ARITHMÉTIQUE Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

− Troisième −
Chap.01
ARITHMÉTIQUE
Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
1−
− Diviseurs communs à deux nombres entiers
Définition : un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise a et qui divise b.
Remarque : 1 est diviseur de tout nombre entier.
Critères de divisibilité (n°58/59/60/61/62 p.30)
Liste des diviseurs (n°63/64/65 p.30)
Propriété et définition : parmi les diviseurs communs à a et b, il en existe un qui est
plus grand que les autres. On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).
Notation : PGCD (a ; b)
Exemple : Calcul du PGCD de 8 et de 12.
Les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4, 8
Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Les diviseurs communs à 8 et à 12 sont : 1, 2, 4
donc : PGCD (8 ; 12) = 4
Diviseurs communs et PGCD (n°1/2 p.24 et n°69/70/71 p.31)
Définition : lorsque le PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
Exemples :
2 et 3 sont premiers entre eux.
2 et 4 ne sont pas premiers entre eux. (car PGCD (2 ; 4) = 2 ≠ 1)
Nombres premiers entre eux (n°10/11/17 p.25 et n°72/73 p.31)
2−
− Recherche du PGCD
Déterminons le PGCD 448 et de 576 :
Dans certains cas, la méthode précédente est trop longue. Nous en avons alors deux autres à disposition :
a−
− Méthode des soustractions successives
Solution :
j’utilise la méthode des soustractions successives
576 – 448 = 128
448 – 128 = 320
320 – 128 = 192
192 – 128 = 64
128 – 64 = 64
64 – 64 = 0
(Je calcule la différence des 2 nombres)
(Je considère les 2 nombres les plus petits 448 et 128, je calcule leur différence)
Le PGCD est la dernière différence non nulle :
PGCD (576 ; 448) = 64
PGCD avec méthode des soustractions successives (n°3/4 p.24)
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1
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− Troisième −
b−
− Méthode des divisions (algorithme d’Euclide)
Solution :
j’utilise l’algorithme d’Euclide
Dividende
Diviseur
Reste
(Je calcule la division euclidienne de 576 et 448)
576
448
128
(Je recommence avec 448 et 128)
448
128
64
128
64
0
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD (576 ; 448) = 64
PGCD avec algorithme d'Euclide (n°5/6 p.24)
Remarques : (1) la division euclidienne est vue en sixième.
576 = 448 x 1 + 128
576 448
tel que 128 < 448
(Reste plus petit que le diviseur)
128
1
(2) 576 = 64 × 9 et 448 = 64 × 7
Exercice type :
Enoncé :
1. 126 et 210 sont-ils premiers entre eux ?
2. Calculer le PGCD des nombres 126 et 210. (Indiquer la méthode utilisée)
3. Un fleuriste dispose de 126 iris et 210 roses.
Il veut, en utilisant toutes ses fleurs, réaliser des bouquets contenant tous le même nombre d’iris et le même nombre
de roses.
a. Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser ?
b. Donner la composition de chacun d’eux.
Solution :
1. Deux nombres sont premiers entre eux si leur Plus Grand Commun Diviseur est 1.
126 et 210 sont deux nombres pairs donc divisibles par 2.
Par conséquent, ils ne sont pas premiers entre eux.
2. J’utilise l’algorithme d’Euclide :
Le PGCD est le dernier reste non nul :
Dividende
Diviseur
reste
210
126
84
126
84
42
84
42
0
PGCD (126 ; 210) = 42
3.
a. Le nombre de bouquets doit être un diviseur commun à 210 et 126
De plus, il veut composer un maximum de bouquets, donc on doit calculer le PGCD de 210 et 126 (déjà fait à la question
2.)
Par conséquent, Il peut réaliser au maximum 42 bouquets identiques.
b.
126 ÷ 42 = 3
210 ÷ 42 = 5
Chaque bouquet sera composé de 3 iris et 5 roses.
PGCD et problème (n°3/4 p.24)
3−
− Fractions irréductibles
Définition : une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur de cette fraction
sont premiers entre eux.
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2
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− Troisième −
Remarque : cela veut dire que l’on ne peut plus la simplifier.
Exemple : PGCD (21 ; 44) = 1 donc 21 et 44 sont premiers entre eux.
21
Donc la fraction
est irréductible.
44
Propriété : la fraction
a
est simplifiable par PGCD (a ; b) et la fraction obtenue est irréductible.
b
Exemple : le PGCD de 576 et 448 est 64 (D’après 2.)
576
576 9×64 9
En simplifiant la fraction
par 64, on obtient :
=
= .
448 7×64 7
448
9
La fraction est irréductible.
7
Exercice type :
Enoncé :
170
.
578
1. Montrer que cette fraction n’est pas irréductible.
2. Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire apparaître les différentes étapes de calculs).
170
3. Ecrire la fraction
sous forme irréductible.
578
On considère la fraction :
Solution :
1. Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
170 et 578 sont deux nombres pairs donc divisibles par 2.
170
Par conséquent, ils ne sont pas premiers entre eux et
est irréductible.
578
2. J’utilise l’Algorithme d’Euclide :
Le PGCD est le dernier reste non nul :
Dividende
Diviseur
578
170
170
68
68
34
PGCD (170 ; 578) = 34
reste
68
34
0
3. Il suffit maintenant de simplifier la fraction par 34, et la fraction obtenue sera irréductible :
5
170 5 x 34
=
=
578 17 x 34 17
PGCD et fraction irréductible (n°3/4 p.24)
Remarque : avant d’utiliser cette propriété, il est souvent préférable de simplifier la fraction à l’aide des
120 12 3
critères de divisibilité :
=
=
.
80
8 2
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