Masse de Jupiter

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Masse de Jupiter
Exercice :
Cet exercice a pour but de déterminer la masse de Jupiter en étudiant le mouvement de certains de ses
satellites que son Europe, Ganymède et Callisto. On donne G = 6,67×10-11 N.m2.kg-2.
1) Le mouvement des satellites de Jupiter sera étudié dans le repère Jovien, repère considéré comme
galiléen. On supposera que les satellites de Jupiter ont une trajectoire circulaire.
a) Déterminer la nature du mouvement d’un satellite de Jupiter ainsi que sa vitesse v en fonction
du rayon de l’orbite r, de la masse MJ de Jupiter et de la constante de gravitation universelle G.
b) En déduire la période T du satellite et montrer que la quantité T2/r3 est constante pour tous les
satellites de Jupiter.
2) On a répertorié dans un tableau les périodes T et les rayons r de trois satellites de Jupiter :
Europe Ganymède Callisto
Période T (en h) 85,2 172 400
Rayon r (en km) 6,7×105 1,1×106 1,9×106
a) Représenter, à l’aide de la Casio FX-CG20, le graphe donnant les variations de T2 en fonction
de r3. Tracer la droite y = 3,02.10-16x.
b) A l’aide du graphique, en déduire la masse de Jupiter.

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Solution :
1) a) Nature du mouvement et expression de la vitesse :
Le mouvement des satellites de Jupiter est dû à la force d’attraction universelle de Jupiter. Cette force est
dirigée vers le centre de Jupiter et est normale à la trajectoire du satellite.
On sait que dans le repère de Frenet on a 2
v
dv
atn
dt r
=+
r
rr
où t
r
est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et
dans la même direction que le vecteur vitesse puis n
r
est le vecteur unitaire normal dirigée vers le centre de
Jupiter. D’après la deuxième loi de Newton, dans un repère supposé galiléen, i
iFext ma=
∑
r
où m est la
masse du satellite.
De plus la force gravitationnelle est donnée par J
2
G.M .m
Fn
r
=
r
r où MJ est la masse de Jupiter et r le rayon d’un
de ces satellites tournant autour de celle-ci puis G est la constante de gravitation universelle. On déduit
alors par projection suivant les vecteurs unitaires :
2J
2
dv
m0
dt G.M .m
v
mrr
⎧=
⎪
⎪
⎨
⎪=
⎪
⎩
⇔ 2J
dv 0
dt G.M
vr
⎧=
⎪
⎪
⎨
⎪=
⎪
⎩
Puisque dv 0
dt = ceci montre que la vitesse v est constante quel que soit t. En conséquence le mouvement est
circulaire uniforme.
A partir de la deuxième équation on déduit alors que J
G.M
vr =.
b) Expression de la période T et étude de la quantité T2/r3 :
Un satellite de Jupiter va décrire une courbe circulaire, donc la distance parcourue correspond au périmètre
d’un cercle pendant une période T.
Puisque distance parcourue
vpériode = alors 2r
vT
π
= ⇔ 2r
Tv
π
=.
Comme J
G.M
vr = alors
J
2r
TG.M
r
π
= c’est-à-dire que
J
2rr
TG.M
π
=.
A partir de l’expression de T, on peut alors aisément étudier la quantité T2/r3.
Etant donné que
J
2rr
TG.M
π
=alors 23
2
J
4r
TG.M
π
= ⇔ 22
3J
T4
rG.M
π
=.