niveau I à une géométrie

Géométrie plane
M1 MEEF Maths
2014-2015
1
Lyon 1
Une confusion commune
2
Des problèmes
Exemples
3
Un problème de mesure
Dans une pièce « rectangulaire » on
souhaite tendre un fil entre deux sommets
opposés du plafond de cette pièce.
Comment déterminer la longueur du fil ?
4
Trois modes de résolution
Résolution "pratique", avec un fil et un escabeau…
Résolution "pratique", sur le papier, avec modélisation
des objets
(pièce = rectangle, ficelle = droite et règle pour
mesurer)
Résolution plus mathématique, avec mesurage et
utilisation de propriétés issues de la théorie
géométrique (théorème de Pythagore)
5
Un problème de construction
 Tracer un triangle dont les côtés
mesurent 5 cm, 9 cm et 4 cm.
6
7
8
9
Deux modes de résolution
 Résolution pratique : dessin du triangle à l’aide du
compas et constat :
 Les arcs de cercle sont tangents, le triangle est plat.
 Les arcs de cercles sont sécants, je trace le triangle, il existe
bien.
 Résolution mathématique :
 7 cm + 4 cm = 11 cm, on est dans le cas d’égalité de
l’inégalité triangulaire, le triangle est donc plat.
10
Un problème d’identification
Exercice
- ABCD est un carré
- AE = BF = CG = DH
Quelle est la nature du
quadrilatère EFGH ?
11
Trois modes de résolution
 Résolution perceptive : si je tourne la feuille, je
vois bien que c’est un carré
 Résolution pratico-mathématique : mesurage
des côtés et des angles, utilisation des propriétés
géométriques du carré
 Résolution mathématique : raisonnement
(démonstration)
12
Différentes démarches pour résoudre
un problème
 Résolution pratique : elle met en œuvre la
perception et des actions et des compétences
purement spatiales
 Résolution pratique qui s’appuie sur des
modélisations de l’espace qui nous entoure et qui
utilise des propriétés du modèle théorique
(pratico-mathématique)
 Résolution par un raisonnement théorique
mathématique (démonstration)
13
Les problématiques
14
« Où » est posé le problème ?
Et « où » se valide la solution ?
Dans l’espace sensible :
L’espace qui nous entoure
L’espace de la feuille de papier
L’écran de l’ordinateur
Ou bien c’est un problème interne
à la théorie
15
Sur quels objets ?
 Des objets de la vie courante
 Des « objets graphiques »
 représentations d’objets de la vie courante
 dessins (géométriques)
 représentations d’objets théoriques (« figures »)
 Des « objets » théoriques : des concepts
16
Dessin et figure
 Dessin : un objet du monde sensible, objet
graphique sur la feuille de papier, dont les
propriété peuvent être vérifiées par l’utilisation
des instruments
 Figure : une représentation graphique d’un objet
idéal, d’un concept géométrique, dont les
propriétés sont établies par déduction.
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Avec quelles connaissances ?
 Connaissances spatiales :
elles permettent à chacun de contrôler ses
rapports à l’espace par la perception
 Connaissances géométriques :
elles sont associées à des définitions et
propriétés géométriques utilisées
explicitement ou implicitement
18
Les niveaux de géométrie
Houdement et Kuzniak
19
Intuition
 Fournit au sujet:
- Une théorie première basée sur un lot
d’évidences
- Un socle pour le raisonnement
 Est une source de découvertes.
 Peut être vue comme un ensemble de strates qui se
superposent et font oublier les premières
intuitions.
 Non stable, évolue grâce aux expériences.
Exemple : « par 2 points distincts, il passe une seule droite »
20
Expérience
 Est non immédiate, action physique ou mentale
nécessaire.
 Lieu: espace mesurable.
 Outil: perception, instruments.
 Exemple: «la somme des angles intérieurs d’un triangle est
un angle plat»
SommeAnglesTriangle.ggb
21
Déduction
 Permet d’atteindre de nouvelles informations
à partir de celles déjà acquises sans recours à
l’expérience.
 Fondée sur le raisonnement.
 Permet de réorganiser les apports de
l’expérience.
22
Exemple: la somme des angles d’un
triangle
On trace la parallèle à [AC] passant par B, puis on utilise les
angles alternes – internes.
23
Liens entre Intuition, Expérience,
Déduction
nourrit
1)
Expérience
Intuition
structure
2)
3)
« La déduction avance mais ne voit pas.
L’intuition voit mais n’avance pas. »
Évidence
issue de l’intuition #
renseignement
issu de l’expérience
Résultat d’une expérience # conclusion d’un raisonnement
24
Gonseth illustre le lien entre ces trois aspects par
cette affirmation :
« être géomètre c'est ne pas confondre une
évidence issue de l'intuition avec un
renseignement issu de l'expérience et le
résultat d'une expérience avec la conclusion
d'un raisonnement ».
25
Paradigme
Ensemble des croyances, des techniques
et des valeurs que partage un groupe
scientifique, mais aussi des exemples
particulièrement significatifs auxquels on
peut se référer .
26
Catherine HOUDEMENT et Alain KUZNIAK ont créé trois
paradigmes géométriques:
 La géométrie naturelle
 La géométrie axiomatique naturelle
 La géométrie axiomatique formaliste
Dans chaque paradigme se retrouvent les trois aspects :
intuition, expérience, déduction.
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Géométrie naturelle (ou géométrie I)
(ou la confusion entre la géométrie et la réalité)
 La déduction s’exerce sur des objets matériels.
 Preuve dynamique et mécanique.
 Importance de la construction et la perception (pliage,
superposition).
 Source de validation: monde réel, sensible.
 Présence des 3 pôles: intuition, expérience, déduction.
28
Géométrie axiomatique naturelle (ou
géométrie II)
 Géométrie comme schéma de la réalité.
 Importance de la déduction logique et de la démonstration
au sein d’un système axiomatique précis.
 Présence des trois pôles.
29
Géométrie axiomatique formaliste (ou
géométrie III)
 Indépendance entre la géométrie et la réalité
 L’axiomatisation vise à être complète
 Vision algébrique de la géométrie
 Elle a émergé avec la naissance des géométries non –
euclidiennes
30
Comparaison des Géométries
Géométrie I
Géométrie II Géométrie III
Sensible et
perceptive
Liée aux figures
Interne aux
mathématiques
Expérience
Liée à l’espace
mesurable
Schéma de la
réalité
De type logique
Déduction
Proche du réel et
liée à l’expérience
par la vue
Démonstration
basée sur des
axiomes
Démonstration
basée sur des
axiomes
Type
d’espace
Espace intuitif et
physique
Espace physicogéométrique
Espace abstrait
euclidien
Intuition
31
La géométrie de l'école au collège
C1 et C2



Géométrie de la perception
Est vrai ce qui est "vu" comme tel
Boîte à outils : l’œil
Fin C2 et C3 et 6ème



Géométrie instrumentée
Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments
Boîte à outils : instruments
Collège (à partir de fin 5ème)


32
Géométrie déductive
Est vrai ce qui est démontré
Boîte à outils : théorèmes
Passage d’une géométrie de
niveau I à une géométrie de
niveau II
Un exercice posé en sixième
ABCD est un carré de 7 cm de côté.
Le cercle est de centre B et de rayon 4
cm.
Quelle est la longueur du segment
[BH] ?
Calcule la longueur du segment [HC].
Explique ton raisonnement.
33
Des réponses d’élèves
 Elève 1 : c’est que le B n’est pas au centre et pas de rayon BH.




34
Comme c’est fait à la main levée, le centre B est mal fait et le
rayon aussi est mal fait ; il faut faire au compas, c’est plus pratique.
Elève 2 : (pour la valeur BH) Elle fait 3,2 cm. J’ai mesuré avec la
règle graduée. HC mesure 1,9 cm et j’ai aussi mesuré à la règle
graduée. Mais on ne peut pas mesurer.
Elève 3 : 2,5. J’ai mesuré avec la règle graduée et j’ai trouvé 2,5.
(pour BH).
Elève 4 : la longueur est de 4 cm parce que H est dans le rayon BH
et que la mesure du rayon est de 4 cm. La longueur de HC est 2
cm puisque c’est la moitié.
Elève 5 : l’élève fait au propre la construction et mesure les segments puis
trouve HC = 3,1 cm.
Dans les programmes
Dualité
Géométrie pratique
Géométrie théorique
- raisonnement, déduction
- démonstration
- dessin/outil-représentant
- expérience, intuition
- construction, reconnaissance
- dessin/objet matériel
6ème
35
5ème
4ème
Dans les programmes
Classe de 6ème
Classe de 5ème
Classe de 4ème
Consolider « une
première expérience
des figures et des
solides en passant
d’une reconnaissance
perceptive à une
connaissance prenant
appui sur quelques
propriétés vérifiées à
l’aide d’instruments »
Prendre appui sur des
figures dessinées,
parfois à main levée.
Elaboration, rédaction
d’une démonstration.
Expérimenter,
conjecturer, justifier.
Initier les élèves à la
démonstration.
36
Entretenir la pratique
des constructions
géométriques et des
raisonnements sous –
jacents qu’elles
mobilisent..
La géométrie au collège:
difficile transition de la géométrie I à la
géométrie II
Les élèves arrivant au collège naviguent dans leur
espace de travail attaché à la géométrie I
•L’espace de travail attendu par les enseignants de
collège est celui de la géométrie II
• Malentendus, puis rupture en 4ème.
•A qui est confiée la phase de transition ?
•
37
LA GEOMETRIE A L'ECOLE PRIMAIRE :
une forme inachevée de la géométrie I
 Le professeur doit comprendre la difficulté et
accompagner l'élève dans son apprentissage.
 Les élèves et le maître travaillent tous deux dans
un espace de travail dépendant du même
paradigme géométrique : la Géométrie I.
 La figure aura un statut de validation, la
perception sera très présente et permettra
d'entamer un raisonnement.
38
Programmes
Ecole primaire
CYCLE 1
Dessiner un rond, un carré, un triangle
39
CYCLE 2
 Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière
d’orientation et de repérage.
 Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes.
 Ils utilisent des instruments et des techniques pour
reproduire ou tracer des figures planes.
 Ils utilisent un vocabulaire spécifique.
40
 Reconnaître un triangle;
 Décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un
triangle rectangle;
 Utilisation de la règle, de l’équerre, du gabarit d’angle droit;
 Percevoir et reconnaître: alignement, angle droit, axe de
symétrie, égalité de longueurs
 Mesurer des segments, des distances.
 Utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer
des longueurs
41
 Exemples (évaluation CE2 2006):
- construire un rectangle Exercices\CE2 2006 rectangle.pdf
- reconnaître un alignement Exercices\CE2 2006
alignement.pdf
- Reconnaître un angle droit Exercices\CE2 2006 angle
droit.pdf
- Tracer un segment Exercices\CE2 2006 segment.pdf
42
CYCLE 3
L’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du
CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer
progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets
à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et
de mesure.
43
 Les relations et propriétés géométriques :




44
alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de
longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment.
L’utilisation d’instruments et de techniques : règle,
équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé,
pliage.
Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le
parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le
cercle .
Description, reproduction, construction.
Agrandissement et réduction de figures planes.
 Les longueurs, les masses, les volumes : mesure,
estimation, unités légales;
Périmètre d’un polygone;
Formule du périmètre du carré et du rectangle, de la
longueur du cercle.
 Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités
usuelles ;
Formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle.
 Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de
l’équerre ; angle droit, aigu, obtus.
45
Exemples (évaluations CM2 2009 et 2010):
 Exercices\Eval CM2 reconna perp - parall.pdf
 Exercices\Eval CM2 recon carré.pdf
 Exercices\Eval CM2 tracer - reproduire.pdf
46
COLLEGE
 Passer de l’identification perceptive (la reconnaissance par la




47
vue) de figures et de configurations à leur caractérisation par des
propriétés (passage du dessin à la figure) ;
Isoler dans une configuration les éléments à prendre en compte
pour répondre à une question ;
Découvrir quelques transformations géométriques simples :
symétries : symétries axiales et centrales ;
Se constituer un premier répertoire de théorèmes et apprendre à
les utiliser.
Connaître et utiliser les périmètres, aires des figures planes
étudiées.