Calcul 30 Cahier de l`élève Unité F

Calcul 30
Cahier de l’élève
Unité F : Applications
pratiques des dérivées
2010
Ministère de
l’Éducation
de la Saskatchewan

Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité F Page 1
Unité F : Applications pratiques des dérivées
Résultats d’apprentissage généraux (RAG)
 Utiliser la dérivation pour résoudre des problèmes traitant d’optimisation, de taux de variation et
de distance, vitesse, et accélération.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques F.1, F.2 et F.3.
Résultats d’apprentissage spécifiques (RAS)
F.1 Résoudre des problèmes de taux de variation.
F.2 Résoudre une grande variété de problèmes d’optimisation.
F.3 Déterminer la vitesse instantanée et l’accélération d’une particule, la fonction de sa position
étant connue.
F.4 Résoudre des problèmes de taux de variation.

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F.1 Résoudre des problèmes de taux de variation.
Théorie
Exemple : Pendant une période de 24 heures, la température, en degrés Celsius, dans notre ville était
donnée par la fonction , où x est le nombre d’heures écoulées.
32
0,002 0,05 2,8 8   fx x x x
(a) Tracez un graphe de la fonction pour
0,24x.
(b) Trouvez la température après 5 heures et après 15 heures.
(c) Trouvez le taux moyen de variation de la température pendant ces 10 heures. Interprétez cela
graphiquement.
(d) Trouvez le taux instantané de variation de la température après 5 heures et après 15 heures.
Solution :
(a) Le graphe apparaît ci-dessous. Les élèves peuvent créer un tableau de valeurs au moyen d’une
calculatrice puis tracer le graphe, ou encore utiliser un logiciel graphique puis copier le graphe à
partir du logiciel.
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(b) et
15 32 . 520,5 f f 
(c) Le taux moyen de variation de la
température
pendant ces 10 heures peut être déterminé
en
trouvant :
variation de la température
variation du temps
32 20,5 11,5 1,15 / h.
15 h 5 h 10 h
y
x
B
A 5, 20,5
15,32
(d) Graphiquement, c’est la pente de la ligne sécante reliant les points A et B.
(e) Pour trouver le taux instantané de variation après 5 heures, trouvez la pente de la ligne tangente au
point A. (Si l’on trouve le taux moyen de variation sur des intervalles de temps de plus en plus
courts, la sécante tend vers la tangente.)
Comme , donc
2
0,006 0,1 2,8
  fx x x
52,15/h f et 15 0,05 /h f.
Après 5 heures, la température croît au rythme de 2,15 degrés à l’heure et après 15 heures, elle
décroît au rythme de 0,05 degré à l’heure.