BTS Métiers de l`Eau Session 2011 (Groupement D

BTSMétiersdel’EauSession2011(GroupementD) Page1
BTSMétiersdel’eauSession2011
EXERCICE1(11points)
LespartiesAetBdecetexercicepeuventêtretraitéesdefaçonindépendante.
A.Résolutiond'uneéquationdifférentielle
Onconsidèrel'équationdifférentielle:5
,
oùyestunefonctiondelavariableréellet,définieetdérivablesurl'intervalle0;∞,y'lafonctiondérivéedela
fonctiony.
1.Déterminerlessolutionssurl'intervalle0;∞del'équationdifférentielle:50
2.Soithlafonctiondéfiniesurl'intervalle0;∞par:
,oùaestuneconstanteréelle.
Déterminerapourquelafonctionhsoitunesolutionparticulièredel'équationdifférentielle(E).
3.Endéduirel'ensembledessolutionsdel'équationdifférentielle.
4.Déterminerlasolutionfdel'équationdifférentiellequivérifielaconditioninitiale:0  0.
B.Étuded'unefonction
Soitlafonctionfdéfiniesurl'intervalle0;∞par:0,2
,
OnnoteClacourbereprésentativedelafonctionfdansleplanmunid'unrepèreorthogonal.
1.Déterminerlalimitedelafonctionfen∞.Quepeut‐onendéduirepourlacourbeC?
2.Ondésigneparlafonctiondérivéedelafonctionf.
Montrerquepourtouttdel'intervalle0;∞:0,04  0,2,
3.Etudierlesvariationsdelafonctionfsurl'intervalle0;∞etdonnersontableaudevariations.Onprécisera
lesvaleursremarquablesdetet.
4.a)Recopieretcompléterletableaudevaleursci‐dessous.Onarrondiralesrésultatsà10.
02,5510 2025
b)TracerlacourbeCsurlafeuilledepapiermillimétréefournie.
Surl'axedesx,2cmreprésentent5unités.Surl'axedesy,2cmreprésentent0,05unités.
C.Application
Al'aided'uneperfusion,oninjectependantcinqminutesunmédicamentantalgiqueàunpatient.Aprèsl'injection,
l'organismeéliminepeuàpeulemédicament.
Ons'intéresseàlaquantitédemédicamentprésentedansl'organismedupatientaucoursdutemps.L'instant
0correspondaudébutdel'injection.
Onfaitl'hypothèsequ'àl'instantt,expriméenminute(min),laquantitédemédicament,
expriméeenmillilitre(ml),estégaleà0,2
,,oùfestlafonctionétudiéedanslapartieB.
1.Déterminergraphiquement,àuneminuteprès,l'instantàpartirduquellaquantitédemédicamentredevient
inférieureà0,05ml.
Onferaapparaîtrelestraitsdeconstructionutilessurlegraphique.
2.a)OnconsidèrelafonctionFdéfiniesurl'intervalle0;∞par  5
MontrerquelafonctionFestuneprimitivedelafonctionf.
b)Endéduirelavaleurmoyennedelafonctionfsurl'intervalle0; 23.Ondonneralavaleurexactepuisune
valeurapprochéearrondieà10.
c)Quereprésentelavaleurmoyennecalculéeaub)danslecontextedel'exercice?

BTSMétiersdel’EauSession2011(GroupementD) Page2
EXERCICE2(9points)
Lestroispartiesdecetexercicesontindépendantes.
Uneusinefabriquedestubesenpolyéthylènepourlechauffagegéothermique.
Ons'intéresseàtroistypesdetubesappeléstubesdetype1,tubesdetype2ettubesdetype3.
A.Loinormale
Untubedetype1estacceptéaucontrôlesisonépaisseurestcompriseentre1,35et1,65millimètres.
1)OndésigneparXlavariablealéatoirequiàchaquetubedetype1prélevéauhasarddanslaproduction
d'unejournéeassociesonépaisseurexpriméeenmillimètre.
OnsupposequelavariablealéatoireXsuitlaloinormaledemoyenne1,5etd'écarttype0,07.
Calculerlaprobabilitéqu'untubedetype1prélevéauhasarddanslaproductiondelajournéesoitaccepté
aucontrôle.Ondonneralerésultatarrondià10.
2)L'entreprisedésireaméliorerlaqualitédelaproductiondestubesdetype1:ilestenvisagépourcelade
modifierleréglagedesmachinesproduisantcestubes.
Onnotelavariablealéatoirequi,àchaquetubedetype1prélevédanslaproductionfuture,associera
sonépaisseur.
Onsupposequelavariablealéatoiresuituneloinormaledemoyenne1,5etd'écarttype.
Déterminerpourquelaprobabilitéqu'untubedetype1prélevéauhasarddanslaproductionfuture
soitacceptéaucontrôlesoitégaleà0,99.Ondonneralerésultatarrondià10 .
B.Loibinomiale
Onconsidèreunlotdetubesdetype2.
OnnoteEl'événement:«untubeprélevéauhasarddanscelotdetubesdetype2estdéfectueux.».
Onsupposeque  0,02.
Onprélèveauhasard20tubesdetype2danscelotpourvérification.
Lelotestassezimportantpourquel'onpuisseassimilerceprélèvementde20tubesdetype2àuntirageavec
remise.
Onconsidèrelavariablealéatoire
qui,àtoutprélèvementde20tubesdetype2,associelenombredetubes
défectueuxdeceprélèvement.
1)Justifierquelavariablealéatoire
suituneloibinomialedontondonneralesparamètres.
2)Calculerà10laprobabilitéque,dansuntelprélèvement,auplusuntubesoitdéfectueux.
C.Testd'hypothèse
Unclientapasséunecommandedetubesdetype3.Lalongueurdecestubesdoitêtrede300millimètres.
Onseproposedeconstruireuntestd'hypothèsebilatéralpourcontrôler,aumomentdelalivraison,la
moyenne,del'ensembledeslongueurs,enmillimètres,destubesdetype3.
OnnoteZlavariablealéatoirequi,àchaquetubedetype3prélevéauhasarddanslalivraison,associesa
longueurenmillimètre.
Lavariablealéatoiresuitlaloinormaledemoyenneinconnue,etd'écarttype1.
OndésigneparZlavariablealéatoirequi,àchaqueéchantillonaléatoirede100tubesdetype3prélevésdans
lalivraison,associelamoyennedeslongueurs,enmillimètre,destubesdecetéchantillon.Lalivraisonestassez
importantepourquel'onpuisseassimilercesprélèvementsàdestiragesavecremise.
L'hypothèsenulleest:  300.L'hypothèsealternativeest:,  300.
Leseuildesignificationdutestestfixéà0,05.
1.Sousl'hypothèse,onadmetqueZsuitlaloinormaledemoyenne300etd'écarttype
√ 0,10
Déterminersouscettehypothèselenombreréelpositiftelque300     300  .
Ondonneralerésultatarrondià10.
2.Endéduirelarèglededécisionpermettantd'utilisercetest.
3.Onprélèveunéchantillonde100tubesdetype3danslalivraisonetonobserveque,pourcetéchantillon,la
moyennedeslongueursdestubesest:  299,90,valeurarrondieà10.
Peut‐on,auseuilde5%,conclurequelalivraisonestconformepourlalongueur?