Intro Recherche Opérationnelle Corrigé 11: Diviseur

Dr. Rudolf Riedi Intro Recherche Op´erationnelle
HTA-FR, 2016-17 Corrig´e 11: Diviseur
1. D´eterminer la d´ecomposition en facteurs premiers des nombres 4027 et 4087.
La racine de 4087 est √4087 = 63.93. Il faut, alors, cherche des facteurs premiers jusqu’`a 63 seulement.
Les facteurs premiers plus grands que 63 vont sortir automatiquement. Ces nombres premiers sont:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61
On trouve qu’aucune de ces nombres divise 4027, alors 4027 est premier et ces facteurs sont: 4027=4027.
On trouve que parmi ces nombres seulement 61 divise 4087. On trouve 4097/61=67. 67 est premier. Les
facteurs premier de 4087 sont alors: 4087=61*67.
2. Calculer pgdc(987,517) `a l’aide de l’´enum´eration des diviseurs, puis `a l’aide de l’algorithme d’Euclide.
On trouve rapidement, que 3 et 7 sont des diviseurs de 987. On calcule 987/21=47, un nombre premier.
Alors, 987 = 3 ·7·47.
On trouve rapidement, que 11 est un diviseur de 517. Par division, 517/11=47. Alors, 517 = 11 ·47.
L’algorithme d’Euclide br`evement: 987-517=470; 517-470=47; le pgdc de 470 et 47 est clairement 47.
3. Calculer `a l’aide de l’algorithme d’Euclide le pgcd des nombres aet bsuivants:
(a) a= 1233, b = 9999;
(b) a= 12345, b = 54321.
Voir 3.
4. Trouver les nombres premiers parmi les nombres suivants:
a= 401; premier
b= 559; 13 ·43
c= 643. premier
Les nombres premier `a essayer comme facteur sont 2 3 5 7 11 13 17 19 23 parce que 292= (30 −1)2=
900 −2·30 + 1 = 841 est d´ej`a plus grand que 643.
5. Calculer les nombres set ttels que s·a+t·b= pgcd(a, b), avec les nombres aet bsuivants:
(a) a= 72, b = 39;
(b) a= 1993, b = 210.
Ensuite, trouver une solution des ´equations Diophantines suivantes
ax +by = 15
dans les deux cas.
(a) a= 72, b = 39;
Euklid:
u v
--------------------------
(1) 72 1 0
(2) 39 0 1
(1)-(2) 33 1 -1
(2)-(3) 6 -1 2
(3)-5*(4) 3 6 -11
--------------------------

Alors, le pgdc vaut 3, comme on voit facilement.
On obtient aussi que
pgdc(72,39) = 3 = 6 ∗72 −11 ∗39
(Test: 6*72=432, 11*39=429)
L’´equation est
72x+ 39y= 15
Comme 15 est un multiple du pgdc, l’´equation poss`ede une solution. On l’obtient en multipliant le
d´ecomposition donn´ee par l’algo de Euclid ´etendu par 5. (15/pgdc(72,39)=15/3=5).
On trouve
3∗5=6∗5∗72 −11 ∗5∗39
alors
15 = 30 ∗72 −55 ∗39
et la solution x= 39, y=−55.
(b) a= 1993, b = 210.
Similaire. On voit rapidement, que l’´equation n’a pas de solution parce que 15 est un multiple de 3,5
et 15 seulement, et ni 3, ni 5 sont des facteurs communs de aet b. Alors, 15 est certainement pas un
multiple de pgdc(a,b), et il n’y a pas de solution.
Calcul du pgdc avec Euler comme avant.
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