Z∈ C - Euler

En terminale S :
SIMILITUDE et RECTANGLE d’OR
1. Exercice préliminaire : On peut donner cet exercice à des élèves de TS, en préambule au
travail sur le rectangle d’or
EXERCICE :
a.Quelle est la mesure de « l’angle au centre » d’un pentagone régulier ?
b.Soit z un nombre complexe, on vérifiera que :
pour tout
∈
z
C \ {1}, z
z
zz²zz −
−
=++++ 1
15
43
1 .
c.En utilisant la forme exponentielle des nombres complexes, résoudre l’équation (E):
Pour tout C \ {1}, 1. ∈z0
43 =++++ zz²zz
d. Vérifier que parmi les solutions, quatre sont des nombres complexes deux à deux
conjugués.
e. Remarquer que : 5
2π
cos est la partie réelle de l’une des solutions de l’équation (E).
f. Vérifier que : pour tout C \ {1}, ∈z
est équivalent à : 0143 =++++ zz²zz 01
11 =++++ ²)zz
z²z
²(z .
g. En posant z
zZ 1 += , montrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation :
Z
∈ C, 01
=
−
+
Z²Z .
h. Résoudre cette équation.
i. Vérifier que 5
2
2π cos. est l’une des solutions de cette équation et donner la valeur
de
5
π2
cos .
2.Rectangle d’or : module en terminale S
a.Résoudre l’équation : ∈
x
R, 01
=
−
−
x²x
b. Cf. figure réalisée avec Cabri Géomètre ou Geoplan : rect_or.g2w
On construit un rectangle ABCD de côtés 1 et
Φ
, qui s’appelle rectangle d’or.
On construit ensuite le rectangle ABEF par adjonction au précédent du carré DCEF, de
côtés Φet 1+ Φ.
Vérifier que : 1+ = ² Φ Φ
Réaliser la figure sur votre feuille de module.
c. Soit la similitude σ qui transforme A, B, C, D respectivement en B, E, F et A.
Quel est le rapport de la similitude σ et quelle est une mesure de l’angle de σ(sur la
figure réalisée) ?
d. En vous aidant de la construction réalisée dans Geoplan, construire Ω, le centre de la
similitude σ. rect_or.g2w
e. Démontrer que Ω est le point d’intersection des droites (AE) et (BD).

f. A l’aide de la construction réalisée dans Geoplan, recommencer la construction d’un
nouveau rectangle déduit du précédent par σ. rect_or.g2w
Quelles sont les longueurs de ses côtés ?
g. Démontrer par récurrence que les images successives de A et D par σ sont des
points situés sur deux droites perpendiculaires.
h. Quelles sont les images successives du point C par σ ? Calculer la longueur l0=CF .
Calculer la longueur du segment ln obtenu après itération du procédé n fois .
Quelle est la longueur de la ligne polygonale joignant les images successives de C
∑
=
=
=nk
kkn lL 0?
Quelle est la limite de Ln lorsque n tend vers +∞ ?
i. On considère la similitude réciproque de σ : σ-1. Définir cette transformation .
A l’aide de la figure réalisée avec Geoplan, observer la construction itérative des
images successives de C par σ-1. rect_or1.g2w
Quelle est, cette fois, la longueur Ln’ de la ligne polygonale joignant les images
successives des points C ?
Quelle est la limite de Ln’ lorsque n tend vers +∞ ?
Avec l’utilisation de
σ , on peut obtenir un pavage du plan par un rectangle de côté 1 et Φ et
des carrés de côté
Φ
n ; avec
σ
-1, obtient-on un pavage du rectangle ABCD ?
En partant d’un rectangle quelconque ABCD, dont les côtés sont de longueurs l et L,
avec : l<L , peut-on en réaliser un pavage en construisant à l’intérieur un carré de côté l,
puis dans le rectangle restant un nouveau carré et ainsi de suite ?
Fichier rectangl.cf2 à ouvrir avec Geoplan.