Des maths avec un peu de physique (Seconde partie)

Des maths avec un peu de physique
(Seconde partie)
Michel Warisse, retraité de l’enseignement
[email protected]
Un rappel de la situation-problème
Un objet est xé à une extrémité d’une roue qui
tourne à une vitesse constante.
À une position donnée, l’objet se détache de la roue
et va s’écraser sur le sol.
Abordons maintenant quelques questions,
en lien avec de fausses conceptions qui
intriguent.
Dernière nouvelle : au moment où la grand-mère s’est dite
convaincue, elle a rendu l’âme!
Bon! Reprenons les choses sérieuses (bien que la grand-
mère …).
Un objet lancé en l’air retombe. Met-il plus de temps
à monter qu’à descendre?
Qu’est-ce qui fait que l’objet lancé en l’air ralentit?
C’est la terre qui attire l’objet en ralentissant sa vitesse à
raison de 9,8 m/s par seconde. C’est le même phénomène
pour la montée que pour la descente, car c’est la force
d’attraction de la terre qui ralentit dans la montée et qui
accélère dans la descente.
Deux objets dont l’un est plus lourd que l’autre
tombent à la même vitesse.
Il suft de penser que pendant la chute, si les deux objets
se réunissent, alors la vitesse de chute ne changera pas.
Un objet est lancé horizontalement et tombe au sol.
Du même endroit et au même moment, on laisse
tomber un objet semblable. Lequel arrive le premier
au sol?
Dans un train, un TGV roulant à 330 km/h, un voyageur
laisse tomber une bille métallique. Le voyageur voit la
bille tomber verticalement. Une vache qui se trouve dans
un champ voit la même bille tomber avec une trajectoire
en forme de demi-parabole. La conclusion est que la bille
prend le même temps pour tomber dans les deux types
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de trajectoire. Une autre conclusion est que la vache a de
bons yeux!
Revenons à notre objet qui quitte la pale de l’éolienne. On
sait que la masse de l’objet n’a pas d’importance, que la
résistance de l’air est négligeable et que vous avez trouvé
(si, si!) que la vitesse de l’objet lorsqu’il se détache est de
72� × 0,25 = 56,55 m/s et que sa vitesse verticale est de
48,97 m/s à cause d’un sin(60°).
Examinons le mouvement de l’objet dans sa montée. Sa
vitesse diminue de 9,8 m/s par seconde. Cela prendra
donc 48,97 ÷ 9,8 secondes pour atteindre la vitesse
nulle, l’objet sera donc au sommet de sa trajectoire,
soit après 5 s.
Mais on sait que pour un objet lancé en l’air, cela prend
le même temps pour monter que pour redescendre! Or,
lorsqu’un objet redescend, la distance parcourue est
donnée par la formule
dt =9 8
2
2
,
. N’oubliez pas que
lorsqu’il commence à redescendre, sa vitesse est nulle. De
son point de départ, l’objet est monté de 122,5 m pour
atteindre le sommet de sa trajectoire. Le calcul est le
suivant :
9 8 5
2122 5
2
,, ×=
m.
Si l’on examine juste le mouvement vertical de l’objet D,
cela se passe comme ceci :
L’objet monte à la verticale pendant 5 s et il redescend
pendant 5 s sur une distance de 122,5 m pour atteindre le
même niveau qu’à son point de départ.

La table de valeurs
ci-contre nous donne
la distance qui sépare
verticalement l’objet du
point D.
À 3 secondes, l’objet qui monte se trouve à 102,9 m
au-dessus du point D,
À 7 secondes, l’objet qui descend se trouve à 102,9 m
au-dessus du point D,
Il reste maintenant à examiner le déplacement horizontal
qui se fait de façon régulière car la vitesse est constante.
Au moment où l’objet se détache, il a une vitesse
horizontale qui provoque un mouvement, donc un
déplacement parallèle au sol. Comme cette vitesse est
constante, car on ne tient pas compte de la résistance
de l’air, alors la distance parcourue horizontalement par
l’objet est égale à la vitesse multipliée par le temps.
Comment calcule-t-on la vitesse horizontale?
Eh bien, comme on a calculé la vitesse verticale. C’est
le même principe, cette fois avec l’emploi de cos(60°).
Revoyez la gure de décomposition de la vitesse de
départ.
Moi, j’ai trouvé 28,27 m/s.
On sait que l’objet a mis 5 s pour atteindre le sommet de
la trajectoire, donc l’objet se trouvera horizontalement à
141,37 m du point D (28,27 × 5 = 141,35 m).
Les deux tables de
valeurs, l’une du
mouvement horizontal
et l’autre du mouvement
vertical, sont construites
à partir des mêmes
valeurs de la variable
indépendante qui est le
temps en secondes.
On lit dans les tables qu’à 0 seconde, l’objet se trouve à
0 m horizontalement et à 0 m verticalement du point D.
Et aussi qu’à 5 secondes, l’objet se trouve à 141,35 m
horizontalement et à 122,5 m verticalement du point D.
Mais, dans un plan, connaître à quelle distance horizontale
et verticale se trouve un objet, c’est connaître sa position.
Et que forme l’ensemble des positions d’un objet?
Bien sûr, la trajectoire.
La table de valeurs
ci-contre nous donne
la distance horizontale
qui sépare l’objet du
point D.
GRMS
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On a donc une nouvelle
table de valeurs des
positions horizontales et
verticales de l’objet.
Temps (s) Distance
verticale (m)
10,000 0,000
9,000 44,100
8,000 78,400
7,000 102,900
6,000 117,600
5,000 122,500
4,000 117,600
3,000 102,900
2,000 78,400
1,000 44,100
0,000 0,000
Temps (s) Distance
horizontale (m)
10,000 282,700
9,000 254,430
8,000 226,160
7,000 197,890
6,000 169,620
5,000 141,350
4,000 113,080
3,000 84,810
2,000 56,540
1,000 28,270
0,000 0,000
Temps (s)
Distance
horizontale
(m)
Distance
verticale (m)
10,000 282,700 0,000
9,000 254,430 44,100
8,000 226,160 78,400
7,000 197,890 102,900
6,000 169,620 117,600
5,000 141,350 122,500
4,000 113,080 117,600
3,000 84,810 102,900
2,000 56,540 78,400
1,000 28,270 44,100
0,000 0,000 0,000
Distance
horizontale
(m)
Distance
verticale (m)
282,700 0,000
254,430 44,100
226,160 78,400
197,890 102,900
169,620 117,600
141,350 122,500
113,080 117,600
84,810 102,900
56,540 78,400
28,270 44,100
0,000 0,000

À partir de cette table de valeurs et en construisant une
courbe de tendance, on peut voir que la trajectoire est bien
une portion de parabole. De plus, à partir du tableau des
différences ou des écarts entre des valeurs consécutives, on
se convainc qu’il s’agit bien d’un phénomène fonctionnel
du second degré.
Le tableau des différences ou des écarts permet de
déterminer le degré du polynôme qui sera la règle de
la table de valeurs. Le numéro de la colonne des écarts
constants correspond au degré du polynôme. Ici, la règle
est un polynôme du second degré.
À présent, mettons en place les éléments
repérés dans un plan cartésien.
Le choix des axes est naturel. Le sol pour l’axe des
abscisses, le centre de l’éolienne sera situé sur l’axe
des ordonnées. Les ordonnées représenteront l’altitude
en mètres de l’objet et les abscisses représenteront
l’éloignement en mètre de l’objet du pied de l’éolienne.
Cela donne cette représentation avec une petite idée de la
trajectoire de l’objet.
Avec les outils de la trigonométrie dans le triangle
rectangle, on peut trouver que le point D a pour abscisse
36 × cos(30°) et pour ordonnée 120 − 36sin(30°), soit
D(31,18 ; 102).
L’altitude est la distance mesurée verticalement entre
l’objet et le sol ou un niveau particulier.
Quelles sont les coordonnées du point D?
Donc l’objet qui est monté de 122,5 m à partir de 102 m
se retrouvera à l’altitude 224,5 m.
N’oublions pas l’observation de la vache qui regardait le
train. La trajectoire d’un objet qui tombe et qui se déplace
régulièrement à l’horizontal a la forme d’une parabole.
La règle de cette trajectoire est celle d’une fonction
polynomiale du second degré du type f(x) = A(x − H)2 + K,
c’est la forme canonique. Ici, la variable indépendante x
représente la position horizontale, en mètres, de l’objet
et la variable indépendante f(x) représente l’altitude, en
mètres, de l’objet. On sait que (H, K) sont les coordonnées
du sommet de la trajectoire qui est une parabole.
Tiens, mais alors nous avons la valeur du paramètre
K qui est de 224,5 m.
Comme on se souvient des coordonnées du point D, alors
on peut dire que l’on connaît maintenant la valeur du
GRMS ENVOL no 153 — octobre-novembre-décembre 2010 29
Dist. Horiz.
(m) Écart Dist. Verti. (m) Écart 1 Écart 2
0 0 -9,8
28,27 44,1
28,27 44,1 -9,8
28,27 34,3
56,54 78,4 -9,8
28,27 24,5
84,81 102,9 -9,8
28,27 14,7
113,08 117,6 -9,8
28,27 4,9
141,35 122,5 -9,8
28,27 -4,9
169,62 117,6 -9,8
28,27 -14,7
197,89 102,9 -9,8
28,27 -24,5
226,15 78,4 -9,8
28,27 -34,3
254,43 44,1 -9,8
28,27 -44,1
282,7 0-9,8

paramètre H qui est de 172,53 m. Il faut ajouter l’abscisse
du point D à 141,37 m, soit 31,18 + 141,37 = 172,53.
On connaît un élément important de la règle de la
trajectoire : le sommet.
Que nous reste-t-il à trouver dans la règle
f(x) = A(x − H)2 + K?
C’est la valeur du paramètre A. On peut même prévoir
que cette valeur sera négative, question d’orientation de
la parabole.
Comme la trajectoire passe par le point D qui est le point
de départ, alors les coordonnées du point D vérient la
règle de la trajectoire.
102 = A(31,18 − 172,53)2 + 224,5
Un petit calcul permet de calculer A soit
A = -0,006 131.
On trace le graphique pour conrmer nos calculs.
Il faut bien sûr limiter les intervalles de représentation à
partir du point de départ jusqu’au point d’arrivée.
Et pour conclure
Le résultat que nous avons trouvé semble très grand. Mais
il ne faut pas oublier que la vitesse avec laquelle se détache
l’objet est de 56,55 m/s ou encore plus de 200 km/h.
Ces données sont très réalistes. Elles permettent d’assurer
un périmètre de sécurité autour d’une éolienne. Il faut
savoir que les pales d’une éolienne sont fabriquées en
époxy dont la résistance est très grande et la probabilité
qu’un bout de son extrémité se détache est très faible.
Mais surveillez bien les éoliennes pour une autre raison :
elles ont de l’avenir!
Mais avant d’aller dormir, existe-t-il une position
particulière de la pale, donc un angle particulier avec
l’horizontale, qui enverrait l’objet encore plus loin? Les
curieux pourront rechercher avec le mot-clef « portée » et
pour les plus curieux avec « parabole de sûreté ».
À la prochaine!
Quelques références
TGV : http://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_de_la_grande_vitesse_
ferroviaire_en_France
Quelques liens à explorer
Une simulation d’un lancer de projectile.
• http://pages.innit.net/cbellema/Canon/demo5.htm
Une simulation plus complexe que la précédente, mais
vous pouvez vérier que les calculs sont bons.
• http://pagesperso-orange.fr/gilbert.gastebois/java/balistique/
balistique.htm
Quelques sites pour les curieux
• http://sciences-physiques.ac-dijon.fr/documents/mecanique/
Projectile/mvt_vide.htm
• http://sciences-physiques.ac-dijon.fr/documents/mecanique/
Projectile/mvt_vide.htm
• http://www2.fsg.ulaval.ca/opus/physique534/resumes/33d.shtml
La règle qui permet de décrire la trajectoire de l’objet est
donc f(x) = -0,000 613 1(x − 172,53)2 + 224,36
Une lecture graphique permet de voir que l’objet se
retrouve au sol à environ 365 m du pied de l’éolienne.
Tiens, c’est la valeur du zéro le plus à droite de la
fonction f.
On ne peut rien vous cacher! N’oubliez pas que le zéro
n’est pas un couple, mais une valeur de la variable
indépendante dont l’image est 0.
Tiens, un zéro ce n’est donc pas un point d’intersection
avec les « x »?
Cette valeur est
172 53 224 5
0006131
,,
,
+−
−
soit 364 m.
GRMS
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