énoncé - Université de Cergy

Université de Cergy-Pontoise Année 2014-15
L2 – MP, MSi, CUPGE-MP et PC
Examen de mécanique du solide
Lundi 3 novembre 2014 (1,5 heure)
Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif.
Toutes les réponses doivent être justifiées.
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
Exercice 1. (~ 7 points)
a) Question de cours :
Soient N forces
Fi
(i = 1,... N), appliquées respectivement en Ai sur un solide indéformable.
Démontrer que la puissance P de l'ensemble de ces forces peut s'écrire :
P= R⋅vB  MB ⋅
pour tout point B fixe dans le référentiel du solide.
Avec
R
la somme des forces,
MB
la somme des moments des forces en B et le vecteur
rotation instantané du solide.
b) Deux axes, un suivant Ox et l'autre suivant Oy, se croisent en O. Des engrenages de rayons
respectifs R1 et R2 (R1 < R2) sont disposés respectivement sur Ox et Oy et leur sont solidaires.
Leurs circonférences se touchent au point I(R2,R1,0). Les axes tournent sur eux-même et ils ont
pour vitesses angulaire de rotation respectives
1
et
2
. Ainsi le premier engrenage tourne
autour de son axe de symétrie Ox à la vitesse angulaire
1
, et le seconde tourne autour de son
axe de symétrie Oy à la vitesse angulaire
2
.
b.1) Faire un schéma en indiquant les sens de
1
et
2
. Écrire les vecteurs rotation des deux
engrenages, les représenter sur le schéma.
b.2) Au point I, les engrenages sont en contact sans glissement. Quelle est la relation entre
1
,
2
et les deux rayons ?
b.3) On applique sur l'axe Ox un couple moteur
1
, l'axe Oy fournit un couple
2
à un autre
mécanisme.
- Quelles sont les puissances fournies au système constitué par les deux axes et les deux
engrenages par les couples
1
et
2
?
- La liaison entre les engrenages est parfaite (donc sans perte d'énergie), les axes tournent à
une vitesse constante. Quelle est la relation (en fonction des rayons) entre
1
et
2
?
Rappel : L'axe de symétrie d'un engrenage est l'axe passant par son centre perpendiculaire au plan de
l'engrenage.
Propriété du produit mixe :
u∧v⋅w= w∧u⋅v= v∧ w⋅u
...
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Université de Cergy-Pontoise Année 2014-15
L2 – MP, MSi, CUPGE-MP et PC
Exercice 2. Masse, moment d'inertie (~ 3 points)
Soit un quart de disque de rayon R de centre O et de masse
surfacique non uniforme
r=ar
, avec a une constante
positive.
a) Calculer la masse m du quart de disque.
b) Calculer son moment d'inertie par rapport à un axe
perpendiculaire au quart de disque passant par O en
fonction de R et m.
Exercice 3. Équilibre statique (~ 5 points)
Une corde AB et le frottement en C maintiennent immobile une
tige CB de masse m = 5 kg contre un mur. La tige homogène
mesure d = CB = 1 m et = 30°. L'ange entre la tige CB et le
mur est droit.
a) Calculer le module de la force de la corde sur la tige.
Application numérique.
b) Calculer la force exercée par le mur sur la tige.
La tracer sur un schéma. Application numérique.
Exercice 4. Roue sur un plan incliné (~ 9 points)
Soit un plan incliné d'angle par rapport à l'horizontale.
Une roue, homogène de masse m, de centre C, d'épaisseur
négligeable et de rayon b, est lâchée avec une vitesse
initiale
vC=v0ux
avec
v00
et une vitesse angulaire
initiale
0=v0/b
. On suppose que la roue reste dans le
plan vertical (Ox,
g
) et qu'elle se déplace sans glisser.
Soit f le coefficient de frottement statique entre la roue et le
plan. Le moment d'inertie de la roue par rapport à son axe
de symétrie (axe passant par C perpendiculaire à la roue)
est
J=mb2/2
.
a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique
(loi de Newton et théorème du moment cinétique),
déterminer l'accélération du centre C de la roue dans un
référentiel lié au sol.
b) En déduire la force de frottement du sol sur la roue. La représenter sur un schéma.
c) Quelle condition sur l'angle doit être vérifiée pour que la roue ne glisse pas ?
d) Calculer l'énergie cinétique de la roue dans un référentiel lié au sol (si la roue ne glisse pas).
e) En déduire le déplacement vertical maximal de la roue (si la roue de glisse pas).
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A
B
C
O
R