Exercices résolus de mathématiques

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Exercices résolus de mathématiques.
GSP 8
EXGSP080 – EXGSP089
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Jacques Collot
Novembre 04

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EXGSP080 – Liège, juillet 2004.
On considère un cercle C de centre O et de rayon R. On considère un diamètre
AB et une corde CD perpendiculaire à AB, qui intercepte [ A, O ] en X. Soit M
un point de C tel que CM intersecte [ A, B ] en Y. On note A’ la projection
orthogonale de A sur CM, B’ la projection orthogonale de B sur CM et  l’angle
DCM
.
a) Exprimer
''AB
en fonction de R et 
b) Démontrer que
''A B MD
A
D
CX
O
YB’
M
B
A’
A
D
CX
O
Y
B’ M
B
A’
H

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' car angles à côtés perpendiculaires
a) On a ' ' car angles alternes-internes ( ' // ')
Dans le triangle ' : ' sin 1
Dans le triangle ' : ' sin
On additio
A AY
A AY B BY AA BB
A AY A Y AY
B BY B Y YB
nne 1 et 2 ' ' 2 sin
b) 2 angle au centre
2
2
Soit milieu de , hauteur du triangle
cos sin 2 sin ' '
2
A B R
DOM
OD OM R ODM OMD ODM OMD
ODM OMD
H M D OH OMD
DH R R DM R A B
Publié le 12 novembre 2004

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EXGSP081 – Liège, juillet 2004.
Soit ABC tel que l’angle A soit obtus. On note E la projection orthogonale de B
sur AC et F la projection orthogonale de C sur AB ?
Démontrer que
2
BC AB BF AC CE
A
BC
EF
Publié le 1é novembre 2004.

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EXGSP082 – Bruxelles, septembre 2004.
On donne un cercle et un point fixe A, fixes. Déterminez le lieu géométrique du
point milieu M du segment AB si B est un point quelconque du cercle
Quelque soit le point , on a
Par conséquent, le point est le point homothétique du point , selon le
1
rapport , et de centre d'homothétie .
2
Or l'homothétie d'un cercle est un cercle. Donc
AM
B cste
AB
MB
A
le lieu de est le cercle
de rayon et dont le centre ' est situé au milieu de .
2
Il existe trois cas selon que est situé en dehors, sur ou dans le cercle donné.
M
RO AO
A
OA
B
B’
B’’
M
M’
M’’
O’
Fig 1
Issu le 30 décembre 2004
M
M’
O
M’’
A
B
B’
B’’
Fig 2
M
M’
O
M’’
A
B
B’
B’’
Fig 3