Egalités remarquables

3ème Chapitre A1
I)
1
EGALITES REMARQUABLES
Somme ou produit ?
Pour reconnaître si une expression numérique ou littérale est un produit,
on considère la ou les opérations de la même famille qui seraient
effectuées les dernières si on la calculait en respectant les priorités.
Exemples :
(52 + 31) : 2 + ( 81 – 7 ) ( 5 – 47 ) – 9 ( 3 + 5 )
On termine par une
addition et une
soustraction. Cette
expression est une somme
de 3 termes.
+
–
99 [ ( 8 – 2 ) ( 58 + 3 ) – 5 ( 2 + 7 ) ] ( 5 – 54 ) ( 8 + 6 )



On termine par 3
multiplications.
Cette expression
est un produit de 4
facteurs
 Une somme réduite est une expression écrite sous une forme
développée réduite.
 Un produit dont les facteurs sont simplifiés est une expression écrite
sous une forme factorisée simplifiée.
3ème Chapitre A1
II)
2
EGALITES REMARQUABLES
Développer, factoriser.
1) Développer.
PRODUIT
SOMME
Développer
On utilise les formules suivantes :
1-
k ( a + b ) = ka + kb
2-
( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
Exemples : ( par ordre de difficultés croissantes)
Avec la formule 1 :
 3 ( x + 2 ) = 3x + 6
 – 4x (– 3 + 5x) = 12x – 20x²
Si on écrit – 20x² + 12x on a ordonné le résultat selon les puissances
décroissantes de x.
 – 2x ( 6 – x ) – 8x ( 5x + 1 ) =
12x + 2x² – 40x² – 8x =
– 38x² – 20x
c’est une somme de 2 termes qui sont
des produits.
Avec la formule 2 :
 (x+1)(x–2) =
x² – 2x + x – 2 =
x² – x – 2
 ( – 3x + 2 ) ( – 5 – 2x ) =
15x + 6x² – 10 – 4x =
6x² + 11x – 10
 ( 2x + 7 ) ( – x – 2 ) + ( 4x + 3 ) ( – 5 – 2x ) =
– 2x² – 4x – 7x – 14 – 20x – 8x² – 15 – 6x =
– 10x² – 37x – 29
Les deux termes de la somme sont
séparés par un +, il n’est donc pas
nécessaire de mettre des parenthèses
autour des 2 développements.
3ème Chapitre A1
3
EGALITES REMARQUABLES
 ( – 3x + 5 ) ( 2 x – 4 ) – ( 4x – 4 ) ( – 5 – 6x ) =
– 10x² + 12x + 10x – 20 – (– 20x – 24x² + 20 + 24x) =
– 10x² + 12x + 10x – 20 + 20x + 24x² – 20 – 24x =
14x² + 18x – 40
Les deux termes de la somme sont
séparés par un – , il est donc
nécessaire de mettre des parenthèses
autour du 2ème développement.
Les carrés peuvent être écrits
sous la forme de produits de deux
facteurs identiques.
 ( 5x – 2 ) ² – ( 2x + 3 ) ² =
( 5x – 2 ) ( 5x – 2 ) – ( 2x + 3 ) ( 2x + 3 ) =
25x² – 10x – 10x + 4 – ( 4x² + 6x + 6x + 9 ) =
25x² – 10x – 10x + 4 – 4x² – 6x – 6x – 9 =
21x² – 32x – 5
2) Factoriser :
SOMME
PRODUIT
Factoriser
On utilise la formule suivante :
ka + kb = k ( a + b )
On cherche le « facteur commun » à tous les termes de la somme, et on
le « met en facteur ».
Exemples :
 5x + 8x – 2x – 7x =
x(5+8–2–7) =
4x
Cette factorisation correspond à la
réduction d’une somme, car il n’y a plus
d’inconnue dans le 2ème facteur, et on peut
donc le calculer complètement.
 8x – 8 y + 8 z =
8(x–y+z)
 – 63x4 + 35 x3 =
7x3 ( – 9x + 7x3  5 =
7x3 ( – 9x + 5 )
 ( x + 2 ) ( 3x – 1 ) + ( x + 2 ) ( 4x – 3 ) =
( x + 2 ) [ ( 3x – 1 ) + ( 4x – 3 ) ] =
( x + 2 ) ( 3x – 1 + 4x – 3 ) =
( x + 2 ) ( 7x – 4 )
Le facteur commun est caché, il
faut le faire apparaître.
Le facteur commun est plus
complexe : ( x + 2 )
3ème Chapitre A1
EGALITES REMARQUABLES
4
 ( 2x + 5 ) ² – ( 4 – 3x ) ( 2x + 5 ) =
( 2x + 5 ) ( 2x + 5 ) – ( 4 – 3x ) ( 2x + 5 ) =
( 2x + 5 ) [ ( 2x + 5 ) – ( 4 – 3x ) ] =
( 2x + 5 ) ( 2x + 5 – 4 + 3x ) =
( 2x + 5 ) ( 5x + 1 )
 ( 6x – 1 ) ( 2 – 4x ) + 6x – 1 =
( 6x – 1 ) ( 2 – 4 x ) + ( 6x – 1 )  1 =
( 6x – 1 ) [ ( 2 – 4x ) + 1 ] =
( 6x – 1 ) ( 2 – 4x + 1 ) =
( 6x – 1 ) ( 3 – 4x )
 ( 4 + 5x ) ² – 4 – 5x =
(4 + 5x ) ² – ( 4 + 5x )  1 =
(4 + 5x ) [ ( 4 + 5x ) – 1 ] =
( 4 + 5x ) ( 4 + 5x – 1 ) =
( 4 + 5x ) ( 3 + 5x )
III)
Le deuxième terme n’est pas écrit sous
la forme d’un produit . Il faut l’écrire
( 6x – 1 )  1 pour que (6x – 1 ) soit un
« facteur » commun.
Le facteur commun caché, il faut le faire
apparaître ainsi que le 1 par lequel il est
multiplié.
Egalités remarquables ( ou identités remarquables).
1) Mise en évidence des formules.
 Carré de la somme de deux nombres :
( a + b ) ² = ( a + b ) ( a + b ) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²
donc quels que soient les nombres a et b,
( a + b ) ² = a² + 2ab + b²
Application au calcul mental :
209² = ( 200 + 9 ) ² = 200² + 2  200  9 + 9²
= 40000 + 3600 + 81
= 43681
 Carré de la différence de deux nombres:
( a – b ) ² = ( a – b ) ( a – b ) = a² – ab – ba + b² = a² – 2ab + b²
donc quels que soient les nombres a et b,
( a – b ) ² = a² – 2ab + b²
3ème Chapitre A1
EGALITES REMARQUABLES
5
Application au calcul mental :
399² = ( 400 – 1 ) ² = 400² – 2  400  1 + 1²
= 160000 – 800 + 1
= 159200 + 1
= 159201
 Produit de la somme et de la différence de deux nombres :
( a + b ) ( a – b ) = a² – ab + ba – b² = a² – b²
donc quels que soient les nombres a et b,
( a + b ) ( a – b ) = a² – b²
Application au calcul mental :
198  202 = ( 200 – 2 ) ( 200 + 2 ) = 200² – 2² = 40000 – 4 =
39996
2) Développer à l’aide des égalités remarquables.
Il faut reconnaître l’égalité remarquable qui est en jeu, bien identifier les
parties de l’expression correspondant à a et b, puis appliquer la formule
directement.
Exemples :
 ( x + 2 ) ² = x² + 4x + 4
Il s’agit de la première égalité remarquable :
a = x et b = 2
a² = x² b² = 4 et 2ab = 2  x  2 = 4x
 ( 5x – 3 ) ² = 25x² – 30x + 9
Il s’agit de la deuxième égalité remarquable :
a = 5x et b = 3
a² = (5x)² = 5² x² = 25 x²
b² = 9
et 2ab = 2  5x  3 = 30x
 ( 4x – 1 ) ( 4x + 1 ) = 16x² – 1
Il s’agit de la troisième égalité remarquable :
a = 4x et b = 1
a² = (4x)² = 4² x² = 16x²
b² = 1
 ( 5x – 3 ) ² + ( 3 + 2x ) ² =
25x² – 30x + 9 + 9 + 12x + 4x² =
29x² – 18x + 18
 ( 2x – 4 ) ( 2x + 4 ) – ( 7x – 5 ) ² =
4x² – 16 – ( 49x² – 70x + 25 ) =
4x² – 16 – 49x² + 70x – 25 =
Il s’agit des 1ère et 2ème égalités remarquables.
Il s’agit des 3ère et 2ème égalités remarquables.
3ème Chapitre A1
6
EGALITES REMARQUABLES
– 45x² + 70x – 41
 (6x – 1 ) ( 5x + 2 ) – ( 3 + x ) ( 3 – x ) + ( 8x + 4 ) ² =
30x² + 12x – 5x – 2 – ( 9 – x² ) + 64x² + 64x + 16 =
30x² + 12x – 5x – 2 – 9 + x² + 64x² + 64x + 16 =
94x² + 71x + 5
3) Factoriser à l’aide des égalités remarquables.
Il faut apprendre par cœur les égalités remarquables dans le sens
factorisation : Quels que soient les nombres a et b,
a² + 2ab + b² = ( a + b ) ²
a² – 2ab + b² = ( a – b ) ²
a² – b² = ( a + b ) ( a – b )
Il faut reconnaître l’égalité remarquable qui est en jeu, bien identifier
les parties de l’expression correspondant à a et b, puis appliquer la
formule directement.
Exemples :
 25x² – 40x + 16 = ( 5x – 4 ) ²
 81x² + 54x + 9 = ( 9x + 3 ) ²
 64x² – 49 = ( 8x + 7 ) ( 8x – 7 )
 16x² – ( 7x – 1 ) ² =
[4x + ( 7x – 1 ) ] [ 4x – ( 7x – 1 )] =
(4x + 7x – 1 ) ( 4x – 7x + 1 ) =
Si c’est une égalité remarquable, alors c’est
forcément la 2ème.
Je reconnais les deux carrés : a² = 25x² donc a = 5x
et b² = 16 donc b = 4
Je vérifie si le double produit de a et b est bien 40x :
2 a b = 2  5x  4 = 40x
Si c’est une égalité remarquable, alors c’est
forcément la 1ème.
Je reconnais les deux carrés : a² = 81x² donc a = 9x
et b² = 9 donc b = 3
Je vérifie si le double produit de a et b est bien 54x :
2 a b = 2  9x  3 = 54x
Si c’est une égalité remarquable, alors c’est la 3ème.
Je reconnais les deux carrés : a² = 64x² donc a = 8x
et b² = 49 donc b = 7
Si c’est une égalité
remarquable, alors c’est la 3ème.
Je reconnais les deux carrés :
a² = 16x ²
donc a = 4x
et b² = ( 7x – 1 ) ²
donc b = 7x – 1
3ème Chapitre A1
EGALITES REMARQUABLES
7
( 11x – 1 ) ( – 3x + 1 )
 ( 2x + 4 ) ² – ( 5 – 3x ) ² =
[ ( 2x + 4 ) + ( 5 – 3x ) ] [ ( 2x + 4 ) – ( 5 – 3x ) ] =
( 2x + 4 + 5 – 3x ) ( 2x + 4 – 5 + 3x ) =
( – x + 9 ) ( 5x – 1 )
Si c’est une égalité
remarquable, alors c’est la 3ème.
Je reconnais les deux carrés :
a² = ( 2x + 4 ) ²
donc a = 2x + 4
et b² = ( 5 – 3x ) ²
donc b = 5 – 3x
Avec un mélange des deux méthodes : égalités remarquables et facteur commun.
 36x² – 24 x + 4 – ( 6x – 2 ) ( 3 – 5x ) =
( 6x – 2 ) ² – ( 6x – 2 ) ( 3 – 5x ) =
( 6x – 2 ) [ ( 6x – 2 ) – ( 3 – 5x ) ] =
( 6x – 2 ) ( 6x – 2 – 3 + 5x ) =
( 6x – 2 ) ( 11x – 5 )
Je reconnais la 2ème égalité
remarquable au début de
l’expression. Je factorise la
somme de trois termes, puis je
reconnais un facteur commun.