Chapitre ORDRE ET COMPARAISON 4 ème

Chapitre
ORDRE ET COMPARAISON
4 ème
(CHAPITRE 15 en 2008/2009)
➢ Comparer deux nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire, en
particulier connaître et utiliser :
a
c
➔ L’équivalence entre b = d et a × d = b × c (b et d étant non nuls)
➔ L’équivalence entre a ≥ b et a − b ≥ 0
➔ L’équivalence entre a > b et a − b > 0
➢ Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ac et bc sont rangés dans le
même ordre que a et b si c est strictement positif.
➢ Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ac et bc sont rangés dans
l’ordre inverse de a et b si c est strictement négatif.
Chapitre
Ordre et comparaison
4 ème
1) Comparaison de nombres relatifs
a) Nombres en écriture fractionnaire:
Propriété: (admise)
Deux nombres en écriture fractionnaire ayant un même dénominateur positif sont rangés dans le même
ordre que leurs numérateurs.
a b
Traduction en langage mathématique: Si a  b et c  0 alors

c c
Cette expression est une « inégalité »
Exemples:
➢ Comme 2,1 3,2 et 13 0 on a 2,1  3,2
13 13
−4 −2
➢ Comme −4 −2 et 3 0 on a 3  3
Méthode:
Pour comparer des nombres en écriture fractionnaire, on peut les écrire avec un même dénominateur
positif .
Exemples:
4
−2
➢ On veut comparer −7 et 3
:
On écrit les deux nombres avec le même dénominateur positif 21,
4 ×−3
4
−12
−2 −2× 7 −14
=
=
et
=
=
−7 −7×−3
21
3
3×7
21
on a
−12 −14
4
−2

et donc

.
21
21
−7
3
2
5
➢ On veut comparer −3 et −2 :
On écrit les deux nombres avec le même dénominateur positif 6,
2 ×−2
5 ×−3
2
−4
5
−15
=
=
et
=
=
−3 −3×−2 6
−2 −2×−3
6
on a
−4 −15
2
5

et donc

.
6
6
−3 −2
b) Signe de la différence: (propriétés admises)
Pour comparer deux nombres relatifs a et b, on peut chercher le signe de leur différence:
Si la différence a − b est négative alors a est inférieur à b.
Traduction en langage mathématique:
Pour des nombres a et b quelconques: Si a − b 0 alors a  b .
Réciproquement: Si a  b alors a − b 0 .
Remarque: On a des propriétés analogues avec les symboles  ,  et  .
Exemples:
−4
1
−4
8
➢ On veut comparer a = 3  5 et b = 5  3 :
a−b=



 
−4 1
−4 8
−4 1
−4
8 −4 −8 1 4
 −
 =
 −
− =

3
5
5
3
3
5
5
3
3
5
−12 5
 =−41 =−3
3
5
Comme a − b =−3 0 on peut affirmer que a b .
a−b=
➢ On veut comparer a = 2 x  3 et b = x  3 en supposant que x  0 :
a − b = 2 x  3− x  3=2 x  3− x −3 = 2 x − x  3 − 3= x .
Comme a − b = x 0 on peut affirmer que a  b quand x  0 .
2) Ordre et opérations:
Propriétés: (admises)
On ne change pas le sens d'une inégalité en ajoutant ou en soustrayant un même nombre à ses
deux membres.
Traduction en langage mathématique:
Pour des nombres a , b et c quelconques: Si a  b alors a c  b c .
Pour des nombres a , b et c quelconques: Si a  b alors a −c  b −c .
Exemples:
➢ 6  15 donc 6  3 15  3
➢ −6 −15 donc −6  3 −15  3
➢ 10  4 donc 10 − 7 4 − 7
➢ −10 −4 donc −10 −7 −4 −7
On ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un
même nombre positif non nul.
Traduction en langage mathématique:
Pour des nombres a , b quelconques et c 0 : Si a  b alors a ×c  b ×c .
Pour des nombres a , b quelconques et c 0 : Si a  b alors
a b
 .
c c
Les deux inégalités ont même sens
Exemples:
➢ 6  15 donc 6 × 3 15 × 3
➢ −6 −15 donc −6× 3−15× 3
10 4
➢ 10  4 donc 10 : 2  4 : 2 c'est-à-dire 2  2
−10 −4
➢ −10 −4 donc −10 : 2 −4 : 2 c'est-à-dire 2  2
change le sens d'une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même
 On
nombre négatif non nul .
 Traduction en langage mathématique:
 Pour des nombres a , b quelconques et c 0 : Si a  b alors a ×c  b ×c .

a b
 Pour des nombres a , b quelconques et c 0 : Si a  b alors c  c .
Les deux inégalités ont des sens contraires
Exemples:
➢ 6  15 donc 6 ×−3 15×−3
➢ −6 −15 donc −6×−3−15 ×−3
10
4
➢ 10  4 donc 10 : −2 4 : −2 c'est-à-dire −2  −2
−10
−4
➢ −10 −4 donc −10 : −2−4 : −2 c'est-à-dire −2  −2
Remarque: On a des propriétés analogues avec les symboles  ,  et  .
3) Encadrement:
« Encadrer » un nombre x signifie :
 trouver un nombre a inférieur à x,
 trouver un nombre b supérieur à x.
a
« L'amplitude » de cet encadrement est la différence b −a .
Exemples:
➢ Soit x = 23,71: 23,7  x  23,8 est un encadrement de x au dixième
car son amplitude est 23,8− 23,7 = 0,1.
➢ 3,14  3,15 est un encadrement de  au centième.
x
×
×
b− a
b
×