Exercices de physique 4ème Maths ScExp et ScTech Série

Dipôle RC (1)
Série physique 2
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A- Rappel :
 Équation différentielle :
Attention : on doit représenter les flèches des tensions avant d’établir
l’équation différentielle.
R c R ...... ........
u u - u = avec u ...... et =..... et ...... .......
......
...... ...... ...... ..... ..... ..... '
......
.......
....... ..... .... arg
.......
GG
u i C
E donc on pose d ou
équation différentielle de lach
'
e
d un condensateur
 Solution de l’équation différentielle :
0
* ' '
( , tan )
* 0; ( ) 0 ( )
0'
* ; (
t
C
C
t
C
C
La solution de l équation différentielles écrit u A Be
A B et des cons tes positives
A t u o le condensateur est initialement vide
A Be B A d ou u A Ae
t u E le condensateur est complètement c    arg )
0 ' .
* ' :
(0 )
11
0 ( 1) 0; 0 ' 1 0
(1
t
C
CC
tt
t t t t
tt
C
hé
A Ae E or e d ou A E donc u E Ee
du
cette solution vérifie l équation différentielle RC u E
dt
RC Ee E Ee E
RC Ee Ee Ee RC Ee d ou RC RC
u E Ee E e     )
 Expression et graphe de uC ; uR et i :
t
c
u E(1 e )
t
RC
u =E u =Ee
t
R
uE
i= e
RR
t(s)
0
+
t(s)
0
+
t(s)
0
+
0
t(s)
max E
IR
i(A)
0
t(s)
E=URmax
uR(V)
0
E
X
E
R
C
I
C
uc
E

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uc(V)
0
E
uR(V)
E
0
i(A)
E
R
0
 La constante de temps :
 Définition : …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………..
 Détermination de la constante de temps :
o 1ère méthode (utilisation de la tangente à l’origine) : on peut montrer que est
l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe de uc (t)[de même pour
uR(t), i(t) et q(t)] à la date t=0 avec l’asymptote (lorsque t + ).
0
t(s)
E=uRmax
uR(V)
Tangente
Asymptote
Point
d’intersection
0
t(s)
E=Uc
max
uc(V
)
Tangente
Asymptote
Point
d’intersection
o 2ème méthode (lecture graphique) :
1er cas : à partir du graphe de uc(t)
Pour t= , quelle est la valeur de uc ?
11
1 0 63 037
c
u ( ) E(1 e ) E( e ) , .E car e ,
Exemple :
On a E= 4 V d’où 0,63.4 =2,52 V donc l’abscisse du point d’ordonnée
2,52 V est égale à
2ème cas : à partir du graphe de uR(t)
Pour t= , quelle est la valeur de uR ?
1037
R
u ( ) E.e E.e , .E
Exemple :
On a E= 4 V d’où 0,37.4 =1,48 V donc l’abscisse du point d’ordonnée
1,48 V est égale à .
A- Applications directes :
Exercice 1 :
A l’aide d’un générateur de tension constante E, on veut
charger un condensateur de capacité C à travers une
résistance R=1k.
1- Faire le schéma d’un montage qui permet de
suivre l’évolution de la tension aux bornes du
condensateur au cours du temps. Expliquer la méthode
utilisée.
0
2,52
t(s)
4
uc(V)
0
t(s)
4
uR(V)
1,48
0
5
uC(t)
0
t(s)
2.10-3
figure-1-
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2- A l’aide des mesures de la tension uc aux bornes du condensateur on obtenu le graphique
représenté sur le schéma ci-après. figure-1-
a- Quelle est la tension aux bornes du condensateur en fin de charge. Donner la valeur de E
b- Déterminer la valeur de la constante de temps .
c- Une autre méthode permet de déterminer la valeur de 
les deux méthodes.
d- En déduire la valeur de capacité C.
e- Tracer l’allure de la courbe représentant la tension uR(t).
Exercice 2 :
On veut charger un condensateur de capacité C à travers une résistance R=10
kà l’aide d’un générateur de tension de fem E.
1- Faire le schéma du circuit électrique.
2- Représenter sur le schéma du montage
- Le sens de circulation du courant i,
- les charges accumulées sur les armatures du condensateur
- Les flèches tensions aux bornes de chaque dipôle
3- Donner l’expression de la tension en fonction des caractéristiques de chaque dipôle.
4- Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension uc(t).
5- La fonction uc(t) solution de cette équation différentielle s’écrit de la forme uc(t)=Ae-t + B.
Déterminer les expressions de A,  et B en fonction des caractéristiques des dipôles.
B- Exercices de synthèse :
Exercice 1 :
Un générateur de tension, de force
électromotrice E, alimente un conducteur
ohmique de résistance R= 100  et un
condensateur de capacité C, associés selon
le schéma représenté sur la (figure 2) ci-
contre. Un oscilloscope numérique est
utilisé pour suivre l’évolution temporelle de
2 tensions du circuit (en voie YA et en voie
YB).
A la date t0 = 0 s, le condensateur étant
préalablement déchargé, on ferme
l'interrupteur K et l'oscilloscope enregistre
les tensions dont les évolutions temporelles
sont traduites par les courbes données
(figure 3).
1/ Préciser les tensions mesurées
dans ce montage.
2/ Des courbes (a) et (b) de la
(figure 3), fournies à la feuille
annexe, quelle est celle qui
correspond à la tension aux bornes du
condensateur ? Justifier la réponse.
3/ a) Evaluer, à partir de la (figure
3), la durée Δt nécessaire pour
charger complètement le
condensateur.
voie YA
E
K
R
C
D
B
voie YB
(figure 2)
M
i
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b) Faut-il augmenter ou diminuer la valeur de R pour charger plus rapidement le
condensateur ? Justifier la réponse.
4/ a) A partir de l'orientation du courant qui est indiquée sur
la (figure 2), établir l’équation différentielle du circuit, en uc
(tension aux bornes du condensateur).
b) Montrer que
(1 )
t
c
u E e
est une solution de l'équation
différentielle si  correspond à une expression que l’on
déterminera.
5/ Calculer la valeur du rapport
C
u
E
lorsque t =  ; utiliser ce
résultat pour déterminer à partir de la (figure 3) la valeur de
 et calculer la valeur de la capacité C du condensateur.
6/ En respectant l'orientation du courant qui est indiquée sur
la (figure 2), établir l'expression de i(t). En déduire l'allure de
la courbe i = f(t) en précisant sa valeur initiale I0 à
l’instant t = 0.(cette courbe sera représentée sur la grille
donnée à la (figure 4) de la feuille annexe)
7/ Lorsque le condensateur est totalement chargé, on ouvre
l’interrupteur K et on court-circuite le circuit RC en reliant par
un fil les points M et D. En conservant l’orientation du courant
indiquée sur la (figure 2), tracer sur la grille de la (figure 4’)
l’allure de la courbe montrant l’évolution temporelle de uC
pendant la décharge.
Exercice 2 :
I-/ Le condensateur de capacité C utilisé dans le montage
schématisé ci-contre est alimenté par un générateur de tension
supposé idéal délivrant entre ses bornes une tension E=6V. Un
conducteur ohmique a une résistance R=300 Ω alors que l’autre
sa résistance R’ est inconnue. Le condensateur étant
initialement déchargé, le commutateur K est placé sur la
position 1 à un instant pris comme origine de temps et à l’aide
d’un ordinateur muni d’une interface on a pu suivre l’évolution de
l’intensité de courant électrique dans le circuit voir figure 2.
1°) En désignant par q la charge positive portée par l’armature
A du condensateur à une date t. Indiquer sur le schéma le sens
arbitraire positif du courant i(t).
2°) En appliquant la loi des mailles, établir l’équation
différentielle régissant les variations de l’intensité du courant
i(t).
3°) Cette équation différentielle admet pour solution: i(t)=A.e-t
où A et  sont deux constantes positives qu’on déterminera
leurs expressions.
4°) Déterminer l’expression de la tension aux bornes du
condensateur uAB(t).
5°) En utilisant le graphe de i(t), déterminer :
a- la valeur de la résistance R’.
b- la valeur de la constante de temps . Déduire la valeur
de la capacité C.
II-/ Lorsque l’intensité de courant s’annule dans le circuit, on
bascule le commutateur K sur la position 2 à une date
E
Fig 1
A
B
2
R’
A
B
C
R
K
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Série physique 2
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considérée comme origine de temps alors qu’on a
programmé l’ordinateur pour tracer la courbe d’évolution
de l’énergie dissipée dans le résistor R en fonction de
uAB2. La courbe obtenue est donnée par la figure 3.
1°) En appliquant la loi des mailles, établir l’équation
différentielle régissant les variations de la tension uAB(t).
2°) La solution de l’équation différentielle précédente est
uAB(t)=E.e-t/.
3°) Trouver l’expression de l’intensité du courant et
déduire le sens du courant réel.
4°) Montrer que l’énergie dissipée par effet joule dans le
résistor R s’écrit sous la forme :
Edissipée=-
1
2
C.uAB2 +
1
2
C.E2
5°) En utilisant le graphe de la figure 3 :
a- Retrouver la valeur de la capacité du
condensateur.
b- Déterminer l’instant t pour lequel l’énergie dissipée est égale à l’énergie emmagasinée dans
le condensateur.
D- Exercice bac :