En terminale S : SIMILITUDE et RECTANGLE d’OR 1. Exercice préliminaire : On peut donner cet exercice à des élèves de TS, en préambule au travail sur le rectangle d’or EXERCICE : a.Quelle est la mesure de « l’angle au centre » d’un pentagone régulier ? b.Soit z un nombre complexe, on vérifiera que : 1− z5 pour tout z ∈ C \ {1}, 1 + z + z² + z 3 + z 4 = . 1− z c.En utilisant la forme exponentielle des nombres complexes, résoudre l’équation (E): Pour tout z ∈ C \ {1}, 1 + z + z² + z 3 + z 4 = 0 . d. Vérifier que parmi les solutions, quatre sont des nombres complexes deux à deux conjugués. 2π e. Remarquer que : cos est la partie réelle de l’une des solutions de l’équation (E). 5 f. Vérifier que : pour tout z ∈ C \ {1}, 1 1 1 + z + z² + z 3 + z 4 = 0 est équivalent à : z²( + + 1 + z + z²) = 0 . z² z 1 g. En posant Z = z + , montrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation : z Z∈ C, Z ² + Z − 1 = 0 . h. Résoudre cette équation. 2π i. Vérifier que 2. cos est l’une des solutions de cette équation et donner la valeur 5 2π de cos . 5 2.Rectangle d’or : module en terminale S a.Résoudre l’équation : x ∈R, x² − x − 1 = 0 b. Cf. figure réalisée avec Cabri Géomètre ou Geoplan : rect_or.g2w On construit un rectangle ABCD de côtés 1 et Φ , qui s’appelle rectangle d’or. On construit ensuite le rectangle ABEF par adjonction au précédent du carré DCEF, de côtés Φ et 1+ Φ . Vérifier que : 1+ Φ = Φ ² Réaliser la figure sur votre feuille de module. c. Soit la similitude σ qui transforme A, B, C, D respectivement en B, E, F et A. Quel est le rapport de la similitude σ et quelle est une mesure de l’angle de σ(sur la figure réalisée) ? d. En vous aidant de la construction réalisée dans Geoplan, construire Ω, le centre de la similitude σ. rect_or.g2w e. Démontrer que Ω est le point d’intersection des droites (AE) et (BD). f. A l’aide de la construction réalisée dans Geoplan, recommencer la construction d’un nouveau rectangle déduit du précédent par σ. rect_or.g2w Quelles sont les longueurs de ses côtés ? g. Démontrer par récurrence que les images successives de A et D par σ sont des points situés sur deux droites perpendiculaires. h. Quelles sont les images successives du point C par σ ? Calculer la longueur l0=CF . Calculer la longueur du segment ln obtenu après itération du procédé n fois . Quelle est la longueur de la ligne polygonale joignant les images successives de C k =n Ln = ∑ k = 0 l k ? Quelle est la limite de Ln lorsque n tend vers +∞ ? i. On considère la similitude réciproque de σ : σ-1. Définir cette transformation . A l’aide de la figure réalisée avec Geoplan, observer la construction itérative des images successives de C par σ-1. rect_or1.g2w Quelle est, cette fois, la longueur Ln’ de la ligne polygonale joignant les images successives des points C ? Quelle est la limite de Ln’ lorsque n tend vers +∞ ? Avec l’utilisation de σ, on peut obtenir un pavage du plan par un rectangle de côté 1 et Φ et des carrés de côté Φn ; avec σ-1, obtient-on un pavage du rectangle ABCD ? En partant d’un rectangle quelconque ABCD, dont les côtés sont de longueurs l et L, avec : l<L , peut-on en réaliser un pavage en construisant à l’intérieur un carré de côté l, puis dans le rectangle restant un nouveau carré et ainsi de suite ? Fichier rectangl.cf2 à ouvrir avec Geoplan.