math´ematiques - PCSI

Samedi 10 Septembre 2016
Durée : 4 heures
MATHÉMATIQUES
DEVOIR SURVEILLÉ N◦ 1
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.
L’usage de calculatrice est autorisé
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En
particulier, les résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte.
Tournez la page S.V.P.
DEVOIR SURVEILLÉ N◦ 1
EXERCICE - LE COURS
Dans tout cet exercice E et F sont des K-e.v.
1. Soit f ∈ L(E, F ), rappeler la définition de Ker f et Im f .
2. Montrer que deux matrices semblables A et B ont la même trace.
3. En dimension finie, comment peut se voir également un hyperplan ?
Et que dire d’un supplémentaire d’un hyperplan ? Préciser une base de ce supplémentaire.
4. Soit p un projecteur de E et s une symétrie de E.
Rappeler les décompositions possibles de E comme somme de deux s.e.v. que l’on peut alors écrire.
5. Soit f ∈ L(E, F ), rappeler le théorème du rang en précisant les hypothèses sur E et F .
6. VRAI OU FAUX ? Justifier soigneusement.
Deux matrices de même taille ayant même trace et même déterminant sont semblables.
7. Montrer que l’ensemble des matrices de Mn (R) de trace nulle est un hyperplan de Mn (R).
PSI 2016-2017
2
Lycée de L’essouriau - Les Ulis
DEVOIR SURVEILLÉ N◦ 1
PROBLÈME « CCP-E3A » : IMAGES ET NOYAUX ITÉRÉS
D’après INA 1994
Notations valables dans tout le problème
• n désigne un entier supérieur ou égal à 2 et E est un espace vectoriel de dimension n sur R.
• f est un endomorphisme de E.
• On pose f 0 = IdE (application identique de E) et, pour tout entier k > 1, on pose f k = f ◦ f k−1 .
Partie A - Quelques résultats sur les noyaux et images itérés
Le but de cette partie est de démontrer que, pour tout endomorphisme f de E, il existe un entier p vérifiant :
16p6n
(1)
E = Ker f p ⊕ Imf p
1. Dans cette question f est un endomorphisme bijectif de E. Que valent Ker f et Im f ?
Donner alors une valeur de p satisfaisant (1).
2. Exemple 1 :
Dans cette question n = 3, E est l’espace vectoriel R3 rapporté
à

4
morphisme représenté dans cette base par la matrice A =  −2
−4
une base 
(e1 , e2 , e3 ) et f est l’endo−1 5
−1 −1 .
1 −5
(a) Déterminer une base de Ker f et une base de Imf . Peut-on choisir p = 1 ?
(b) Déterminer une base de Ker f 2 et une base de Imf 2 . Justifier l’égalité E = Ker f 2 ⊕ Imf 2 .
3. Exemple 2 :
Dans cette question n = 4, E est l’espace vectoriel R4 rapporté à une base (e1 , e2 , e3
, e4 ), m est un para0 −1 0
0
 0 m
0
0
mètre réel et f est l’endomorphisme représenté dans cette base par la matrice Am = 
 1 0 −m −1
0 1
0
0
(a) Déterminer le rang de la matrice Am . On discutera si nécessaire selon les valeurs de m.
(b) Déterminer une base de Ker f et une base de Imf . Peut-on choisir p = 1 ? On discutera selon les
valeurs de m.
(c) Déterminer le plus petit entier p vérifiant (1) .
4. Étude du cas général
Dans cette question, on suppose que l’endomorphisme f n’est pas bijectif.
Ker f k ⊂ Ker f k+1
(a) Soit k un entier naturel, justifier :
.
Imf k ⊃ Imf k+1
(b) Soit k un entier naturel, on note ak la dimension de Ker f k .
Préciser a0 et montrer que la suite (ak ) est croissante.
(c) Justifier que la suite (ak ) est nécessairement majorée. Préciser un majorant.
(d) Soit F = {k ∈ N, ak = ak+1 }, montrer que F est un ensemble non vide
(e) Justifier que F admet un plus petit élément que l’on notera p, supérieur ou égal à 1,
(f) Prouver que les deux conditions suivantes sont vérifiées :
Pour tout entier k vérifiant 0 6 k 6 p − 1, on a Ker f k 6= Ker f k+1 et Ker f p = Ker f p+1 .
(g) Montrer que pour tout entier k supérieur ou égal à p, on a Ker f k = Ker f p .
(h) Déduire de ce qui précède l’égalité : E = Ker f p ⊕ Imf p .
Dans toute la suite du problème, p désigne le plus petit entier vérifiant (1) et on admet que c’est celui
qui a été obtenu à la question 4 de la partie A.
PSI 2016-2017
3
Lycée de L’essouriau - Les Ulis


.

DEVOIR SURVEILLÉ N◦ 1
Partie B - Étude de deux cas particuliers
Dans cette partie on étudie deux cas particuliers.
5. Exemple 3 :
Dans cette question, n = 3, E est l’espace vectoriel R3 rapporté à sa
 base
1

−1
est l’endomorphisme représenté dans cette base par la matrice B =
0
canonique(e1 , e2 , e3 ) et f
0 −1
−2 3 .
−1 1
(a) Montrer que B n’est pas inversible.

 f (ε1 ) = 0
f (ε2 ) = ε1 .
(b) Déterminer une base (ε1 , ε2 , ε3 ) de E telle que :

f (ε3 ) = ε2
(c) Sans aucun calcul, écrire la matrice de f dans cette base.
(d) Déterminer Ker f , Ker f 2 , Imf et Imf 2 dans la base (ε1 , ε2 , ε3 ) et vérifier qu’ici p = 3.
6. Dans cette question, E est de dimension n et f un endomorphisme de E. On suppose ici p = n.
(a) Prouver que, pour tout entier k compris entre 0 et n, dim Ker f k = k.
En déduire que f n est l’endomorphisme nul et que f n−1 n’est pas l’endomorphisme nul.
On dit alors que f est un endomorphisme nilpotent d’ordre n.
(b) Montrer qu’il existe x0 ∈ E tel que la famille (x0 , f (x0 ), f 2 (x0 ), . . . , f n−1 (x0 )) soit libre.
(c) Montrer que (x0 , f (x0 ), f 2 (x0 ), . . . , f n−1 (x0 )) est une base de E et écrire la matrice de f dans
cette base.
(d) En déduire le rang de f . Pouvait-on trouver ce résultat avant le 6.(c) ?
Partie C - Résolution d’une équation fonctionnelle
Le but de cette partie est la détermination de p lorsque f vérifie une certaine équation polynômiale.
a désigne un réel non nul et f est un endomorphisme de E qui vérifie :

f 6= a IdE


 n−1
f
6= 0
(2)
n−1
f
◦ (f − a IdE ) = 0



∀k ∈ N, (0 6 k 6 n − 2) ⇒ f k−1 ◦ (f − a IdE ) 6= 0
7. Question réservée aux 5/2 :
Montrer que 0 et a sont des valeurs propres de f et que ce sont les seules.
8. (a) Montrer que pour tout entier naturel k, on a Ker f k ∩ Ker(f − a IdE ) = {0E }.
(b) En déduire que Ker f n−1 et Ker(f − a IdE ) sont supplémentaires dans E.
(on pourra considérer leurs dimensions et utiliser l’égalité f n−1 ◦ (f − a IdE ) = 0).
9. On se propose ici de démontrer l’égalité p = n − 1.
(a) Supposant vérifiée l’hypothèse p < n − 1, justifier qu’alors Ker f p et Ker(f − a IdE ) sont supplémentaires dans E. En déduire une contradiction avec (2).
(b) Montrer que p ne peut être égal à n et conclure.
PSI 2016-2017
4
Lycée de L’essouriau - Les Ulis
DEVOIR SURVEILLÉ N◦ 1
PROBLÈME « Mines-Centrale » : MATRICES MAGIQUES
Inspiré de Centrale TSI 2015, Centrale PSI 1997 et X 1968
Objectif
Le but du problème est d’étudier certaines propriétés des matrices magiques.
N.B. : La partie A, consacrée entièrement à l’informatique, est entièrement indépendante des autres.
Notations
• Dans tout le problème, Mn (R) désigne le R-espace vectoriel des matrices carrées à n lignes et n colonnes,
n étant un entier supérieur ou égal à 2.
• Si A appartient à Mn (R), on note ai,j pour (i, j) ∈ [[1, n]]2 , l’élément de la ième ligne et de la j-ième
colonne de A.
• In désigne la matrice unité de Mn (R) et Jn désigne la matrice de Mn (R) dont tous les éléments sont
égaux à 1.
• On considère le sous-ensemble E de Mn (R) formé des matrices A telles que les 2n nombres réels :
n
X
k=1
ai,k et
n
X
ah,j pour i ∈ [[1, n]] et j ∈ [[1, n]]
h=1
soient tous égaux, et on note alors d(A) leur valeur commune.
(E est l’ensemble des matrices pseudo-magiques).
On considère aussi le sous-ensemble F et E des matrices A vérifiant en plus :
n
X
ai,i =
i=1
n
X
ai,n+1−i = d(A)
i=1
- (F est l’ensemble des matrices magiques).
Partie A - Exemples de matrices magiques d’ordre impair
On propose ici un algorithme permettant d’obtenir une matrice magique d’ordre n impair, et dont les
coefficients sont les entiers 1, 2, 3, ..., n2 .
On place l’entier 1 au milieu de la première ligne. On suppose par récurrence que les k premiers entiers ont
été placés (pour 1 6 k 6 n2 − 1) , et que l’entier k a été placé en i-ème ligne et j-ème colonne. On place
alors l’entier k + 1 en respectant les règles suivantes :
— on pose I = i − 1 (sauf si i = 1, auquel cas on pose I = n) et J = j + 1 (sauf si j = n, auquel cas on
pose J = 1) ;
— si aucun nombre n’a encore été placé à la I-ème ligne et J-ième colonne, on y place k + 1 ;
— si l’emplacement précédent est déjà occupé, on pose I = i + 1 (sauf si i = n auquel cas on pose I = 1)
et J = j, et on place k + 1 en I-ème ligne et J-ième colonne.
1. Pour n = 3 puis pour n = 5, construire une matrice magique en utilisant l’algorithme précédent.
2. La constante impaire n étant supposée pré-définie, compléter les cadres dans le programme Python
donné en fin de sujet qui construit, en suivant l’algorithme précédent, une matrice magique d’ordre n.
PSI 2016-2017
5
Lycée de L’essouriau - Les Ulis
DEVOIR SURVEILLÉ N◦ 1
Partie B - Étude de E
3. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de Mn (R), et que l’application d est une forme linéaire sur
E.
4. (a) Prouver que la matrice In appartient à E.
(b) Montrer qu’une matrice A de Mn (R) appartient à E si et seulement si il existe un réel λ tel que
AJn = Jn A = λJn .
Exprimer alors λ en fonction de d(A).
(c) En déduire que E est stable par multiplication matricielle et que d est un morphisme multiplicatif :
i.e. : A ∈ E et B ∈ E ⇒ AB ∈ E
ainsi que
∀(A, B) ∈ E 2 , d(AB) = d(A)d(B)
(d) Si A est une matrice inversible de E , montrer que d(A) est non nul, que A−1 appartient à E, et
comparer d(A) et d(A−1 ).
Réciproquement, si A appartient à E et que d(A) est non nul, la matrice A est-elle nécessairement
inversible ?
d(A)
(e) Soit A ∈ E. On pose C =
Jn et B = A − C.
n
Calculer les produits BC et CB.
Comparer, pour p ∈ N∗ , Ap et B p + C p .
5. (a) Soit G le sous-ensemble de E constitué par les matrices A telles que d(A) = 0, et H le sousensemble de E constitué des matrices de la forme λJn où λ décrit R.
Prouver que G et H sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.
(b) Pour r et s éléments de [[2, n]], on note Ar,s la matrice de Mn (R) dont tous les éléments sont nuls
sauf a1,1 , ar,s , a1,s , ar,1 qui sont tels que : a1,1 = ar,s = 1 et a1,s = ar,1 = −1.
Montrer que l’ensemble des matrices Ar,s pour (r, s) ∈ [[2, n]]2 est un système libre, puis qu’il
constitue une base de G.
En déduire la dimension de G puis une base et la dimension de E.
(c) Dans le cas n = 2, donner la forme générale des matrices de E.
Partie C - Étude de F dans le cas général
6. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.
7. (a) Soit E un espace vectoriel de dimension p (p > 2), et H et H 0 deux hyperplan distincts de E.
Déterminer la dimension de H ∩ H 0 .
(b) Soit `1 et `2 les applications définies sur E par :
`1 (A) = d(A) −
n
X
ai,i
et
i=1
`2 (A) = d(A) −
n
X
ai,n+1−i
i=1
Montrer que ce sont des formes linéaires sur E.
(c) Montrer que, si n > 2, ces deux formes linéaires sont indépendantes (i.e. : la famille (`1 , `2 ) est
libre).
(on pourra calculer les images par `1 et `2 de In et de An,n , où An,n est définie comme en B.5.b).
(d) Déduire des questions précédentes la dimension de F (distinguer les cas n = 2 et n > 2).
Dans le cas n = 2, donner la forme générale des matrices de F.
PSI 2016-2017
6
Lycée de L’essouriau - Les Ulis
DEVOIR SURVEILLÉ N◦ 1
Partie D - Étude de F dans le cas n = 3
Dans cette partie, on suppose n = 3. On appelle carré magique tout élément de F donc les coefficients
sont des entiers positifs.
8. E est rapporté à la base A2,2 , A2,3 , A3,2 , A3,3 , J3 trouvée à la question B.5.b.
(a) Déterminer dans cette base un système d’équations linéaires caractérisant F.
En déduire que les matrices {2A2,3 − A3,3 , 2A3,2 − A3,3 , J3 } forment une base de F.
(b) En déduire que F est l’ensemble des matrices de la forme :


b+c
a − b + c −a + c
 −a − b + c
c
a+b+c 
a+c
b − a + c −b + c
9.
10.
11.
12.
lorsque a, b, c décrivent R.
Pour les 5/2 uniquement :
(a) Si A est une matrice de F, montrer que d(A) en est une valeur propre. Quel en est un vecteur
propre associé ?
(b) Montrer que les deux autres valeurs propres de A (dans C) sont opposées.
c étant un entier naturel fixé, déterminer des conditions nécessaires et suffisantes portant sur a et b
pour qu’il existe une matrice A, définie par la formule du D.8.b), dont les coefficients soient aussi des
entiers naturels (on pourra interpréter graphiquement les conditions obtenues en précisant la région
du plan à laquelle appartient le point de coordonnées (a, b)).
d(A) étant un entier naturel donné, déterminer en fonction de d(A) le nombre de carrés magiques à
coefficients dans N, puis le nombre de carrés magiques à coefficients dans N∗ .
Déterminer tous les carrés magiques dont les coefficients appartiennent à l’ensemble {1, 2, . . . , 9}, et
où chacun de ces nombres ne figure qu’une seule fois.
PROGRAMME PYTHON A COMPLETER
PSI 2016-2017
7
Lycée de L’essouriau - Les Ulis