre de véhicules
Nombre de familles
0
100
200
300
400
500
600
700
01234
Figure 5.2 – Exemple de diagramme en bâtons.
Nombre de véhicules dans les familles.
12000 500 1000 1500 2000 2500 3000
e
effectif égal à 5
Figure 5.3 – Exemple d’histogramme.
Salaires (en e) dans une entreprise.
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On peut retenir, pour le tracé pratique de ces représentations, que :
— dans un diagramme circulaire les angles des secteurs sont proportionnels aux effectifs (ou fréquences) ;
— dans un diagramme en bâtons, les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux effectifs (ou aux fré-
quences) ;
— dans un histogramme, les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences).
Dans chaque cas, les unités indiquées sur le graphique permettent de retrouver ce coefficient de proportionnalité.
Enfin, pour un caractère continu, on utilisera parfois le polygone des effectifs (ou fréquences) cumulé(e)s crois-
sant(e)s, qui permet de retrouver certains des paramètres caractérisant la série statistique :
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Effectifs cumulés croissants
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Salaires (en e)
Figure 4.4: Polygone des Effectifs Cumulés Croissants
Salaires dans une entreprise.
Une utilisation possible est la détermination (par lecture graphique ou par un calcul) de la médiane. Ici, puisque
l’effectif total est de 52, on cherche la valeur du salire qui correspondrait à un effectif de 26, sachant que 13
salariés ont un salaire inférieur ou égal à 1200 et 37 ont un salaire inférieur ou égal à 1500. On trouve (exercice) :
Me=1362,5 e.
4.3 Paramètres de position et de dispersion
Ayant donné un minimum de définitions pour décrire une série statistique on va maintenant définir des
paramètres qui permettent d’analyser cette série.
Définition : Soit une série statistique à caractère quantitatif dis-
cret comportant pvaleurs distinctes, d’effectif total N.
La moyenne de cette série est le réel noté ¯xtel que
¯x=n1x1+n2x2+··· +npxp
N
Valeur x1x2··· xp
Effectif n1n2··· np
Remarque : La moyenne peut aussi se calculer à partir des fréquences f1, f2, . . . , fpen remarquant, dans la
formule précédente, que fi=ni
N. Donner cette formule :
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