Intro Recherche Opérationnelle Corrigé 11: Diviseur

Intro Recherche Opérationnelle
Corrigé 11: Diviseur
Dr. Rudolf Riedi
HTA-FR, 2016-17
1. Déterminer la décomposition en facteurs premiers des nombres 4027 et 4087.
√
La racine de 4087 est 4087 = 63.93. Il faut, alors, cherche des facteurs premiers jusqu’à 63 seulement.
Les facteurs premiers plus grands que 63 vont sortir automatiquement. Ces nombres premiers sont:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61
On trouve qu’aucune de ces nombres divise 4027, alors 4027 est premier et ces facteurs sont: 4027=4027.
On trouve que parmi ces nombres seulement 61 divise 4087. On trouve 4097/61=67. 67 est premier. Les
facteurs premier de 4087 sont alors: 4087=61*67.
2. Calculer pgdc(987, 517) à l’aide de l’énumération des diviseurs, puis à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
On trouve rapidement, que 3 et 7 sont des diviseurs de 987. On calcule 987/21=47, un nombre premier.
Alors, 987 = 3 · 7 · 47.
On trouve rapidement, que 11 est un diviseur de 517. Par division, 517/11=47. Alors, 517 = 11 · 47.
L’algorithme d’Euclide brèvement: 987-517=470; 517-470=47; le pgdc de 470 et 47 est clairement 47.
3. Calculer à l’aide de l’algorithme d’Euclide le pgcd des nombres a et b suivants:
(a) a = 1233, b = 9999;
(b) a = 12345, b = 54321.
Voir 3.
4. Trouver les nombres premiers parmi les nombres suivants:
a = 401; premier
b = 559; 13 · 43
c = 643. premier
Les nombres premier à essayer comme facteur sont 2 3 5 7 11 13 17 19 23 parce que 292 = (30 − 1)2 =
900 − 2 · 30 + 1 = 841 est déjà plus grand que 643.
5. Calculer les nombres s et t tels que s · a + t · b = pgcd(a, b), avec les nombres a et b suivants:
(a) a = 72, b = 39;
(b) a = 1993, b = 210.
Ensuite, trouver une solution des équations Diophantines suivantes
ax + by = 15
dans les deux cas.
(a) a = 72, b = 39;
Euklid:
u
v
-------------------------(1)
72
1
0
(2)
39
0
1
(1)-(2)
33
1
-1
(2)-(3)
6
-1
2
(3)-5*(4)
3
6 -11
--------------------------
Alors, le pgdc vaut 3, comme on voit facilement.
On obtient aussi que
pgdc(72, 39) = 3 = 6 ∗ 72 − 11 ∗ 39
(Test: 6*72=432, 11*39=429)
L’équation est
72x + 39y = 15
Comme 15 est un multiple du pgdc, l’équation possède une solution. On l’obtient en multipliant le
décomposition donnée par l’algo de Euclid étendu par 5. (15/pgdc(72,39)=15/3=5).
On trouve
3 ∗ 5 = 6 ∗ 5 ∗ 72 − 11 ∗ 5 ∗ 39
alors
15 = 30 ∗ 72 − 55 ∗ 39
et la solution x = 39, y = −55.
(b) a = 1993, b = 210.
Similaire. On voit rapidement, que l’équation n’a pas de solution parce que 15 est un multiple de 3,5
et 15 seulement, et ni 3, ni 5 sont des facteurs communs de a et b. Alors, 15 est certainement pas un
multiple de pgdc(a,b), et il n’y a pas de solution.
Calcul du pgdc avec Euler comme avant.
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