Cours Probabilités-1

Probabilités
Le mot « hasard » signifie « le dé » en arabe. Ce mot viendrait du nom d’un château syrien « El azar » qui fut assiégé par des
Chrétiens au 11e s. On raconte que pour passer le temps, ceux-ci inventèrent un jeu de dés qu’ils nommèrent « hasard ».
« L’improbable a toutes les chances de se produire. » Arisote
1. Expérience aléatoire
On appelle expérience aléatoire une opération dont le résultat est imprévisible.
On appelle univers des possibles l'ensemble des résultats possibles d'une expérience. On le note souvent .
Chacun des éléments de
est appelé éventualité ou épreuve.
Exemple : Lancer un dé à six faces non truqué constitue une expérience aléatoire. On ne sait pas à l’avance
quelle face apparaîtra.
Dans ce cas ={
}.
2. Evénement
Considérons l’exemple suivant qui nous servira pour définir le vocabulaire restant :
« Une urne contient trois boules : une bleue, une rouge et une verte notées respectivement B, R, V. On tire
au hasard une boule de l’urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l’urne que l’on agite. On tire alors
une deuxième boule de l’urne en notant sa couleur. »
Tous les résultats possibles de cette expérience peuvent être représentés soit en utilisant un tableau :
Tirage 2 B
R
V
Tirage 1
B
(B,R)
R
V
soit en utilisant un arbre :
1er tirage
2ème tirage
Résultat
On appelle événement toute partie A de . C'est donc un sous-ensemble de l'univers.
Dire qu'une éventualité
réalise l'événement
signifie que
.
Dans notre exemple :
{(R,R) ; (B,B) ; (V,V)} est l’événement « obtenir deux boules ..................................... »
{(B,R) ; (B,B) ; (B,V)} est l’événement « .................................................................... »
{(B,R) ; (B,V) ; (B,B) ; (R,B) ; (V,B)} est l’événement « ............................................. »
3. Evénement élémentaire.
Un événement élémentaire est un événement formé d'un seul élément. C'est donc tout
singleton de .
Déterminer l’événement A : « tirer deux boules bleues »
{
}
A n’est formé que d’un élément, c’est donc un événement élémentaire.
1
4. Intersection de deux événements
On appelle intersection de deux événements A et B, l’événement « A et B », que l’on note
des éventualités qui appartiennent simultanément à A et à B .
A
, constitué
B
Colorier
Soient les événements :
: « obtenir deux boules de même couleur »
: « obtenir une boule bleue au premier
tirage »
{
}
{
}
{
}
On retrouve :
est l’événement « obtenir ..................................................................... »
5. Evénements incompatibles
Deux événements A et B sont incompatibles ou disjoints si leur intersection est vide, c'est-à-dire si
aucun résultat ne les réalise en même temps.
A
B
On note :
Soient les événements :
: « obtenir deux boules rouges »
{
}
{
: « obtenir une boule bleue au premier tirage »
}
Les événements A1 et A2 sont incompatibles.
6. Réunion de deux événements
On appelle réunion des événements A, B, l’événement « A ou B », que l’on note
éventualités qui appartiennent à l’un au moins des événements A, B.
Colorier
A
B
, constitué des
Soient les événements :
: « obtenir une boule bleue au premier tirage »
: « obtenir une boule bleue au second
tirage »
{
}
{
}
{
}
est l’événement « obtenir ........................................................................... »
2
7. Evénement contraires
Le complémentaire de A dans , noté , est appelé événement contraire de A. C'est donc l'ensemble de
tous les éléments de
qui n'appartiennent pas à A.
colorier
Ω
A
Soit l’événement :
A : « obtenir deux boules de même couleur »
A={
}
{
}
est l’événement « ................................................................................... »
II. Calculs de probabilités
1. Loi de probabilité
Definir une loi de probabilité sur l’ensemble
des éventualités d’une expérience aléatoires, c’est associer
à chaque éventualité un nombre de l’intervalle [0 ;1] appelé probabilité de cette éventualité.
La probabilité d’une événtualité est un nombre qui mesure les « chances » qu’a cet événement de se
produire. Ce nombre est compris entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain). La somme des
probabilités des éventualités d’ est donc égale à 1.
La loi de probabilité peut-être représentée sous forme d’un tableau ou encore d’un arbre.
Pour le lancer d’un dé
Arbre
1
6
Tableau
éventualité
Probabilité
1
1
6
2
1
6
3
1
6
4
1
6
5
1
6
1
2
1
6
1
6
6
1
6
1
6
1
6
1
6
3
4
5
6
La probabilité de tout événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le
composent.
3
2. Hypothèse d’équiprobabilité
On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Cette
probabilité commune est égale à
.
Dans le cas où il y a équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est égale à
c’est-à-dire :
.
Remarque : le petit Larousse illustré définit ainsi le mot probabilité : « rapport du nombre de cas favorables
à la réalisation d’un événement aléatoire au nombre de cas possibles ».
Exemples
Reprenons l’activité sur le lancer de dé.
Toutes les faces du dé ont la même chance d’apparition. On est donc dans le cas d’équiprobabilité avec
p(« obtenir 1 »)=p(« obtenir 2 »)=...=p(« obtenir 6 »).
Appliquer la propriété précédente pour déterminer les probabilités des événements :
A : « obtenir 3 »
A={
}
Ω={
}
p(A)=
B : « obtenir un nombre supérieur à 3 »
B={
}
Ω={
}
p(B)=
En considérant l’arbre ou le tableau de l’activité de la page 1, calculer les probabilités des événements
suivants :
A : « tirer deux boules bleues »
A={
}
Ω={
}
p(A)=
B : « tirer deux boules de la même couleur »
B={
}
Ω={
p(B)=
C : « tirer une boule verte au premier tirage »
C={
}
Ω={
p(C)=
}
}
4
III. Propriétés des probabilités
1. Probabilité de la réunion de deux événements
Toujours en considérant l’activité page 1, on appelle :
A l’événement « obtenir une seule boule bleue »
B l’événement « obtenir une seule boule rouge »
A={(B,R) ; (B,V) ; (R,B) ; (V,B)}
B={(B,R) ; (R,B) ; (R,V) ; (V,R)}
Plus généralement, si A et B sont deux événements quelconques alors :
Placer les événements élémentaires constituant A et B sur le schéma suivant :
A
B
est constitué de ....... événements élémentaires.
Calculer : nombre d’éléments de A + nombre d’éléments de B - nombre d’éléments de
.
On déduit :
2. Probabilité de la réunion de deux événements disjoints
Si A et B sont disjoints, cela signifie que :
...... , d’où p(
Finalement, si A et B sont disjoints,
)=......
Exemple : Soient :
A l’événement « obtenir
......
une boule bleue au premier tirage »
B l’événement « obtenir une boule rouge au premier tirage »
Pourquoi ces deux événements sont-ils disjoints ?
Calculer alors la probabilité de l’événement « obtenir une boule bleue ou rouge au premier tirage ».
3. Probabilité de deux événements contraires
Soit A l’événement « obtenir au moins une boule rouge »
A={(R,R) ; (R,B) ; (R,V) ; (B,R) ; (V,R)}
Compléter :
{
}
Calculer maintenant
Ainsi, si A et
sont deux événements contraires, alors :
5