ARITHMÉTIQUE Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

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1
Chap.01
ARITHMÉTIQUE
Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
1−
−−
− Diviseurs communs à deux nombres entiers
Remarque : 1 est diviseur de tout nombre entier.
Critères de divisibilité (n°58/59/60/61/62 p.30)
Liste des diviseurs (n°63/64/65 p.30)
Notation : PGCD (a ; b)
Exemple : Calcul du PGCD de 8 et de 12.
Les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4, 8
Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Les diviseurs communs à 8 et à 12 sont : 1, 2, 4 donc : PGCD (8 ; 12) = 4
Diviseurs communs et PGCD (n°1/2 p.24 et n°69/70/71 p.31)
Exemples :
 2 et 3 sont premiers entre eux.
 2 et 4 ne sont pas premiers entre eux. (car PGCD (2 ; 4) = 2 ≠ 1)
Nombres premiers entre eux (n°10/11/17 p.25 et n°72/73 p.31)
2−
−−
− Recherche du PGCD
Déterminons le PGCD 448 et de 576 :
Dans certains cas, la méthode précédente est trop longue. Nous en avons alors deux autres à disposition :
a−
−−
− Méthode des soustractions successives
Solution : j’utilise la méthode des soustractions successives
576 – 448 = 128
448 – 128 = 320
320 – 128 = 192
192 – 128 = 64
128 – 64 = 64
64 – 64 = 0
(Je calcule la différence des 2 nombres)
(Je considère les 2 nombres les plus petits 448 et 128, je calcule leur différence)
Le PGCD est la dernière différence non nulle :
PGCD (576 ; 448) = 64
PGCD avec méthode des soustractions successives (n°3/4 p.24)
Définition
: un diviseur commun à
a
et
b
est un nombre entier qui divise
a
et qui divise
b.
Propriété et définition : parmi les diviseurs communs à a et b, il en existe un qui est
plus grand que les autres. On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).
Définition : lorsque le PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.

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2
b−
−−
− Méthode des divisions (algorithme d’Euclide)
Solution : j’utilise l’algorithme d’Euclide
Dividende Diviseur Reste
576
448
128
448
128
64
128
64
0
(Je calcule la division euclidienne de 576 et 448)
(Je recommence avec 448 et 128)
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD (576 ; 448) = 64
PGCD avec algorithme d'Euclide (n°5/6 p.24)
Remarques : (1) la division euclidienne est vue en sixième.
576 448 576 = 448 x 1 + 128 tel que 128 < 448
(Reste plus petit que le diviseur)
128 1
(2) 576 = 64 × 9 et 448 = 64 × 7
Exercice type :
PGCD et problème (n°3/4 p.24)
3−
−−
− Fractions irréductibles
Définition : une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur de cette fraction
sont premiers entre eux.
Enoncé
:
1. 126 et 210 sont-ils premiers entre eux ?
2. Calculer le PGCD des nombres 126 et 210. (Indiquer la méthode utilisée)
3. Un fleuriste dispose de 126 iris et 210 roses.
Il veut, en utilisant toutes ses fleurs, réaliser des bouquets contenant tous le même nombre d’iris et le même nombre
de roses.
a. Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser ?
b. Donner la composition de chacun d’eux.
Solution :
1. Deux nombres sont premiers entre eux si leur Plus Grand Commun Diviseur est 1.
126 et 210 sont deux nombres pairs donc divisibles par 2.
Par conséquent, ils ne sont pas premiers entre eux.
2. J’utilise l’algorithme d’Euclide : Dividende Diviseur reste
210 126 84
126 84 42
84 42 0
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD (126 ; 210) = 42
3. a. Le nombre de bouquets doit être un diviseur commun à 210 et 126
De plus, il veut composer un maximum de bouquets, donc on doit calculer le PGCD de 210 et 126 (déjà fait à la question
2.)
Par conséquent, Il peut réaliser au maximum 42 bouquets identiques.
b. 126 ÷ 42 = 3
210 ÷ 42 = 5 Chaque bouquet sera composé de 3 iris et 5 roses.

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3
Remarque : cela veut dire que l’on ne peut plus la simplifier.
Exemple : PGCD (21 ; 44) = 1 donc 21 et 44 sont premiers entre eux.
Donc la fraction 21
44 est irréductible.
Exemple : le PGCD de 576 et 448 est 64 (D’après 2.)
En simplifiant la fraction 576
448 par 64, on obtient : 576 448 = 9×64 7×64 =9 7.
La fraction 9
7 est irréductible.
Exercice type :
PGCD et fraction irréductible (n°3/4 p.24)
Remarque : avant d’utiliser cette propriété, il est souvent préférable de simplifier la fraction à l’aide des
critères de divisibilité : 120
80 = 12 8 = 3 2 .
Propriété : la fraction
a
b est simplifiable par PGCD (a ; b) et la fraction obtenue est irréductible.
Enoncé :
On considère la fraction : 170
578.
1. Montrer que cette fraction n’est pas irréductible.
2. Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire apparaître les différentes étapes de calculs).
3. Ecrire la fraction 170
578 sous forme irréductible.
Solution :
1. Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
170 et 578 sont deux nombres pairs donc divisibles par 2.
Par conséquent, ils ne sont pas premiers entre eux et 170
578 est irréductible.
2. J’utilise l’Algorithme d’Euclide : Dividende Diviseur reste
578 170 68
170 68 34
68 34 0
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD (170 ; 578) = 34
3. Il suffit maintenant de simplifier la fraction par 34, et la fraction obtenue sera irréductible :
170
578 = 5 x 34
17 x 34 = 5
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