Egalités remarquables

3ème Chapitre A1 EGALITES REMARQUABLES
1
I) Somme ou produit ?
Pour reconnaître si une expression numérique ou littérale est un produit,
on considère la ou les opérations de la même famille qui seraient
effectuées les dernières si on la calculait en respectant les priorités.
Exemples :
(52 + 31) : 2 + ( 81 – 7 ) ( 5 – 47 ) – 9 ( 3 + 5 )
99 [ ( 8 – 2 ) ( 58 + 3 ) – 5 ( 2 + 7 ) ] ( 5 – 54 ) ( 8 + 6 )
 Une somme réduite est une expression écrite sous une forme
développée réduite.
 Un produit dont les facteurs sont simplifiés est une expression écrite
sous une forme factorisée simplifiée.
+
–
On termine par une
addition et une
soustraction. Cette
expression est une somme
de 3 termes.
On termine par 3
multiplications.
Cette expression
est un produit de 4
facteurs

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2
II) Développer, factoriser.
1) Développer.
PRODUIT SOMME
Développer
On utilise les formules suivantes :
1- k ( a + b ) = ka + kb
2- ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
Exemples : ( par ordre de difficultés croissantes)
Avec la formule 1 :
 3 ( x + 2 ) = 3x + 6
 – 4x (– 3 + 5x) = 12x – 20x²
Si on écrit – 20x² + 12x on a ordonné le résultat selon les puissances
décroissantes de x.
 – 2x ( 6 – x ) – 8x ( 5x + 1 ) =
12x + 2x² – 40x² – 8x =
– 38x² – 20x
Avec la formule 2 :
 ( x + 1 ) ( x – 2 ) =
x² – 2x + x – 2 =
x² – x – 2
 ( – 3x + 2 ) ( – 5 – 2x ) =
15x + 6x² – 10 – 4x =
6x² + 11x – 10
 ( 2x + 7 ) ( – x – 2 ) + ( 4x + 3 ) ( – 5 – 2x ) =
– 2x² – 4x – 7x – 14 – 20x – 8x² – 15 – 6x =
– 10x² – 37x – 29
c’est une somme de 2 termes qui sont
des produits.
Les deux termes de la somme sont
séparés par un +, il n’est donc pas
nécessaire de mettre des parenthèses
autour des 2 développements.

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 ( – 3x + 5 ) ( 2 x – 4 ) – ( 4x – 4 ) ( – 5 – 6x ) =
– 10x² + 12x + 10x – 20 – (– 20x – 24x² + 20 + 24x) =
– 10x² + 12x + 10x – 20 + 20x + 24x² – 20 – 24x =
14x² + 18x – 40
 ( 5x – 2 ) ² – ( 2x + 3 ) ² =
( 5x – 2 ) ( 5x – 2 ) – ( 2x + 3 ) ( 2x + 3 ) =
25x² – 10x – 10x + 4 – ( 4x² + 6x + 6x + 9 ) =
25x² – 10x – 10x + 4 – 4x² – 6x – 6x – 9 =
21x² – 32x – 5
2) Factoriser :
SOMME PRODUIT
Factoriser
On utilise la formule suivante : ka + kb = k ( a + b )
On cherche le « facteur commun » à tous les termes de la somme, et on
le « met en facteur ».
Exemples :
 5x + 8x – 2x – 7x =
x ( 5 + 8 – 2 – 7 ) =
4x
 8x – 8 y + 8 z =
8 ( x – y + z )
 – 63x4 + 35 x3 =
7x3 ( – 9x + 7x3 5 =
7x3 ( – 9x + 5 )
 ( x + 2 ) ( 3x – 1 ) + ( x + 2 ) ( 4x – 3 ) =
( x + 2 ) [ ( 3x – 1 ) + ( 4x – 3 ) ] =
( x + 2 ) ( 3x – 1 + 4x – 3 ) =
( x + 2 ) ( 7x – 4 )
Les deux termes de la somme sont
séparés par un – , il est donc
nécessaire de mettre des parenthèses
autour du 2ème développement.
Les carrés peuvent être écrits
sous la forme de produits de deux
facteurs identiques.
Cette factorisation correspond à la
réduction d’une somme, car il n’y a plus
d’inconnue dans le 2ème facteur, et on peut
donc le calculer complètement.
Le facteur commun est caché, il
faut le faire apparaître.
Le facteur commun est plus
complexe : ( x + 2 )

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 ( 2x + 5 ) ² – ( 4 – 3x ) ( 2x + 5 ) =
( 2x + 5 ) ( 2x + 5 ) – ( 4 – 3x ) ( 2x + 5 ) =
( 2x + 5 ) [ ( 2x + 5 ) – ( 4 – 3x ) ] =
( 2x + 5 ) ( 2x + 5 – 4 + 3x ) =
( 2x + 5 ) ( 5x + 1 )
 ( 6x – 1 ) ( 2 – 4x ) + 6x – 1 =
( 6x – 1 ) ( 2 – 4 x ) + ( 6x – 1 ) 1 =
( 6x – 1 ) [ ( 2 – 4x ) + 1 ] =
( 6x – 1 ) ( 2 – 4x + 1 ) =
( 6x – 1 ) ( 3 – 4x )
 ( 4 + 5x ) ² – 4 – 5x =
(4 + 5x ) ² – ( 4 + 5x ) 1 =
(4 + 5x ) [ ( 4 + 5x ) – 1 ] =
( 4 + 5x ) ( 4 + 5x – 1 ) =
( 4 + 5x ) ( 3 + 5x )
III) Egalités remarquables ( ou identités remarquables).
1) Mise en évidence des formules.
 Carré de la somme de deux nombres :
( a + b ) ² = ( a + b ) ( a + b ) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²
donc quels que soient les nombres a et b,
( a + b ) ² = a² + 2ab + b²
Application au calcul mental :
209² = ( 200 + 9 ) ² = 200² + 2 200 9 + 9²
= 40000 + 3600 + 81
= 43681
 Carré de la différence de deux nombres:
( a – b ) ² = ( a – b ) ( a – b ) = a² – ab – ba + b² = a² – 2ab + b²
donc quels que soient les nombres a et b,
( a – b ) ² = a² – 2ab + b²
Le deuxième terme n’est pas écrit sous
la forme d’un produit . Il faut l’écrire
( 6x – 1 )  1 pour que (6x – 1 ) soit un
« facteur » commun.
Le facteur commun caché, il faut le faire
apparaître ainsi que le 1 par lequel il est
multiplié.

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Application au calcul mental :
399² = ( 400 – 1 ) ² = 400² – 2 400 1 + 1²
= 160000 – 800 + 1
= 159200 + 1
= 159201
 Produit de la somme et de la différence de deux nombres :
( a + b ) ( a – b ) = a² – ab + ba – b² = a² – b²
donc quels que soient les nombres a et b,
( a + b ) ( a – b ) = a² – b²
Application au calcul mental :
198 202 = ( 200 – 2 ) ( 200 + 2 ) = 200² – 2² = 40000 – 4 =
39996
2) Développer à l’aide des égalités remarquables.
Il faut reconnaître l’égalité remarquable qui est en jeu, bien identifier les
parties de l’expression correspondant à a et b, puis appliquer la formule
directement.
Exemples :
 ( x + 2 ) ² = x² + 4x + 4
 ( 5x – 3 ) ² = 25x² – 30x + 9
 ( 4x – 1 ) ( 4x + 1 ) = 16x² – 1
 ( 5x – 3 ) ² + ( 3 + 2x ) ² =
25x² – 30x + 9 + 9 + 12x + 4x² =
29x² – 18x + 18
 ( 2x – 4 ) ( 2x + 4 ) – ( 7x – 5 ) ² =
4x² – 16 – ( 49x² – 70x + 25 ) =
4x² – 16 – 49x² + 70x – 25 =
Il s’agit de la première égalité remarquable :
a = x et b = 2
a² = x² b² = 4 et 2ab = 2  x  2 = 4x
Il s’agit de la deuxième égalité remarquable :
a = 5x et b = 3
a² = (5x)² = 5² x² = 25 x² b² = 9
et 2ab = 2  5x  3 = 30x
Il s’agit de la troisième égalité remarquable :
a = 4x et b = 1
a² = (4x)² = 4² x² = 16x² b² = 1
Il s’agit des 1ère et 2ème égalités remarquables.
Il s’agit des 3ère et 2ème égalités remarquables.