Livret de liaison Premi`ere S - Terminale S - IREM Clermont

Livret de liaison Premi` ere S - Terminale S
I.R.E.M. de Clermont-Ferrand
Groupe Aurillac - Lyc´ ee
Juin 2015
Ont collabor´ e` a cet ouvrage :
✿Emmanuelle BOYER, Lyc´ ee ´ Emile Duclaux, Aurillac.
✿Patrick DE GIOVANNI, Lyc´ ee Jean Monnet, Aurillac.
✿Bruno GRENIER, Lyc´ ee ´ Emile Duclaux, Aurillac.
✿Fabrice LALLEMAND, Lyc´ ee ´ Emile Duclaux, Aurillac.
✿J´ erˆ ome MATHIEU, Lyc´ ee Jean Monnet, Aurillac.
✿Alexandre ROCQ, Lyc´ ee ´ Emile Duclaux, Aurillac.
✿Nathalie SOBELLA, Lyc´ ee Jean Monnet, Aurillac.
✿St´ ephane SOBELLA, Lyc´ ee Georges Pompidou - ENILV, Aurillac.
1

Table des mati` eres
1 Calcul litt´ eral 4
2 D´ erivation 6
3´ Etude de fonctions 8
4 Suites num´ eriques 10
5 Probabilit´ es et Statistiques 12
6 Vecteurs 14
7 Produit scalaire 16
8 G´ eom´ etrie dans l’espace 17
9 Trigonom´ etrie 19
10 Algorithmique 20
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Introduction
Ce livret d’exercices est construit avec le mˆ eme ´ etat d’esprit que le livret de liaison 2nde/1` ere S avec lequel vous avez
certainement travaill´ e.
Les math´ ematiques sont une construction dont chaque ´ etape est importante : afin de pouvoir comprendre et assimiler les
nouvelles connaissances de terminale S, il est indispensable de bien maˆ ıtriser le programme de premi` ere.
Gustave Eiffel n’a pas commenc´ e` a construire sa tour par le troisi` eme ´ etage !
Vous trouverez donc dans ce livret des exercices qui vont vous aider ` a vous pr´ eparer et ` a aborder en confiance la terminale.
Certains exercices, signal´ es par le symbole ✈, sont plus difficiles. Ils sont l` a car faire des math´ ematiques, c’est aussi prendre
le temps de rechercher des probl` emes plus difficiles ... et prendre plaisir (parfois) ` a trouver ! Bien que plus ardus, ces
probl` emes ne n´ ecessitent que les connaissances de premi` ere S pour leur r´ esolution.
Afin de vous permettre de v´ erifier vos r´ esultats, les r´ eponses aux exercices sont disponibles sur le site de l’IREM de
Clermont-Ferrand, ` a l’adresse suivante : https://www.irem.univ-bpclermont.fr/spip.php?rubrique151
La maˆ ıtrise de l’utilisation de la calculatrice et de logiciels (tableurs, g´ eom´ etrie dynamique, programmation, . . . ) est un
objectif ` a atteindre le plus rapidement possible . Quelques exercices sont propos´ es : ils sont signal´ es par le symbole Í.
Bon courage ` a tous,
Les maths, c’est pas du cin´ ema . . .
Les professeurs de math´ ematiques, auteurs du livret.
Il n’est pas pr´evu de compl´eter les exercices directement sur le livret (les espaces laiss´es dans certains exercices sont volontairement
insuffisants). Il faut travailler avec un cahier de recherche.
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1 Calcul litt´ eral
Pr´ erequis
Forme canonique, ´ equations et in´ equations second degr´ e, racine carr´ ee et valeur absolue d’un nombre, r´ eduction au
mˆ eme d´ enominateur d’une expression, symbole Σ.
Exercice 1
1. Compl´ eter avec des nombres en rajoutant des ´ etapes :
3x2−4x+ 2 = 3((x−...)2−...) + 2 = 3(x−...)2+....
2. ` A l’aide d’une m´ ethode analogue, compl´ eter avec des nombres :
3x2−4x+ 3y2+ 6y–8 = 0 ⇔......... ⇔(x−...)2+ (y−...)2=...
En d´ eduire que l’ensemble des points M(x;y) du plan v´ erifiant l’´ equation 3x2−4x+ 3y2+ 6y–8 = 0 est un cercle dont
on pr´ ecisera le centre et le rayon.
Exercice 2
R´ esoudre dans Rles ´ equations ou in´ equations suivantes :
1. 2
3x2−1 6x−1 12 = 0
2. x4−x2−12 = 0
3. 6
2x+ 1 <4x−1
4. (4 −2x2)(2x–1) >0
Exercice 3
On veut d´ eterminer un encadrement de l’expression A = 1
5−x2pour x∈[−1;2].
1. Justifier les ´ etapes suivantes :
−16x62 donc ... 6x26... car
donc ... 6−x26... car
donc ...65−x26... car
donc ... 61
5−x26... car
2. D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition de la fonction fd´ efinie par f(x) = 1
5−x2, puis ´
etudier ses variations et retrouver
l’encadrement obtenu ` a la question pr´ ec´ edente.
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Exercice 4
1. ´ Ecrire les 3 fractions suivantes sans racine carr´ ee au d´ enominateur :
1
√2
2−√3
√3−1
1−2√5
5 + 3√5
2. Les trois propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? justifier
a. √−xn’est d´
efini que pour x= 0
b. p|−x|est d´
efini pour tout xdans R
c. |x−3|64´ equivaut ` a 1 6x67
3. a. Soit A(x) = x−2√x
√x. Pour quelles valeurs de x, cette expression est-elle d´
efinie ?
b. Prouver que x−2√x
√x=√x−2.
4. Vers la terminale . . .
a. Simplifier √x2en utilisant les valeurs absolues.
b. Quelles diff´ erences y a-t-il entre √x2,√x2et x?
c. Pourquoi l’´ egalit´ e suivante est-elle fausse : pour tout x∈R,x−2√x2=−x?
d. Rectifier pour que l’´ egalit´ e pr´ ec´ edente soit vraie.
Exercice 5 ✈
A =
20
X
k=1
1
k2=1 12+1 22+...+1 202
1. Soit kun entier tel que k>2. Justifier que l’on a : 1
k261
k(k−1), puis d´
emontrer l’´ egalit´ e : 1
k(k−1) =1 k−1−1 k.
2. Soit B =
20
X
k=2
1
k(k−1). Montrer que B = 1 −1 20
3. En d´ eduire que
20
X
k=1
1
k262−1
20
4. ´ Elaborer un algorithme avec une boucle ≪POUR ≫qui permet de calculer
20
X
k=1
1
k2, et le programmer sur la calculatrice.
Donner la valeur affich´ ee en sortie avec toutes les d´ ecimales obtenues. V´ erifier le r´ esultat trouv´ e au 3).
5. Vers la terminale :
n
X
k=1
1
k2=1 12+1 22+...+1 n2
Prouver en utilisant la mˆ eme d´ emarche que pr´ ec´ edemment que :
n
X
k=1
1
k262.
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