Leçon 30 : groupes du parallélogramme, du rectangle, etc.

Universit´e Claude Bernard–Lyon I
CAPES de Math´ematiques : Oral
Ann´ee 2005–2006
Le¸con 30 : groupes du parall´elogramme,
du rectangle, etc.
Difficult´es de la le¸con
•D’abord, donner une d´efinition op´erationnelle d’un parall´elogramme, d’un rectangle, etc. :
ensemble de 4 points, ensemble de 4 segments, r´eunion de 4 segments (i.e. un seul en-
semble de points), ou enveloppe convexe des sommets ? Quelle que soit la d´efinition, il
faut savoir qu’une isom´etrie pr´eserve les sommets, le centre de gravit´e, les cˆot´es et les
diagonales.
•D’autre part, il faut une d´emarche pour d´eterminer le groupe des isom´etries.
–Pour rechercher les isom´etries positives, on cherche des contraintes.
–On n’oublie pas de v´erifier que les isom´etries candidates conviennent.
–Le lemme 2◦(a) est bien utile pour limiter les ´etudes de cas.
0◦Pr´erequis
On fixe un plan affine euclidien. On suppose connaˆıtre :
•quelques notions de base sur les groupes,
•quelques notions de base sur les plans affines euclidiens,
•en particulier, ses isom´etries (classification des isom´etries ayant un point fixe).
1◦Parall´elogrammes
(a) Strat´egie recommand´ee
Il faut donner une d´efinition des parall´elogrammes et s’y tenir : si on d´efinit un parall´elogramme
comme un ensemble form´e de quatre segments (voir la le¸con “polygones r´eguliers”), il faut
alors d´emontrer qu’une isom´etrie qui conserve le parall´elogramme conserve l’ensemble de ses
sommets.
Dans cette le¸con-ci, je conseille de d´efinir un parall´elogramme comme un ensemble non ordonn´e
de quatre points. Concr`etement, je conseille de dire les choses suivantes :
1. On d´efinit un parall´elogramme par [d´efinition ci-dessous].
2. On peut alors d´efinir les diagonales comme les segments qui contiennent le centre de
gravit´e, et les cˆot´es.
3. Une isom´etrie fconserve un parall´elogramme Psi f(P) = P. Les isom´etries qui conser-
vent Pforment un groupe.
4. Comme une isom´etrie est affine, si f(P) = P, alors ffixe le centre de gravit´e de P. Par
la mˆeme propri´et´e, elle envoie une diagonale sur une diagonale, et, par compl´ement, un
cˆot´e sur un cˆot´e.
Les d´etails, fort pesants, suivent. Savoir r´epondre `a une question du jury l`a-dessus...
(b) Parall´elogrammes
D´efinition On appelle parall´elogramme non plat une partie Pdu plan form´ee de quatre points,
telle qu’il existe une bijection
φ:{1,2,3,4} −→ P
i7−→ Ai
satisfaisant :
−→
A1A2=
−→
A4A3et
−→
A1A2,
−→
A1A3non colin´eaires.
1

Attention ! Avec des polygones moins r´eguliers que les parall´elogrammes, cette d´efinition
n’est pas op´erationnelle. Voir la “fl`eche”, le quadrilat`ere non convexe de G. Chevalier.
Convention Si Pest un parall´elogramme non aplati et si φest comme dans la d´efinition,
i.e. P={A3, A4, A2, A1}et
−→
A1A2=
−→
A4A3, on notera P=A1A2A3A4.
Remarque Si Pest un parall´elogramme non aplati, il y a 8applications φcomme dans la
d´efinition. Si on repr´esente φpar la suite ordonn´ee (A1, A2, A3, A4), ou plus simplement, 1234,
les autres sont 2341,3412,4123,4321,3214,2143,1432.
Il y a donc 8fa¸cons de noter un parall´elogramme {A3, A4, A2, A1}selon la convention.
(c) Cˆot´es et diagonales
Lemme Si Pest un parall´elogramme non aplati, le centre de gravit´e de Pest le milieu
d’exactement deux segments ayant pour extrˆemit´es des ´el´ements de P.
D´efinition On appelle segment port´e par une partie, tout segment dont les extrˆemit´es appar-
tiennent `a la partie. Parmi les segments port´es par un parall´elogramme, les deux segments du
lemme sont appel´es diagonales, les autres sont appel´es cˆot´es.
D´emonstration. Soit φcomme dans la d´efinition. L’´egalit´e
−→
A1A2=
−→
A4A3=−
−→
A3A4permet
de montrer que les milieux Ode [A1A3] et O0de [A2A4] co¨ıncident.1Par associativit´e du
barycentre, le point O=O0est le centre de gravit´e de P.
Pour montrer la deuxi`eme partie, il suffit de v´erifier que les 4 segments port´es par Pautres
que [A1A3] et [A2A4] ne contiennent pas O. Ici, on utilise le fait que Pn’est pas aplati.
(d) Conservation d’un parall´elogramme - propri´et´es de base
D´efinition Pour Pune partie du plan, on dit qu’une application fconserve Psi f(P)⊂P.
Lemme L’ensemble des isom´etries qui conservent une partie Pest un sous-groupe du groupe
des isom´etries. Si fest une isom´etrie qui conserve Pet Pest fini, on a : f(P) = P.
D´emonstration. Test du sous-groupe, injectivit´e des isom´etries, bijectivit´e d’une injection
d’un ensemble fini dans lui-mˆeme.
Proposition Soit Pun parall´elogramme non aplati et fune application affine bijective qui
conserve P. Alors ffixe le centre de gravit´e de P, envoie une diagonale de Psur une diagonale
et un cˆot´e sur un cˆot´e.
D´emonstration. Par hypoth`ese, finduit une bijection sur l’ensemble fini P. Puisque fest
affine, elle pr´eserve le barycentre. En particulier, Oest fix´e par fet l’image d’un segment port´e
par Pest port´e par P. Le milieu de l’image d’une diagonale est l’image du milieu, donc c’est
O, donc l’image d’une diagonale est une diagonale. Par suite, l’image d’un cˆot´e est un cˆot´e.
(e) Parall´elogrammes particuliers
D´efinition Un parall´elogramme non aplati est un rectangle (resp. un losange) si ses cˆot´es
cons´ecutifs (ayant un point commun) sont perpendiculaires (resp. isom´etriques). C’est un carr´e
si c’est un rectangle et un losange.
Proposition Un parall´elogramme non aplati est
(i) un rectangle si et seulement si ses diagonales sont isom´etriques.
(ii) un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.
1
−→
A1A4=
−→
A1A2+
−→
A2A3+
−→
A3A4=
−→
A2A3, puis,
−→
A1O=1
2
−→
A1A3=1
2
−→
A1A4+1
2
−→
A4A3=1
2
−→
A1A4+1
2
−→
A1A2=
−→
A1O0.
2

D´emonstration. (i) Un triangle est rectangle SSI il est inscrit dans un demi-cercle.
(ii) La m´ediatrice d’un segment est d’une part l’ensemble des points ´equidistants des extrˆemit´es
du segment, d’autre part la droite perpendiculaire au segment qui contient son milieu.
Remarque Il y a une dualit´e entre “le” rectangle et “le” losange, qu’on utilisera plus tard :
segments rectangle losange
cˆot´es perpendiculaires isom´etriques
diagonales isom´etriques perpendiculaires
2◦Deux lemmes triviaux mais utiles (le premier plus que l’autre)
(a) Isom´etries directes et indirectes
Lemme Soit Gun sous-groupe du groupe des isom´etries du plan, G+le sous-groupe de G
form´e des isom´etries de d´eterminant 1. Si G\G+contient un ´el´ement s, les applications
f7→ s◦fet f7→ s−1◦fsont des bijections r´eciproques entre G+et G\G+.
Utilisation : si on connaˆıt G+et card(G+) ´el´ements de G\G+, on connaˆıt donc Gentier.
(b) Cas de figures semblables
Lemme Soit Pet P0deux parties finies du plan, et hune similitude qui envoie bijectivement
Psur P0. Alors l’application
f7→ hfh−1
est un isomorphisme du groupe des isom´etries de Psur celui de P0.
3◦Groupe des isom´etries d’un parall´elogramme
(a) Soit P=ABCD un parall´elogramme non aplati qui n’est ni un losange, ni un rectangle.
Une isom´etrie qui conserve Pfixe le centre de gravit´e Ode P. C’est donc une rotation de
centre Oou une r´eflexion d’axe contenant O.
(b) Une isom´etrie qui fixe Oenvoie Asur A0∈ {A, B, C, D}tel que OA =OA0. Or, puisque
Pn’est pas un rectangle, OA 6=OB et OA 6=OD. Donc A0est Aou C.
(c) Comme une rotation est d´etermin´ee par son centre et l’image d’un point, une rotation qui
conserve Pest l’identit´e ou la sym´etrie de centre O.
Inversement, comme les diagonales de Pse coupent en O, la sym´etrie de centre Oconserve P.
(d) Supposons qu’il existe une r´eflexion qui conserve P. Si Aest fixe, l’axe de la r´eflexion est
(OA) = (AC), donc Cest fixe. Par compl´ement, Bet Dsont permut´es. Comme Bet Dne
sont pas sur (AC), c’est que (BD) est perpendiculaire `a l’axe de la r´eflexion, donc que Pest
un losange. Contradiction.
(e) Ainsi, le groupe d’un parall´elogramme qui n’est ni rectangle ni un losange contient l’identit´e
et la sym´etrie centr´ee au centre de gravit´e. Il est isomorphe `a Z/2Z.
4◦Groupe des isom´etries d’un losange et d’un rectangle
(a) Soit L=ABCD un losange qui n’est pas un rectangle. Les arguments de (a), (b) et (c)
ci-dessus s’appliquent encore, donc le groupe des rotations qui conservent Lle groupe form´e
par l’identit´e et la sym´etrie sOde centre O.
(b) La caract´erisation de la m´ediatrice permet de v´erifier que les deux r´eflexions s1et s2d’axes
les diagonales conservent le losange.
(c) Par le lemme utile 2◦(a), le groupe des isom´etries qui conservent Lest de cardinal 4.
(d) On constate que les trois ´el´ements non triviaux de ce groupe sont d’ordre 2, ce qui permet
d’affirmer qu’il est isomorphe `a Z/2Z×Z/2Z. On peut aussi donner un isomorphisme explicite :
s17→ (1,0), s27→ (0,1), sO7→ (1,1).
3

(e) Soit `a pr´esent R=IJKL un rectangle qui n’est pas un losange. On pourrait s’en tirer
avec des arguments analogues `a ceux qui pr´ec`edent, mais on va proc´eder diff´eremment.
Soit A,B,C,Dles milieux de [IJ], [JK], [KL], [LI]. Avec 1◦(e), on v´erifie que ABCD est
un losange. Par conservation du milieu, si une isom´etrie conserve R, elle conserve ABCD.I
J
K
L
A
B
C
D
A pr´esent, soit I0,J0,K0,L0les milieux de [AB], [BC], [CD], [DA]. Comme ci-dessus, si une
isom´etrie conserve ABCD, elle conserve I0J0K0L0.
(f) Or, on v´erifie sans peine que l’homoth´etie hde centre O, centre de gravit´e de R, et de
rapport 1/2, envoie Rsur R0=I0J0K0L0. Comme hcommute `a toute isom´etrie du plan qui fixe
O, l’isomorphisme de 2◦(b) est l’identit´e : les groupes de Ret de R0co¨ıncident. Les inclusions
de (e) montrent que c’est aussi celui de L.
Au bilan, le groupe des isom´etries de Rest le groupe d’ordre 4 engendr´e par les r´eflexions
d’axes les m´ediatrices des cˆot´es, qui sont les diagonales de L.
(g) Je ne sais pas expliquer a priori que tous les rectangles ont le mˆeme groupe de sym´etrie.
5◦Groupe des isom´etries d’un carr´e
(a) Soit C=ABCD un carr´e, Oson centre de gravit´e. Une isom´etrie directe qui conserve Cest
une rotation de centre O. Elle est parfaitement d´etermin´ee par l’image d’un point, par exemple
A, laquelle peut prendre 4 valeurs possibles. Il y a donc au plus 4 rotations qui conservent C.
Or, les rotations d’angles 0, ±π/2 et πconservent C, car les diagonales de Csont orthogonales
et de mˆeme longueur. Par suite, il y a exactement 4 rotations qui conservent C.
(b) Les 4 r´eflexions d’axes les diagonales et les m´ediatrices des cˆot´es conservent C, car Cest
un losange et un rectangle. Par le lemme utile de 2◦(a), on a fait le tour de ces choses.
(c) Le groupe des isom´etries qui conservent Cest donc d’ordre 8. On l’appelle groupe di´edral.
On montre qu’il est engendr´e par une rotation rd’angle ±π/2 et une r´eflexion s. On v´erifie
qu’il n’est pas commutatif : srs−1=r−1. Il contient un sous-groupe distingu´e, isomorphe `a
Z/4Z(les rotations) et le quotient est isomorphe `a Z/2Z.
(d) Le lemme 2◦(b) donne une bonne raison a priori pour laquelle tous les carr´es ont le mˆeme
groupe d’isom´etries, car tous les carr´es sont semblables.
6◦Compl´ements
(a) On peut savoir qu’il y a un seul autre groupe non ab´elien de cardinal 8, qu’on d´ecrit par :
Q={±1,±i, ±j, ±k}, o`u le produit est d´etermin´e par : 1 est neutre, (−1) commute `a tout le
monde ((−1)i=i(−1) = −i, etc.), i2=j2=k2=−1, ij =−ji =k.
Le groupe du carr´e et le groupe Qne sont pas isomorphes, car le groupe du carr´e contient 2
´el´ements d’ordre 4 (ret r3), alors que Qen contient 6 (±i,±jet ±k).
(b) Montrons a priori que le groupe de n’importe quel rectangle s’injecte dans celui du carr´e.
Fixons une affinit´e ade rapport convenable qui transforme notre rectangle ABCD en un carr´e
A0B0C0D0. Consid´erons alors l’application f7→ af a−1d´efinie sur l’ensemble des applications
affines du plan. Si fconserve le rectangle, alors af a−1pr´eserve les sommets du carr´e, comme
dans le lemme 2◦(b).
Or, toute application affine bijective qui pr´eserve le carr´e est une isom´etrie, ce que l’on peut
v´erifier par exemple en consid´erant l’image du rep`ere (O0,
−→
O0A0,
−→
O0B0) (o`u, bien sˆur, O0est le
centre du carr´e A0B0C0D0). L’application f7→ afa−1induit donc une injection des applications
affines qui pr´eservent un rectangle dans le groupe des isom´etries du carr´e.
(c) L’int´erˆet du point (b), c’est de fournir un traitement de la le¸con en sens inverse : du carr´e
vers les parall´elogrammes plus g´en´eraux.
En effet, connaissant le groupe du carr´e, il est facile de tester, pour gisom´etrie du carr´e, si
a−1ga est une isom´etrie du rectangle. Plus g´en´eralement, cette m´ethode marche pour n’importe
quel parall´elogramme.
(d) Noter que le groupe du carr´e d´ecrit aussi les fa¸cons de num´eroter les parall´elogrammes
(voir 1◦(b)). Pouvez-vous l’expliquer `a l’aide de (b) ?
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