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Devoir de Sciences-Physiques
Il sera tenu compte du soin apporté à la présentation et à la rédaction.
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Ephémérides
Les deux parties sont INDEPENDANTES.
Autour de la planète Jupiter gravitent des satellites naturels. Les quatre plus gros sont Io, Europe, Ganymède et Callisto.
Dans un référentiel centré sur Jupiter supposé galiléen, on considère que le centre de chacun des satellites est animé d'un mouvement
circulaire uniforme autour du centre J de Jupiter. Sur la figure 1 (ci-dessous), on a représenté uniquement la trajectoire du centre
d’inertie E d'Europe. Les trajectoires des autres satellites appartiennent sensiblement à ce même plan qui contient aussi le centre T
de la Terre.
Une revue d'astronomie a publié les courbes donnant les variations, en fonction du temps, de l'ordonnée y de chacun des quatre
satellites dans le repère orthonormé
(J,i,j)
rr
lié au référentiel choisi.
Les courbes ou éphémérides obtenues entre le 21 avril 1997 à 00 h 00 et le 2 mai 1997 sont données en annexe 1 à rendre avec la
copie.
I. Exploitation des courbes publiées par la revue
1. Sur la figure 1 ci-dessus, on a noté K, L, M et N les positions particulières d'Europe quand sa trajectoire coupe les axes
Jx et Jy. Sur le document 1 fourni en annexe 1 à rendre avec la copie, on a placé un point K’ qui correspond à un
passage du satellite Europe au point K de sa trajectoire. Placer sur le document 1, les points L’, M’ et N’ qui
correspondent respectivement aux passages successifs du satellite Europe par les points L, M et N.
2. Sur cette courbe yE = f(t), quel couple de points permet de déterminer la demi-période de révolution du satellite Europe.
Donner sa période de révolution en jours.
3. De même, quel couple de points permet de déterminer le diamètre de la trajectoire du satellite Europe.
Donner ce diamètre en km.
4. Identifier le satellite le plus proche de Jupiter puis le satellite ayant la plus grande période de révolution.
II. Détermination de la masse de Jupiter
On considère que chaque satellite de masse m n’est soumis qu’à la seule force gravitationnelle de la part de Jupiter de
masse M et que les astres ont une répartition de masse à symétrie sphérique. Ces satellites ont une trajectoire circulaire.
On note r le rayon de la trajectoire circulaire décrite par les satellites autour de Jupiter.
r représente la distance entre le centre de Jupiter et le centre du satellite étudié.
1. Donner l’expression vectorielle de la force de gravitation
J/S
F
r
exercée par Jupiter sur un satellite.
Représenter cette force sur un schéma.
2. On suppose que l'orbite du satellite est circulaire uniforme.
Montrer que l’expression de sa vitesse est :
GM
v=
r
.
3. Choisir parmi les quatre propositions ci-dessous celle qui correspond au satellite le plus rapide. Justifier.
a. le plus proche de Jupiter
b. le plus loin de Jupiter
c. le plus léger
d. le plus lourd
4. À partir de l'expression de la vitesse, établir l’expression de la période de révolution T d’un satellite autour de Jupiter en
fonction de r et des grandeurs de l’exercice.
5. Etablir la troisième loi de Kepler :
22
3
T4
=
GM
r
π
.
J
L
N
MKT
E
x
sens de rotation
y
figure 1
E '
Pendant la durée de l’observation,
la Terre sera considérée comme
immobile par rapport au référentiel
choisi. On prend l’axe
(J,i)
r
passant par le centre T de la Terre.
La distance TJ est très grande
devant le rayon des trajectoires des
satellites. La figure n'est pas à
l'échelle.
Ordonnée
: y
E
=
'
JE
i
r
j
r

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6. L’étude des mouvements des satellites de Jupiter, réalisée dans la partie 1, permet de déterminer la période et le rayon
de l’orbite de chaque satellite. Sur le graphe ci-dessous, on a représenté pour chaque satellite, les valeurs des
couples (r3, T2).
a. En observant ce graphe, pourquoi peut-on dire que la troisième loi de Kepler est vérifiée ?
b. L’équation de la meilleure droite passant par les points obtenus est :
T 2 = 3 × 10 -16 r 3
En déduire l’ordre de grandeur de la masse de Jupiter.
On prend π2 = 10 et G = 1×10 -10 unité SI.
T ² en s²
r
3
en m
3
0
0
T
2
= 3.10
-16
.r
3
10
-27
5.10
11
t en jours
1 2 3 4 5 6 7 8 910 11
-15
-10
-5
0
5
10
15
y en 105km yCCallisto
yGGanymède
yEEurope
yIIo
0
La date t0=0 correspond au 21 avril 1997 à 00 h 00.
document 1
K’
ANNEXE 1
à coller sur la copie