math´ematiques - PCSI

Samedi 10 Septembre 2016
Dur´ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N◦1
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice est autoris´e
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´eci-
sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En
particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
Tournez la page S.V.P.

DEVOIR SURVEILL´ E N◦1
EXERCICE - LE COURS
Dans tout cet exercice Eet Fsont des K-e.v.
1. Soit f∈ L(E, F ), rappeler la d´efinition de Ker fet Im f.
2. Montrer que deux matrices semblables Aet Bont la mˆeme trace.
3. En dimension finie, comment peut se voir ´egalement un hyperplan ?
Et que dire d’un suppl´ementaire d’un hyperplan ? Pr´eciser une base de ce suppl´ementaire.
4. Soit pun projecteur de Eet sune sym´etrie de E.
Rappeler les d´ecompositions possibles de Ecomme somme de deux s.e.v. que l’on peut alors ´ecrire.
5. Soit f∈ L(E, F ), rappeler le th´eor`eme du rang en pr´ecisant les hypoth`eses sur Eet F.
6. VRAI OU FAUX ? Justifier soigneusement.
Deux matrices de mˆeme taille ayant mˆeme trace et mˆeme d´eterminant sont semblables.
7. Montrer que l’ensemble des matrices de Mn(R) de trace nulle est un hyperplan de Mn(R).
PSI 2016-2017 2 Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis

DEVOIR SURVEILL´ E N◦1
PROBL` EME «CCP-E3A »: IMAGES ET NOYAUX IT´ ER´ ES
D’apr`es INA 1994
Notations valables dans tout le probl`eme
•nd´esigne un entier sup´erieur ou ´egal `a 2 et Eest un espace vectoriel de dimension nsur R.
•fest un endomorphisme de E.
•On pose f0= IdE(application identique de E) et, pour tout entier k>1, on pose fk=f◦fk−1.
Partie A - Quelques r´esultats sur les noyaux et images it´er´es
Le but de cette partie est de d´emontrer que, pour tout endomorphisme fde E, il existe un entier pv´erifiant :
(1) 16p6n
E= Ker fp⊕Imfp
1. Dans cette question fest un endomorphisme bijectif de E. Que valent Ker fet Im f?
Donner alors une valeur de psatisfaisant (1).
2. Exemple 1 :
Dans cette question n= 3, Eest l’espace vectoriel R3rapport´e `a une base (e1, e2, e3) et fest l’endo-
morphisme repr´esent´e dans cette base par la matrice A=
4−1 5
−2−1−1
−4 1 −5
.
(a) D´eterminer une base de Ker fet une base de Imf. Peut-on choisir p= 1 ?
(b) D´eterminer une base de Ker f2et une base de Imf2. Justifier l’´egalit´e E= Ker f2⊕Imf2.
3. Exemple 2 :
Dans cette question n= 4, Eest l’espace vectoriel R4rapport´e `a une base (e1, e2, e3, e4), mest un para-
m`etre r´eel et fest l’endomorphisme repr´esent´e dans cette base par la matrice Am=
0−1 0 0
0m0 0
1 0 −m−1
0 1 0 0
.
(a) D´eterminer le rang de la matrice Am. On discutera si n´ecessaire selon les valeurs de m.
(b) D´eterminer une base de Ker fet une base de Imf. Peut-on choisir p= 1 ? On discutera selon les
valeurs de m.
(c) D´eterminer le plus petit entier pv´erifiant (1) .
4. ´ Etude du cas g´en´eral
Dans cette question, on suppose que l’endomorphisme fn’est pas bijectif.
(a) Soit kun entier naturel, justifier : Ker fk⊂Ker fk+1
Imfk⊃Imfk+1 .
(b) Soit kun entier naturel, on note akla dimension de Ker fk.
Pr´eciser a0et montrer que la suite (ak) est croissante.
(c) Justifier que la suite (ak) est n´ecessairement major´ee. Pr´eciser un majorant.
(d) Soit F={k∈N, ak=ak+1}, montrer que Fest un ensemble non vide
(e) Justifier que Fadmet un plus petit ´el´ement que l’on notera p, sup´erieur ou ´egal `a 1,
(f) Prouver que les deux conditions suivantes sont v´erifi´ees :
Pour tout entier kv´erifiant 0 6k6p−1, on a Ker fk6= Ker fk+1 et Ker fp= Ker fp+1.
(g) Montrer que pour tout entier ksup´erieur ou ´egal `a p, on a Ker fk= Ker fp.
(h) D´eduire de ce qui pr´ec`ede l’´egalit´e : E= Ker fp⊕Imfp.
Dans toute la suite du probl`eme, pd´esigne le plus petit entier v´erifiant (1) et on admet que c’est celui
qui a ´et´e obtenu `a la question 4 de la partie A.
PSI 2016-2017 3 Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis

DEVOIR SURVEILL´ E N◦1
Partie B - ´ Etude de deux cas particuliers
Dans cette partie on ´etudie deux cas particuliers.
5. Exemple 3 :
Dans cette question, n= 3, Eest l’espace vectoriel R3rapport´e `a sa base canonique (e1, e2, e3) et f
est l’endomorphisme repr´esent´e dans cette base par la matrice B=
1 0 −1
−1−2 3
0−1 1
.
(a) Montrer que Bn’est pas inversible.
(b) D´eterminer une base (ε1, ε2, ε3) de Etelle que : 
f(ε1)=0
f(ε2) = ε1
f(ε3) = ε2
.
(c) Sans aucun calcul, ´ecrire la matrice de fdans cette base.
(d) D´eterminer Ker f, Ker f2, Imfet Imf2dans la base (ε1, ε2, ε3) et v´erifier qu’ici p= 3.
6. Dans cette question, Eest de dimension net fun endomorphisme de E. On suppose ici p=n.
(a) Prouver que, pour tout entier kcompris entre 0 et n, dim Ker fk=k.
En d´eduire que fnest l’endomorphisme nul et que fn−1n’est pas l’endomorphisme nul.
On dit alors que fest un endomorphisme nilpotent d’ordre n.
(b) Montrer qu’il existe x0∈Etel que la famille (x0, f(x0), f 2(x0), . . . , fn−1(x0)) soit libre.
(c) Montrer que (x0, f (x0), f2(x0), . . . , fn−1(x0)) est une base de Eet ´ecrire la matrice de fdans
cette base.
(d) En d´eduire le rang de f. Pouvait-on trouver ce r´esultat avant le 6.(c) ?
Partie C - R´esolution d’une ´equation fonctionnelle
Le but de cette partie est la d´etermination de plorsque fv´erifie une certaine ´equation polynˆomiale.
ad´esigne un r´eel non nul et fest un endomorphisme de Equi v´erifie :
(2) 
f6=aIdE
fn−16= 0
fn−1◦(f−aIdE)=0
∀k∈N,(0 6k6n−2) ⇒fk−1◦(f−aIdE)6= 0
7. Question r´eserv´ee aux 5/2 :
Montrer que 0 et asont des valeurs propres de fet que ce sont les seules.
8. (a) Montrer que pour tout entier naturel k, on a Ker fk∩Ker(f−aIdE) = {0E}.
(b) En d´eduire que Ker fn−1et Ker(f−aIdE) sont suppl´ementaires dans E.
(on pourra consid´erer leurs dimensions et utiliser l’´egalit´e fn−1◦(f−aIdE) = 0).
9. On se propose ici de d´emontrer l’´egalit´e p=n−1.
(a) Supposant v´erifi´ee l’hypoth`ese p<n−1, justifier qu’alors Ker fpet Ker(f−aIdE) sont suppl´e-
mentaires dans E. En d´eduire une contradiction avec (2).
(b) Montrer que pne peut ˆetre ´egal `a net conclure.
PSI 2016-2017 4 Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis

DEVOIR SURVEILL´ E N◦1
PROBL` EME «Mines-Centrale »: MATRICES MAGIQUES
Inspir´e de Centrale TSI 2015, Centrale PSI 1997 et X 1968
Objectif
Le but du probl`eme est d’´etudier certaines propri´et´es des matrices magiques.
N.B. : La partie A, consacr´ee enti`erement `a l’informatique, est enti`erement ind´ependante des autres.
Notations
•Dans tout le probl`eme, Mn(R) d´esigne le R-espace vectoriel des matrices carr´ees `a nlignes et ncolonnes,
n´etant un entier sup´erieur ou ´egal `a 2.
•Si Aappartient `a Mn(R), on note ai,j pour (i, j)∈[[1, n]]2, l’´el´ement de la i`eme ligne et de la j-i`eme
colonne de A.
•Ind´esigne la matrice unit´e de Mn(R) et Jnd´esigne la matrice de Mn(R) dont tous les ´el´ements sont
´egaux `a 1.
•On consid`ere le sous-ensemble Ede Mn(R) form´e des matrices Atelles que les 2nnombres r´eels :
n
X
k=1
ai,k et
n
X
h=1
ah,j pour i∈[[1, n]] et j∈[[1, n]]
soient tous ´egaux, et on note alors d(A) leur valeur commune.
(Eest l’ensemble des matrices pseudo-magiques).
On consid`ere aussi le sous-ensemble Fet Edes matrices Av´erifiant en plus :
n
X
i=1
ai,i =
n
X
i=1
ai,n+1−i=d(A)
- (Fest l’ensemble des matrices magiques).
Partie A - Exemples de matrices magiques d’ordre impair
On propose ici un algorithme permettant d’obtenir une matrice magique d’ordre nimpair, et dont les
coefficients sont les entiers 1,2,3, ..., n2.
On place l’entier 1 au milieu de la premi`ere ligne. On suppose par r´ecurrence que les kpremiers entiers ont
´et´e plac´es (pour 1 6k6n2−1) , et que l’entier ka ´et´e plac´e en i-`eme ligne et j-`eme colonne. On place
alors l’entier k+ 1 en respectant les r`egles suivantes :
— on pose I=i−1 (sauf si i= 1, auquel cas on pose I=n) et J=j+ 1 (sauf si j=n, auquel cas on
pose J= 1) ;
— si aucun nombre n’a encore ´et´e plac´e `a la I-`eme ligne et J-i`eme colonne, on y place k+ 1 ;
— si l’emplacement pr´ec´edent est d´ej`a occup´e, on pose I=i+ 1 (sauf si i=nauquel cas on pose I= 1)
et J=j, et on place k+ 1 en I-`eme ligne et J-i`eme colonne.
1. Pour n= 3 puis pour n= 5, construire une matrice magique en utilisant l’algorithme pr´ec´edent.
2. La constante impaire n´etant suppos´ee pr´e-d´efinie, compl´eter les cadres dans le programme Python
donn´e en fin de sujet qui construit, en suivant l’algorithme pr´ec´edent, une matrice magique d’ordre n.
PSI 2016-2017 5 Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis