Aucun titre de diapositive

FRACTIONS RATIONNELLES
I DEFINITION
Toute fraction rationnelle a un représentant irréductible unique, ainsi
P=P0R et Q=Q0R, P0et Q0n ’ayant aucun facteur commun
)(
)(
0
0
XQ
XP est le représentant irréductible de la fraction )(
)(
XQ
XP
Addition
21
1221
2
2
1
1
QQ
QPQP
Q
P
Q
P
+
=+
Multiplication
21
21
2
2
1
1
QQ
PP
Q
P
Q
P=
)(
)(
XQ
XP
1221
2
2
1
1
)(
)(
)(
)( QPQP
XQ
XP
XQ
XP =⇔=
Dans l ’ensemble R[X]xR[X]* on considère la relation d ’équivalence
Une fraction rationnelle est une classe d ’équivalence notée
L ’ensemble de ces fractions rationnelles est noté R(X)

C(X) (ou R(X)) muni de l ’addition et de la multiplication est un
corps commutatif
II Décomposition en éléments simples dans C(X)
a) Partie entière
Toute fraction rationnelle peut se mettre de manière unique sous la forme
ou E(X) est un polynôme appelé partie entière et R(X) un polynôme tel que
d°R<d°Q
Si d°P<d°Q on a E(X)=0
Si d°P≥d°Q la division euclidienne de P par Q s ’écrit P(X)=Q(X)E(X)+R(X)
)(
)(
)(
)(
)(
XQ
XR
XE
XQ
XP +=
b) Partie principale relative à un pôle complexe a
Si Q admet X=a pour racine d ’ordre αQ(X)=(X-a)αQ1(X) avec Q1(a)≠0
On a )(
)(
)()()()(
)( 1
1
1
XH
XR
aX
c
aX
c
aX
c
XQ
XP +
−
++
−
+
−
=−
−L
α
α
α
α

)()(
1
aX
c
aX
c
−
++
−
L
α
α
est appelée partie principale relative au pôle a
)()()(
)
)(
1
(
)
)(
1
()
)(
1
()
)(
1
(
)(
)(
1
1
1
aX
A
aX
A
aX
A
aX
P
lX
P
bX
P
aX
P
XQ
XP
−
++
−
+
−
=
−
−
++
−
+
−
=
−
−L
L
α
α
α
α
α
λβα
+E(X)
Toute fraction rationnelle de pôles a,b,…,l peut se décomposer de manière unique
en la somme de sa partie entière et des parties principales relatives à chacun de
ses pôles. On dit que l ’on a décomposé en éléments simples la fraction rationnelle

Marche à suivre pour la décomposition en éléments simples sur C(X)
1.- Déterminer le représentant irréductible F(X)
2.- Déterminer la liste des pôles et leurs ordres de multiplicité
3.- Déterminer la partie entière
4.- Écrire la forme de la décomposition avec des coefficients indéterminés
5.- Réduire le nombre de coefficients à déterminer en tirant partie de
propriétés de la fraction rationnelle, de la parité…
6.- Déterminer les coefficients indéterminés
pour an= [(X-a)nF(X)]X=a an-1 = [(X-a)nF(X)] ’X=a
utiliser de valeurs particulières autres que les pôles
utiliser )(
lim XXF
X+∞→

III- Décomposition en éléments simples sur R(X)
Les pôles dans C de la fraction sont de deux sortes:
. les pôles réels a, b, c… d ’ordres α, β, γ…
. les pôles complexes conjugués u, u, v, v…d ’ordres r, s…
le dénominateur Q de la fraction rationnelle se factorise dans R[X]
Q(X) = (X-a) α(X-b)β(X-c)γ…[(X-u)(X-u)]r[(X-v)(X-v)]s…
Q(X) = (X-a) α(X-b)β(X-c)γ…(X²-p1X+q1)r(X²-p2X+q2)s… avec pi²-4qi<0
Toute fraction rationnelle à coefficients réels peut se décomposer sur R(X)
sous la forme
LL
LL
+
+−
+
++
+−
+
+
+
−
+
−
+=
)²()²(
)()(
)(
)(
)(
11
11
11
1
qXpX
CXB
qXpX
CXB
aX
A
aX
A
XE
XQ
XP
r
rr
α
α
Somme de la partie entière, des éléments simples de première espèce et des
éléments simples de deuxième espèce