Alain Kraus

COURS D’ARITHM´ ETIQUE
2M220
Alain Kraus
Universit´e de Paris VI
2014/15

Table des mati`eres
Introduction 3
Chapitre I. Arithm´etique sur Z5
1. Division euclidienne 5
2. Nombres premiers 6
3. Valuation p-adique d’un entier relatif 11
4. Plus grand commun diviseur 14
5. L’algorithme d’Euclide 16
6. L’´equation ax +by =c18
7. Plus petit commun multiple 19
8. Num´eration en base b20
Chapitre II. La notion de groupe 27
1. D´efinition d’un groupe 27
2. Sous-groupes d’un groupe 29
3. Classes modulo un sous-groupe - Th´eor`eme de Lagrange 31
4. Groupe quotient d’un groupe ab´elien 34
5. Sous-groupe engendr´e par un ´el´ement - Ordre d’un ´el´ement 35
6. Groupes cycliques - Fonction indicatrice d’Euler 39
7. Homomorphismes de groupes 44
Chapitre III. Anneaux et corps 51
1. D´efinition d’un anneau 51
2. Sous-anneaux - Id´eaux 53
3. Anneau quotient d’un anneau commutatif 55
4. Groupe des ´el´ements inversibles - Corps - Anneaux int`egres 56
5. Homomorphismes d’anneaux 60
6. La formule du binˆome de Newton 62
Chapitre IV. Arithm´etique sur Z/nZ63
1. Le groupe multiplicatif Z/nZ∗63
2. Th´eor`eme d’Euler et petit th´eor`eme de Fermat 64
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3. Le th´eor`eme chinois 66
4. D´etermination de la fonction indicatrice d’Euler 69
5. Application `a la cryptographie - Algorithme RSA 71
Chapitre V. Arithm´etique sur K[X]et ses quotients 77
1. Degr´e - Division euclidienne 77
2. Id´eaux de K[X] - pgcd - ppcm 79
3. Polynˆomes irr´eductibles 82
4. Racines d’un polynˆome 84
5. Les alg`ebres quotients de K[X] modulo un id´eal 89
Chapitre VI. Corps finis - Construction 99
1. Caract´eristique d’un anneau 99
2. Groupe multiplicatif d’un corps fini 101
3. Corps finis comme quotients de Fp[X] 103
4. Construction et unicit´e des corps `a p2´el´ements 104
5. Polynˆomes irr´eductibles sur un corps fini 107
6. Th´eor`eme d’existence et d´enombrement 110
7. Th´eor`eme d’unicit´e 116
8. Le probl`eme du logarithme discret 116
Algorithme de Silver, Pohlig et Hellman - Algorithme Baby step-Giant step
9. Applications `a la cryptographie 122
Protocole de Diffie-Hellman - Algorithme de El Gamal
Chapitre VII. Codes correcteurs d’erreurs 125
1. Probl´ematique des codes correcteurs 125
2. Distance de Hamming - D´efinition et param`etres d’un code 127
3. D´ecodage par maximum de vraisemblance - Capacit´e de correction 129
4. Codes parfaits 131
5. Les entiers Aq(n, d) 132
6. Codes lin´eaires 134
7. Encodages associ´es aux codes lin´eaires - Matrices g´en´eratrices 137
8. Codes syst´ematiques 138
9. Codes ´equivalents 143
10. Matrices de contrˆole 145
11. Applications des matrices de contrˆole 148
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Introduction
L’objectif de ce cours est de pr´esenter les concepts de base de l’arithm´etique, de la
th´eorie des corps finis, d’en d´eduire quelques applications `a la cryptographie, et de donner
une introduction `a la th´eorie des codes correcteurs d’erreurs.
On ne se pr´eoccupera pas de la construction de l’ensemble Ndes entiers naturels, ni
de celle de l’ensemble Zdes entiers relatifs. Nous admettrons donc que ces ensembles exis-
tent, et qu’ils sont munis de la relation d’ordre et des lois de composition usuelles que le
lecteur connaˆıt depuis longtemps. Le d´ebut du cours est consacr´e `a l’´etude de la divisibilit´e
dans Z, qui est le point de d´epart de l’arithm´etique, et `a une introduction `a la th´eorie des
groupes finis. Les premiers r´esultats de cette th´eorie sont indispensables dans la plupart
des applications arithm´etiques ult´erieures. Un accent particulier est mis sur l’´etude des
groupes ab´eliens, pour lesquels on d´efinit la notion hh non ´evidenteii de groupe quotient. On
l’´etend ensuite au cas des anneaux commutatifs, en vue d’´etudier les quotients de Z, les
quotients des anneaux de polynˆomes, et notamment les corps finis. On aborde `a la fin la
notion de code correcteur, en particulier celle de code lin´eaire sur un corps fini.
J’ai d´evelopp´e `a certains endroits, en compl´ement, quelques r´esultats pour les ´etu-
diants qui pourraient ˆetre int´eress´es. Les parties concern´ees seront pr´ecis´ees pendant le
semestre. ` A titre indicatif, je signale les ouvrages suivants comme bibliographie compl´e-
mentaire du cours :
1) X. Buff, J. Garnier, E. Halberstadt, T. Lachand-Robert, F. Moulin, J. Sauloy, Math´e-
matiques, Tout-en-un pour la Licence, Niveau L1, Sous la direction de J.-P. Ramis et
A. Warusfel, Dunod, 2006.
2) M. Demazure, Cours d’alg`ebre, primalit´e divisibilit´e codes, Nouvelle biblioth`eque
math´ematique, Cassini, 1997.
3) J. Dixmier, Cours de math´ematiques du premier cycle, 1re ann´ee, gauthier-villars,
deuxi`eme ´edition, 1976.
4) R. Godement, Cours d’alg`ebre, enseignement des sciences, Hermann, troisi`eme ´edition,
1980.
5) P. Ribenboim, Nombres premiers : myst`eres et records, Puf, premi`ere ´edition, 1994.
6) P. Wassef, Arithm´etique, Application aux codes correcteurs et `a la cryptographie,
Cours et 122 exercices corrig´es, Licence de Math´ematiques, Vuibert, 2008.
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