Sur les anneaux tels que xn = x

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
L ÉONCE L ESIEUR
Sur les anneaux tels que xn = x
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 19, no 2 (1965-1966), exp. no 13,
p. 1-8
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1965-1966__19_2_A2_0>
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Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
19e année, 1965/66, n° 13
13-01
7
xn =
SUR LES ANNEAUX TELS QUE
mars
1966
x
par Léonce LESIEUR
désigne
A
étant
n
anneau unitaire vérifiant :1
un
entier > 1
un
On étudiera aussi le
est
un anneau
corps
à
F
exemples, les
té
où
cas
(n
de Boole
anneaux
2) ;9
=
général dépendre
cas
A
(n
=
3) ;
=
parcourant l’ensemble
p
y
dans le
de l’élément
est le même pour tous les éléments.
n
éléments,
p
p
qui peut
est
A
considérés sont commutatifs. Il s’agit
générale, conséquence imprévue
de la relation
en
A
Exemples :i
directe des
somme
des nombres
A.
x E
Dans
premiers.
fait d’une
ces
proprié-
(1).
’
1. Commutativité de l’anneau
Pour établir la
N. JACOBSON
PROPRIÉTÉ
commutativité,
([6J,
217),
p.
1. - L’anneau
aN
Supposons
N
non
Si
N ~
n -
nous
établissant successivement les
A
n’a pas d’éléments
n(a)
°
9
on
nilpotents
an =
tel que
propriétés
non
suivantes :1
nulso
a .
a=a =a an N - 0 .
peut écrire
1 ,
allons suivre la démonstration donnée par
en
0 ; il existe
=
Si
A.
.
considère
N
=
k( n - ~ ~
+
r
avec
r = 0
ou
r
von
NEUMANN)
n -
1 ,
d’où :
PROPRIÉTÉ
2. - Le radical de Jacobson de
Remarquons
d’abord que
A
est
un anneau
A
est nul.
régulier ( au
de
sens
car
on a :
x
Si
x ~
a
donc
On
x
=
On
0
RJ(A)
donc :1
la
=
(n
x ~ 0,
avec
(1 - e)e
d’après
a
x
=
0
>
2)
xn-l =
et, comme 1 -
propriété
1.
ou
x
est
e
e
est
un
=
x.l.x
(n
=
2)
.
élément idempotent du radical
inversible,
e
=
0 . Il
0
en
R.
résulte
où les idéaux
injecté
sont les idéaux
P1
produit direct
dans le
des
primitifs
A . L’anneau
de
A/P. ,
primitifs
anneaux
y
A
la
trouve donc
se
projection
sur une
composante étant la surjection A ~ A/P.. Pour exprimer que A est un sousanneau du produit direct avec cette propriété supplémentaire : la projection sur
A est un produit sous-direct
une composante est une surjection, nous dirons que
des anneaux primitifs A/P.. Chaque anneau primitif A/P. vérifie également la
0
(1).
propriété
Or
on a
la
PROPRIÉTÉ 3. -
Tout
anneau
relation
mutatif
primitif vérifiant
la relation
A
est,
bien
ou
avec
K,
bien contient
ou
([6],
1
m >
33).
p.
d’éléments nilpotents
THÉORÈME
En
1. - Tout
(1)
est
A
effet,
lation
non
un
Mais
ce
nuls. Il
une
image homomorphe est
dernier
cas
est exclu par la
(1),
en
résulte
(com-
corps
K
=
est
avec
m
x
m
sur un
présence
produit sous-direct
K
dans
1donc
=
K ,
un anneau
m
A
=
de corps
K .
com-
et par suite est commutatif.
produit sous-direct
du fait que la
A
(1)
vérifiant
A
m
dont
un anneau
anneau
qui vérifient
mutatifs
est
de matrices
Km
un anneau
.
corps
(1)
non).
ou
effet,y l’anneau
En
suivante :
de corps
(propriété 3) qui
vérifient la
re-
est
une
surjection. Il
suffit alors de démontrer que tout corps vérifiant la relation
(1)
est commutatif.
projection
chaque composante
sur
Nous renvoyons pour la démonstration à hl. JACOBSON
I. N. HERSTEIN
([5J,
p.
La démonstration de la
PROBLÈME
un anneau
1. ~ Si
La
2. - Si
réponse
185)
ou
324).
propriété 3 suggère
un anneau
est
primitif
un anneau
est
premier
au
~2~ ,
problème
dans le
2 est
cas
les deux
sans
problèmes
suivants :1
éléments nilpotents
sans
éléments nilpotents
affirmative, d’après
d’un
2. Caractéristique de l’anneau
non
nuls, est-ce
non
nuls, est-ce
résultat récent de C, FAITH
A .
caractéristique de A , l’anneau
relation (1). Comme Z ne la vérifie
nulle. Soit donc
un
noethérien à gauche premier.
anneau
étant la
rifie la
a
intègre ?
et Y. UTUMI
c
po 181 à
intègre ?
PROBLÈME
un anneau
([6Jy
.
,
l.1
est
pas, la
isomorphe à
Z~(c~
caractéristique
ne
et vé-
peut être
de
décomposition
la
si
Mais,
’
1 , l’élément
>
impossible
x
n0
si
=
nO - 1
x .
caractéristique
2. - La
d’un nombre fini de nombres
non
et
1
1) ,
on
1y l’égalité
x
n0
x
=
qui précède s’applique
est
7.1
de
un sous-anneau
affirmer que
x
Pi=
Z.1
distincts
p. ,
(1)
vérifiant
A
anneau
et
on
est
tique
a
x ,y
relation
,la
est le
élément
a,y pour tout
n(x)
n -
est
1
un
particulier
multiple
c
ÎÎ
=
x
est constant.
au
où
cas
n(x) =
est
n
constant,
caractéristique à l’entier n . L’anneau
et, d’après sa structure étudiée au paragraphe 2,
A
produit
(pi - 1) .
nombres
commun aux
k
Z.l
on
mais
est
peut
si la caractéris-
p.-l
1
p.. Posonsi
donc :1
THÉORÈME 3. seur
x E
est
directe d’un
somme
aura, pour tout
qui
ce
y
pouvons alors relier la
nous
On
p.l,
nul modulo
avec
uand
en
d’un
c
premiers
3. Etude de la ca!actéristique
Ce
nilpotent
a
,
THÉORÈME
de Z -
o
donc
(p. -
m.
c.
a
On
p.
K.. Chacun d’eux vérifie la relation
premiers
p. p.
=
premiers
serait
p.
A. On
dans l’anneau
nombre fini de corps
d’où,
facteurs
en
c
de
Si
A
xn = x (n fixe),
vérifie
la
caractéristique
est
un
divi-
c(n) .
Remarquons
que
c(n)
est
toujours
un
nombre
pair
(p.
=
2
convient).
Exemples :1
1° La
p - llpf 2°
l’anneau
3°
neau
n
caractéristique
du
champ
de Galois
G(p )
est
py et
on a
bien :i
1 .
=
3 . La
caractéristique
est
3
pour le corps
F ,
et
6 =
c(3)
30
pour l’an-
pour
Z/(6) .
n =
5 ;
Z/(30) ,
c(n)
=30 .La
caractéristique
dont tous les éléments vérifient
est effectivement
x5 =
x .
4°
n
doit être
p
c(n) =
2q ;9
=
y
Ce dernier
Si
c(n)
Le nombre
aura,
et
sera un
c
Plus
c
prenant
en
M(p - 1) ,
le nombre
premier
y
caractéristique
la
égale à
donc elle est
2 ,
2 .
est
2 .
également dans un problème très élémentaire de théola caractéristique d’un anneau A vérifiant xn - x = 0,
est
k.l ,y
x =
(k
;z) :
é
E
kn -
diviseur de l’ensemble des entiers
k .
précisément :1
c(n)
nombre
c’(n)
c(n) =c’(n) .
le p. g.
10 Tout facteur
1 =
décrit
k
donné par la formule
Soit
q(p - 1) .
divisible par
c.
Z , le p. g.
de
c(n)
k
kn -
kn -
k
(k ~ Z) .
k
Démontrons
c’(n) .
Soit
est divisible par
est divisible par
c’est-à-dire
p
est le
k
d. des nombres
est facteur de
Il faut montrer que
lorsque
c.
(2).
d. des nombres
premier
k . C’est évident
soit
=
2 .
pair,
c(n) =
5. - Lors ue
n -
1
2q -
intervient
rie des nombres. Si
on
est
n
effet,y elle divise
En
effet, si
donne le résultat suivant :1
exemple
THÉORÈME 4. -
à
égal
donc
pair,
2 . En
1
p .
l’égalité :t
p
tel que
p ,y
quel que
Sinon,
dans le corps
est
1
F . On
dé-
en
duit :1
d’où
k~=k .
2° Tout facteur
que
kn - k =
ment k
est
k..
1
(modp)
0
de
c~(n)
pour tout
c(n) .
déduit k
Soit
est facteur de
keJZ .
On
en
=
k
p
du corps
F . Or le groupe
y
q(p - l)
*
On
a
donc
premier tel
pour tout élé-
multiplicatif des éléments non nuls
cyclique d’ordre p - 1 ;i soit k0 un générateur de ce groupe. On a
1 , et les puissances de k égales à k ont des exposants de
=
+
premier
de
F
donc
la forme
s
+q(p - 1) ou n- 1 =q(p - 1)
3° Les facteurs premiers de c’(n) sont tous distincts. Supposons en effet
soit un diviseur de c*(n) . En prenant k
p ~ on voit que p~
que p~ ( of > l)
diviserait
n ~
p~ diviserait p ~ ce qui est impossible. Si
p . Si
n=
1
.
=
a >
pn
n,
également
serait
un
diviseur commun9
Il résulte des
.
propriétés 1°, 2~, 3~
la propriété c(n) = 2
retrouve ainsi
On
y
THÉORÈME 5’. - Lorsque
c(n)
décrit
tel
anneau
est constant. L’anneau
se
=
cas
Dans le
cas
précédent.
0
n
=
2q
on
y
1 .
-
contenter de
k
prendre pour
xn
fini vérifiant
c.
kn -
do des nombres
=
en
anneau
A
est le
(n fixe).
x
n’est pas
un
théorème de
produit
un
structure),
au
où
cas
n
commutatifs,vé-
sous-direct de corps
résulte que chacun des corps composants est
x ,y c’est-à-dire un champ de Galois G(p) ,y avec
Il
k
(2).
est donc
A
(1).
rifiant la relation
un
corps
déduit :1
THÉORÈME
6. - Tout
champs
Comme
tel que
est
y
produit sous-direct
r.
de Galois
p.l - 1 | n - 1 .
avec
Inversement, tout produit sous-direct
vérifie
xn = x (n fixe)
tel que
r.
de
5,y
le p. g.
p
xn =
ue
(qui
le théorème 1
Appliquons
en
k
donné par la formule
4. Structure d’un
On
k
prenant
en
au
naturels, d’où :1
des nombres
nombre
c(n) = c’(n) .
que
dans la démonstration du théorème
peut,
qui ramène
ce
de tels
de Galois est
champs
un anneau
qui
xn .- x .
application,y
xn -
x
0
=
allons obtenir des informations
nous
sur
l’exposant
pour tous les éléments de l’anneau. On remarque
en
minimum
n
effet que9
r.
(p - l)
si
est le
plus petit
commun
multiple
des nombres
r.
p. i 1 sant
1
intervenant dans les
minimum,
et il vérifie :t
THÉORÈME 7. - L’exposant
est tel que
m -
1
soit le
’
r.
p. 1 -
1
(p.
exemple,
p~ = 2 ,
n -
1
minimum
=
m
on a
xm =
k(m - 1) .
d’un
anneau
L’entier
x .
m
est
l’expo-
D’où :r
donné
A
tel que
xm - x ~ 0
plus petit2014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014~201420142014201420142014201420142014
multiple d’entiers de la forme
commun
premier).
Tous les nombres entiers
Par
composantes,y
si
d’où :1
m
est
ne
pair,
peuvent ainsi être obtenus
m -
1
est
impair,
et il
comme
en
exposant minimum.
résulte nécessairement
9
THÉORÈME
tit
7’. - Un exposant minimum pair
Par
à
2
si
exemple,
m =
(anneau
2
éléments) peuvent
4
ou
de même de
m=
2r -
de nombres entiers de la forme
multiple
commun
est tel que
m
6 :1
un anneau
de
Boole),
être obtenus
m
tel que
y
est
pe-
sous-direct de corps
exposant minimum
comme
plus
1 .
(produit
4
=
soit le
1
m -
un anneau
il n’en est pas
de Boole. En effet9 la
caractéristique étant égale à 2 (théorème 4), on obtient en développant (x +
l’égalité x4 + x2 - 0 , c’est-à-dire x4 = x2 d’où en multipliant par x2
x
9
~
>
>
~6
2
x .s
=
Remarque. - Au lieu de prendre l’exposant minimum, on peut au contraire se propon
en le remplaçant par
ser d’augmenter
n + k(n - 1) ou m + k(m - I~ . On démontre alors qu’il est toujours possible de choisir pour exposant un nombre premier.
0
Par
x4
exemple :i
x7 =
====>
x
=
est
x ,~ et 7
premier.
5. Etude du demi-groupe multi licatif de l’anneau.
Les
demi-groupes
dans
J. A. GREEN et D. REES
possible d’obtenir
xn
lesquels
~4~,
=
ont été étudiés
x
et par T. C. BROWN
des résultats
plus précis
[l].
sur
le
en
Dans le
particulier
cas
par
d’un anneau, il est
demi-groupe,y qui tiennent
es-
sentiellement à la commutativité.
THÉORÈME
x
=
8. - Le
est
x
Remarquons
une
demi-groupe multiplicatif d’un anneau vérifiant la condition
réunion de groupes multiplicatifs deux à deux disjoints.
que tout élément
cyclique multiplicatif Gx
e , et qui est un idempotent de A. Si l’incycliques Gx et Gy n’est pas vide, ces deux groupes
e
(résultat général de la théorie des demi-groupes).
engendre
x
x( -
dont l’élément neutre est
tersection des deux groupes
ont le même élément neutre
=
Le sous-groupe maximum
e
éléments
existe
alors la
dans
Ge
x
pour
ayant
lesquels il
réunion,des
est
groupes
l’opération
comme
G , qui
un
groupe
y
élément neutre est alors l’ensemble
r(x)
tel que
xr(x) =
sont deux à deux
induite par la
multiplication
exemple, l’anneau
correspondant
aux
Z/(6)
dans
est la réunion des groupes
idempotents 0 1 , 4 , 3 .
y
On déduit immédiatement du théorème 8 :1
L’anneau
disjoints,
établi.
Par
e .
et
G
A
des
est
l’opération
A . Le théorème est
THÉORÈME 9. En
Un
effet, les
seuls
semble des éléments
6. Retour
d’intégrité
anneau
idempotents sont
non
un
1 . Le groupe
et
corps.
est nul ;9 l’en-
G~
G~ .
la commutativité.
sur
s’appuie
d’établir simplement le théorème 3
(cf. [6J,
suivante
PROPRIÉTÉ 4. -
étant
A
p.
sans
la commutativité. Il est
sur
à l’aide de la
commutativité,
supposer la
possible
211).
un anneau
vérifiant la condition
x
=x, tout idem-
est central.
potent
Soit
d’où
0
est
x
=
nuls de l’anneau est le groupe
La démonstration du théorème 8
propriété
tel que
idempotent, et
un
e
~
(propriété 1).
y = 0
Nous laissons
soit
Il
en
x E
A . Posons
résulte
ex
=
y
ex(l - e) .
=
On
.
groupes ainsi obtenue
ne
0,
y
De même
exe .
lecteur le soin d’en déduire le théorème 8. Mais la
au
y =
a
partition
en
prouve pas la commutativité. Celle-ci serait assurée si
on
démontrait que les groupes sont abéliens.
Dans le
cas
la relation
bien
connu.
n
x =
fixe,
on
peut
essayer de déduire la commutativité
x , par des identités formelles d’un
Donnons
En linéarisant cette
une
démonstration valable pour
relation, c’est-à-dire
en
n
=
anneau.
Le
l’égalité
xy - yx =
0 ,
=
yx)
n
=
2
est
on
ob-
de
3 . Posons :1
remplaçant
y
par
tientô
Pour démontrer
cas
(xy
il suffit donc d’établir :t
y
+ z ,y
13-08
Or cette relation est
Le
conséquence
quelconque nécessite
n
cas
une
dont la nature n’a pas
les
p-anneauxs
anneaux
de
(4) quand
on
y
remplace
z
par
xy - yx .
la recherche d’identités formelles dans
un anneau
été trouvée.
encore
Signalons, pour compléter
de
la
caractéristique
[3J
les travaux de A. Z. FOSTER
bibliographie?
p
(premier) qui
x
vérifient
=
sur
x .
BIBLIOGRAPHIE
[1]
BROWN
(Thomas C.). -
Cambridge phil.
[2]
FAITH
POSTER
GREEN
(A. L.). -
Generalized "Boolean"
(J. A.)
and REES
Cambridge phil. Soc.,
[5]
[6]
=
x , Proc.
and UTUMI (Yuzo). - On noetherian prime rings, Trans. Amer. math.
t. 114, 1964, p. 53-60.
Z., t. 58, 1953, p. 306-336 et t. 59,
[4]
x2
(Carl)
Soc.,
[3]
On the finiteness of semi-groups in which
Soc., t. 60, 1964, p. 1028-1029.
(D.). t. 48,
On
theory
of universal algebras, Math.
p. 191-199.
1953/54,
semi-groups in which
1952, p. 35-40.
x2 =
x , Proc.
(I. N.). - Topics in algebra. - New York, Blaisdell publ. Comp.,
JACOBSON (N.). - Structure of rings, 2nd edition. - Providence, American
thematical Society, 1964 (Amer. math. Soc., Coll. Publ., 37).
HERSTEIN
1964.
ma-