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FRACTIONS RATIONNELLES
I DEFINITION
Dans l ’ensemble R[X]xR[X]* on considère la relation d ’équivalence
P1 ( X ) P2 ( X )
=
⇔ P1Q2 = P2Q1
Q1 ( X ) Q2 ( X )
Une fraction rationnelle est une classe d ’équivalence notée
P( X )
Q( X )
L ’ensemble de ces fractions rationnelles est noté R(X)
Toute fraction rationnelle a un représentant irréductible unique, ainsi
P=P0R et Q=Q0R, P0 et Q0 n ’ayant aucun facteur commun
P( X )
P0 ( X )
est le représentant irréductible de la fraction Q( X )
Q0 ( X )
P1 P2 P1Q2 + P2Q1
+
=
Addition
Q1 Q2
Q1Q2
Multiplication
P1 P2
PP
= 1 2
Q1 Q2 Q1Q2
C(X) (ou R(X)) muni de l ’addition et de la multiplication est un
corps commutatif
II Décomposition en éléments simples dans C(X)
a) Partie entière
Toute fraction rationnelle peut se mettre de manière unique sous la forme
R( X )
P( X )
= E( X ) +
Q( X )
Q( X )
ou E(X) est un polynôme appelé partie entière et R(X) un polynôme tel que
d°R<d°Q
Si d°P<d°Q on a E(X)=0
Si d°P≥d°Q la division euclidienne de P par Q s ’écrit P(X)=Q(X)E(X)+R(X)
b) Partie principale relative à un pôle complexe a
Si Q admet X=a pour racine d ’ordre α Q(X)=(X-a)αQ1(X) avec Q1(a)≠0
On a
cα
cα −1
P( X )
c1
R( X )
=
+
+
+
+
L
Q( X ) ( X − a )α ( X − a )α −1
( X − a) H ( X )
cα
c1
+
L
+
( X − a )α
( X − a)
est appelée partie principale relative au pôle a
Toute fraction rationnelle de pôles a,b,…,l peut se décomposer de manière unique
en la somme de sa partie entière et des parties principales relatives à chacun de
ses pôles. On dit que l ’on a décomposé en éléments simples la fraction rationnelle
P( X )
1
1
1
= Pα (
) + Pβ (
) + L + Pλ (
)
Q( X )
( X − a)
( X − b)
( X − l)
1
Aα
Aα −1
A1
+
+
+
Pα (
)=
L
( X − a)
( X − a )α ( X − a )α −1
( X − a)
+E(X)
Marche à suivre pour la décomposition en éléments simples sur C(X)
1.- Déterminer le représentant irréductible F(X)
2.- Déterminer la liste des pôles et leurs ordres de multiplicité
3.- Déterminer la partie entière
4.- Écrire la forme de la décomposition avec des coefficients indéterminés
5.- Réduire le nombre de coefficients à déterminer en tirant partie de
propriétés de la fraction rationnelle, de la parité…
6.- Déterminer les coefficients indéterminés
pour
an = [(X-a)nF(X)]X=a
an-1 = [(X-a)nF(X)] ’X=a
utiliser de valeurs particulières autres que les pôles
utiliser
lim XF ( X )
X → +∞
III- Décomposition en éléments simples sur R(X)
Les pôles dans C de la fraction sont de deux sortes:
. les pôles réels a, b, c… d ’ordres α, β, γ…
. les pôles complexes conjugués u, u, v, v…d ’ordres r, s…
le dénominateur Q de la fraction rationnelle se factorise dans R[X]
Q(X) = (X-a) α(X-b)β(X-c)γ…[(X-u)(X-u)]r[(X-v)(X-v)]s…
Q(X) = (X-a) α(X-b)β(X-c)γ…(X²-p1X+q1)r(X²-p2X+q2)s…
avec pi²-4qi<0
Toute fraction rationnelle à coefficients réels peut se décomposer sur R(X)
sous la forme
Aα
P( X )
A1
= E( X ) +
+
L
+L
( X − a )α
( X − a)
Q( X )
Br X + Cr
B1 X + C1
+
+
L
+
+L
r
( X ² − p1 X + q1 )
( X ² − p1 X + q1 )
Somme de la partie entière, des éléments simples de première espèce et des
éléments simples de deuxième espèce
Marche à suivre pour la décomposition en éléments simples sur R(X)
1.- Déterminer le représentant irréductible F(X)
2.- Déterminer la liste des pôles et leurs ordres de multiplicité, factoriser
Q sur R[X]
3.- Déterminer la partie entière
4.- Écrire la décomposition avec des coefficients indéterminés de la
partie entière et des éléments de première espèce et ceux de deuxième
espèce
5.- Réduire le nombre de coefficients à déterminer en tirant partie des
propriétés de la fraction rationnelle, de la parité…
6.- Déterminer les coefficients indéterminés
pour
An = [(X-a)nF(X)]X=a
Bna + Cn = [(X² + pn X + q n )F(X)]X=a
Bn-1 a+Cn-1= [(X-a)nF(X)] ’X=a NON VALABLE POUR LES
TERMES DE DEUXIEME ESPECE
utiliser des valeurs particulières autres que les pôles
utiliser la limite en plus l ’infini dans XF(X).
1°) Déterminer les paramétres a, b et c de manière que la fraction rationnelle
X 4 + aX 3 + bX ² + cX + 2
F( X) =
X 3 ( X 4 − 1)²
Ait -1 comme pôle simple et n ’admette pas 1 comme pôle, puis effectuer la
décomposition en éléments simples sur R[X]
a=1 b=-3 c=-1
F( X) =
2
1
3
3X + 1
13X + 1
−
−
−
+
X 3 X ² X 2( X ² + 1)² 4( X ² + 1)
2°) Décomposer en éléments simples sur R[X]
F( X) =
X ² + 11X + 2
F( X) =
( X − 1)( X ² + X − 2)( X 3 − 1)
X−9
14
17
7
16
−
−
+
−
9( X − 1) 3 27( X − 1)² 81( X − 1) 81( X + 2) 9( X ² + X + 1)