k MA2OSPAX Unite 5 Les racines et les puissances (Chapitre 4 du texte — p.202 — 253) Ce Iivret appartient a , f)iTA Unite: Les racines et les puissances RAS 1Ol.A.2. Nombre irrationnels (identifier, simplifier, ordonner) (Lecon 1 et 2) Lecon 1: Revision La famille des nombres. radicales. carré et cubipues + Les nombres naturels strictement positifs N Les nombres naturels N Les nombres entiers Z {O, 1, 2, 3, Q nombres rationnels Tout nombres qui peuvent être exprime dans Ia forme nombres entiers et b {1, 2, 3, .., oü a et b sont des 0. Tous les nombres décimaux qui terminent et periodiques sont rationnels. Ex: 5; —; 0,6; 5,345 Q Les nombre irrationnels Tout nombres qui ne peuvent pas être exprimé dans Ia forme des nombres entiers et b oü a et b sont 0. Tous les nombres décimaux qui ne terminent pas et qui ne se répétent pas sont irrationnels. Ex: Les nombres reels ]R Tous les nombres naturels, entiers, irrationnels et rationnels ensemble. c,\J Ex: Décidez si les nombres suivants sont rationnels ou irrationnels. a)% (2 b)J d)t 1E e) g)3,52931345... 1. 411/Z(. c) 5456 f)q h)—1,131313... g Ex: Queue(s) famille(s)? a) 44 b)-3 c)O d)519 e) 1,352631354... f)—2,3--Z N 3 La terminologie des radicales: Th f L’Indki. . n IRadical Radicande= x a mclne csfle eat un numéro oil, quand on le multlplle par lul-mSme, eat égale a un numéro donné. Ex: Laraclnecarréede4eet2, car2 •24 c.-a-d.41 =2 SI Ia racine carrée d’un numéro cane parfait a un nornbre enter, ce numéro a’appelle un Er 1,4,9, 16,25,36,49,64,81,100,... ( 1sc (etrre3 Er Trouvez lee moines carréee aulvantea bhThi’7 c)1225 Cheque numéro poellive a 2 raclries carrées poesibler une racine carrée poeltlve et une racine carrée nigatve Er Laradnecarréedel6peutIlre4ou4parceque: 4•4=16 at 4•4=16 Pour reprieenter Ia raclne carrée principale ou poeltive, on écit ,/i =4 Pour repreeenter Ia raclne carrée negative, on écrlt Eatce queiPi a possible? -& ‘wi. = -4 Ex: Evaluez (si possible): a) —v’ — d) ./—49 z’2 0 b) iv’400 e) J Z c) 12500 f) go,64 La racine cubique est un numéro oü, quand on le multiplie par Iui-même 3 fois, est egal a un numéro donné. Ex: La racine cubique de 8 est 2, car 2 •2•2=8 Si Ia racine cubique d’un numéro est un nombre entier, ce numéro s’appelle un cube parfait. Ex: 1, 8,27,64, 125, 216, Ex: Calculez les racines suivantes si possibles: a)Vc4’( b)VT 333 c)V Z?d)VE iJ-1iocci L’estimation de radicaux: Pour estimer a valeur dune racine dun numéro qul n’est pas une valeur parfaite, utilisez les valeurs des racines que vous connaissez pour faire une estimation raison n able. Ex: Estimez a valeur des racines suivantes: a)V b)V : q —‘-— t JIiLI 34 -i V’T(Pui j’rvir Jo’7f Utilisez le tableau suivant pour vous aider avec vos estimations: xl 2 5 3 3 ( 1 ( Z 10 qc q ( (o 8 zi 3” c(z (Z / 9 7 6 C( ( x2 4 3 Z IZ (co ?/ Ordonné les valeurs numérigues Ordre croissant: petit - grand Ordre décroissant: grand - petit Ex: Placez les valeurs suivantes en ordre: a) Qrdre décroissant: —; —q’ CZo5T C) .i’7u J; VT; I ; —0.99 2 f/Of//; 1 —0.9; fg?/77 C? \J lô. / CL’ c VTiT 4 1 -3 T F1 UFTTW J1 U C 1 I I I I I I I 2 / b) Ordre croissant: 113 - 13 ; ‘ ; ; 4II1IlllIIi1IIIIiIIIIlII)’ -4 4 -2 -1 1 0 2 7 l t c) Ordre croissant: j _22,, 1,25, -1,44 ; ? /j -4 Devoir: -3 -2 -1 p.206 #1, 3, 5 p.211 #3,4,9, 12,14 0 1 2 q P LA SIMPLIFICATION DES RADICAUX Un.sadical est simpliflé quand ii ne contient pas un carré parfait,(ou cube parfait etc.) comme facteur. Ex: Quel est le radical non simpliflé ici? U4 Radical composélmixte (simpliflé): Un nombre qui est le produit d’un nombre rationnel et un nombre irrationnel. En genérale, un radical dans cette forme est considéré simplifié (s’il ne contient pas un carré/cube parfait comme facteur de Ia radicande). Ex: 4J IRadical entier (non simpliflé): Un nombre qui est seulement un radical. Ex: s/iT En generale, un radical dans cette forme n’est pas simpliflé s’iI contient un carré/cube parfait comme facteur de Ia radicande. Ex: -Jf —‘ ‘° Prtci’ La simplification des radicaux (entier 4 compose) Ex #1: Evaluez chaque question suivante. Qu’est-ce que tu remarques? 32 a)/Vi6 Ex #2: Evaluez chaque question suivante avec une calculatrice. Qu’est-ce que tu rema rq ues? a)Ji b) ec’ h Ex #3: Evaluez chaque question suivante. Qu’est-ce que tu remarques? a) J8.27 6 b) J•Ji Propriété de Ia multiplication de radicaux 2 3 oü Iindice n est un nombre naturel positif! Pour simplifier des radicales, on va utiliser cette propriété et les étapes suivantes: 1. Divise Ia radicande en deux facteurs oü un des facteurs est le plus grand carré parfait(ou cube parfait)! 2. Utilise Ia propriété de multiplication des radicaux pour separer Ia radicale en deux radicales. 3. Evaluez Ia racine carré ou cubique du carré ou cube parfait et écrivez Ia radicale compose qui reste... Ex #1: Simplifie les radicales suivantes si possible b) a) i./ c) 1 - d) lii e) /i TT - / ‘V (4 t .L i3Z 1 &:;; / ——-—‘ — bU?< (fVfl Qire 1 a c,d— Ex #2 : Simplifie les radicales suivantes si possible: a) Viii r -- r(CcL d)Jiz b2 Ct e) 4Jiii JLO I acICci,i Tu peux aussi utiliser a factorisation premiere pour simplifier des radicales Ex #3. Simplifie les radicaux suivants en utilisant Ia factorisation premiere si possible: a) %J& b) ,—- --- IZ 11 / /\ i-1 (OZ //\ 7_Z I I /\ C, I r\ 1 2 1 3Z 3 /\ /‘ 3_f, 3 - ?Jz• (/7 r— zJ5 ZZ - 0 c)i /\ — 2- *J Chanaer de a forme composée a Ia forme entière (C’est-à-dire... remettre Ia valeur sans radical sous forme de radical) Ex #1: Change les radicaux suivants a) 2 6TT a Ia forme entière: d)3V c)2V \rjTi >I22 \JL7 ( Devoir: p.218#4, 5, 11,18,20,21,23 T V