UE4-correction des exercices de geometrie plane et espace

Exercice 1 (Guadeloupe 2004-3)
Question 1
Le sujet ne précise pas les instruments utilisables, on suppose que seuls la règle et le compas sont
autorisés.
!
Question 2
Calcul de la longueur AC
Méthode 1 :
Le triangle ABC rectangle isocèle en B est un demi carré de côté a, coupé par sa diagonale [AC]. On
sait que la diagonale d’un carré de côté a vaut a 2. On en déduit que AC =
€
2a
Méthode 2 :
On utilise la propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B.
AB2 + BC2 = AC2
a2 + a2 = 2 a2 d’où AC =
€
2a
Pour construire un segment de longueur
€
18
cm il suffit de construire un triangle rectangle isocèle
de 3 cm de côté puisque si a = 3 alors
€
2a
=
€
18
et l’hypoténuse de ce triangle aura une longueur
de
€
18
cm.
!
On peut aussi construire un carré de côté 3 cm et la longueur de sa diagonale sera de
€
18
cm.
Question 3

Méthode 1 :
Le triangle AMC est rectangle en M car il est inscriptible dans le demi-cercle de diamètre [AC].
Dans ce triangle rectangle, on calcule MC par le théorème de Pythagore.
MC2 = AC2 - AM2 = 2a2 - a2 = a2
D’où MC = a.
Ainsi le quadrilatère ABCM a quatre côtés de même longueur a, c’est un losange. De plus l'angle ABC
est droit, donc ABCM est un carré.
Méthode 2 :
Le triangle AMC est rectangle en M car il est inscriptible dans le demi-cercle de diamètre [AC] et donc
inscriptible dans le cercle de diamètre [AC].
Le triangle ABC rectangle en B est aussi inscriptible dans le cercle de diamètre [AC].
On en déduit que les points A, B, C et M sont cocycliques.
Le diamètre [AC] est un axe de symétrie de ce cercle. Comme les points M et B sont sur le cercle et
que AM = AB alors les points M et B sont symétriques par rapport à l’axe (AC).
On en déduit que CM = CB = a car la symétrie conserve les distances.
Ainsi le quadrilatère ABCM a quatre côtés de même longueur a, c’est un losange. De plus l’angle ABC
est droit, donc ABCM est un carré.
Question 4 a
Si IM = MC le triangle IMC est équilatéral. En effet tout d’abord IMC est isocèle puisque IM = MC puis
IM = IC car tous deux sont des rayons du cercle.
Question 4b
Attention ! Pour améliorer sa lisibilité, la figure a été agrandie !
Question 5

Par construction, la droite (EF) est perpendiculaire à la droite (AB).
D'autre part, le triangle ABC est rectangle en B, donc la droite (BC) est aussi perpendiculaire à la
droite (AB).
Ainsi, les deux droites (EF) et (BC) sont perpendiculaires à une même droite (AB), elles sont donc
parallèles entre elles.
Elles sont toutes les deux coupées par la droite (AC) donc les angles AEF et ACB sont égaux car ils
sont correspondants.
Or dans le triangle isocèle ABC, les angles ACB et BAC sont égaux
On peut en déduire que les angles AEF et FAE sont égaux ; donc le triangle AEF est isocèle.
Exercice 2 (Martinique 2000-1)
Rappel : convexe se dit d’une partie du plan ou de l’espace telle que tout segment ayant ses
extrémités dans cette partie y est entièrement inclus.
Question 1 :
Question 1.a : Faux, les rectangles non carrés n’ont pas des diagonales perpendiculaires.
Question 1.b : Vrai, les carrés sont des parallélogrammes et appartiennent à (F).
Question 2 :
Question 2 .1.
Considérons le triangle ADB, H et E étant les milieux respectifs des côtés AB et AD, la droite (HE) est
parallèle à la droite (DB) (théorème de la droite des milieux) et on a l’égalité :
HE =
€
1
2
DB.
Un raisonnement analogue appliqué respectivement aux triangles DBC, ADC et ABC montre que :
(GF) est parallèle à (DB) ; GF =
€
1
2
DB
(HG) est parallèle à (AC) ; HG =
€
1
2
AC
(EF) est parallèle à (AC) ; EF =
€
1
2
AC
Ainsi le quadrilatère HGFE a ses côtés parallèles et égaux deux à deux, c’est un parallélogramme.
Comme les droite (DB) et (AC) sont perpendiculaires, les angles du parallélogramme HEFG sont
droits. C’est donc un rectangle.
Question 2 .2.
EFGH est un carré s’il possède deux côtés consécutifs égaux. C’est le cas d’après 2.1. Si AC = DB. Il
est donc suffisant que les diagonales aient même mesure.

Exercice 3 (G4-2009-1)

Exercice 4 (G3-2007-2)