Z∈ C - Euler

En terminale S :
SIMILITUDE et RECTANGLE d’OR
1. Exercice préliminaire : On peut donner cet exercice à des élèves de TS, en préambule au
travail sur le rectangle d’or
EXERCICE :
a.Quelle est la mesure de « l’angle au centre » d’un pentagone régulier ?
b.Soit z un nombre complexe, on vérifiera que :
1− z5
pour tout z ∈ C \ {1}, 1 + z + z² + z 3 + z 4 =
.
1− z
c.En utilisant la forme exponentielle des nombres complexes, résoudre l’équation (E):
Pour tout z ∈ C \ {1}, 1 + z + z² + z 3 + z 4 = 0 .
d. Vérifier que parmi les solutions, quatre sont des nombres complexes deux à deux
conjugués.
2π
e. Remarquer que : cos
est la partie réelle de l’une des solutions de l’équation (E).
5
f. Vérifier que : pour tout z ∈ C \ {1},
1 1
1 + z + z² + z 3 + z 4 = 0 est équivalent à : z²( + + 1 + z + z²) = 0 .
z² z
1
g. En posant Z = z + , montrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation :
z
Z∈ C, Z ² + Z − 1 = 0 .
h. Résoudre cette équation.
2π
i. Vérifier que 2. cos
est l’une des solutions de cette équation et donner la valeur
5
2π
de cos
.
5
2.Rectangle d’or : module en terminale S
a.Résoudre l’équation :
x ∈R,
x² − x − 1 = 0
b. Cf. figure réalisée avec Cabri Géomètre ou Geoplan : rect_or.g2w
On construit un rectangle ABCD de côtés 1 et Φ , qui s’appelle rectangle d’or.
On construit ensuite le rectangle ABEF par adjonction au précédent du carré DCEF, de
côtés Φ et 1+ Φ .
Vérifier que : 1+ Φ = Φ ²
Réaliser la figure sur votre feuille de module.
c. Soit la similitude σ qui transforme A, B, C, D respectivement en B, E, F et A.
Quel est le rapport de la similitude σ et quelle est une mesure de l’angle de σ(sur la
figure réalisée) ?
d. En vous aidant de la construction réalisée dans Geoplan, construire Ω, le centre de la
similitude σ. rect_or.g2w
e. Démontrer que Ω est le point d’intersection des droites (AE) et (BD).
f. A l’aide de la construction réalisée dans Geoplan, recommencer la construction d’un
nouveau rectangle déduit du précédent par σ. rect_or.g2w
Quelles sont les longueurs de ses côtés ?
g. Démontrer par récurrence que les images successives de A et D par σ sont des
points situés sur deux droites perpendiculaires.
h. Quelles sont les images successives du point C par σ ? Calculer la longueur l0=CF .
Calculer la longueur du segment ln obtenu après itération du procédé n fois .
Quelle est la longueur de la ligne polygonale joignant les images successives de C
k =n
Ln = ∑ k = 0 l k ?
Quelle est la limite de Ln lorsque n tend vers +∞ ?
i. On considère la similitude réciproque de σ : σ-1. Définir cette transformation .
A l’aide de la figure réalisée avec Geoplan, observer la construction itérative des
images successives de C par σ-1. rect_or1.g2w
Quelle est, cette fois, la longueur Ln’ de la ligne polygonale joignant les images
successives des points C ?
Quelle est la limite de Ln’ lorsque n tend vers +∞ ?
Avec l’utilisation de σ, on peut obtenir un pavage du plan par un rectangle de côté 1 et Φ et
des carrés de côté Φn ; avec σ-1, obtient-on un pavage du rectangle ABCD ?
En partant d’un rectangle quelconque ABCD, dont les côtés sont de longueurs l et L,
avec : l<L , peut-on en réaliser un pavage en construisant à l’intérieur un carré de côté l,
puis dans le rectangle restant un nouveau carré et ainsi de suite ?
Fichier rectangl.cf2 à ouvrir avec Geoplan.