Dm4 repérage équations

Corrig´e du devoir maison no4
Exercice 1
On d´esire imprimer une carte de vœux carr´ee. On souhaite cepen-
dant laisser une marge de 2 cm en haut et en bas, et une marge
de 1 cm `a gauche et `a droite.
x
1
2
1. On suppose que le cˆot´e du carr´e mesure 7 cm.
D´eterminer l’aire de la surface imprimable (partie hachur´ee
sur la figure).
La partie imprimable est un rectangle de dimensions L=
7−2×1 = 5 et ℓ= 7 −2×2 = 3.
Aire(rectangle) = L×ℓ= 5 ×3 = 15.
Dans ce cas, la surface imprimable est de 15 cm2.
2. D´esormais, on suppose que le cˆot´e du carr´e mesure xcm,
xappartenant `a l’intervalle [5; 10], et on note f(x) l’aire en
cm2de la surface imprimable.
(a) Exprimer f(x) en fonction de xet v´erifier que
f(x) = x2−6x+ 8.
La partie imprimable est un rectangle de dimensions
(x−2) et (x−4).
f(x) = (x−2)(x−4)
=x2−4x−2x+ 8
=x2−6x+ 8
Donc f(x) = x2−6x+ 8.
(b) Montrer que f(x) = (x−3)2−1.
(x−3)2−1 = x2−6x+ 9 −1
=x2−6x+ 8
=f(x)
Donc f(x) = (x−3)2−1.
(c) R´esoudre l’´equation f(x) = 8, et en d´eduire la longueur
du cˆot´e de la carte dont la surface imprimable est de 8
cm2.
f(x) = 8
(x−3)2−1 = 8
(x−3)2−9 = 0
(x−3)2−32= 0
(x−3 + 3)(x−3−3) = 0
x(x−6) = 0
x= 0 ou x−6 = 0
x= 0 ou x= 6
Les solutions de l’´equation f(x) = 8 sont 0 et 6.
Comme xd´esigne la longueur du cˆot´e de la carte de
vœu, il est clair que x > 0. On doit exclure la solution
0.
La surface imprimable est de 8 cm2lorsque le cˆot´e de la
carte mesure 6 cm.
1

Exercice 2
On donne l’algorithme suivant :
Variables : xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD,xI,yIsont des nombres.
D´ebut
Lire xA,yA,xB,yB,xC,yC
xIprend la valeur (xA+xC)/2
yIprend la valeur (yA+yC)/2
xDprend la valeur 2xI−xB
yDprend la valeur 2yI−yB
Afficher xD
Afficher yD
Fin
1. On donne A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1).
Faire fonctionner l’algorithme, puis placer les points A,B,
C,Iet Ddans un rep`ere.
On a xI=0 + 1
2= 0,5, et yI=0 + 1 2= 0,5.
Puis xD= 2 ×0,5−1 = 0, et yD= 2 ×0,5−0 = 1.
On obtient I(0,5; 0,5), puis D(0; 1).
0.5
1.0
0.5 1.0 1.5
AB
C
D
I
2. On donne A(2; −1), B(−3; 1), C(4; 5).
Faire fonctionner l’algorithme, puis placer les points A,B,
C,Iet Ddans un rep`ere.
On a xI=2 + 4
2= 3, et yI=−1 + 5 2= 2.
Puis xD= 2 ×3−(−3) = 9, et yD= 2 ×2−1 = 3.
On obtient I(3; 2), puis D(9; 3).
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
123456789−1−2−3−4
A
B
C
D
I
3. Que semble faire cet algorithme ?
Il semble que Dsoit le point tel que ABCD soit un pa-
rall´elogramme.
4. Montrer ce r´esultat.
D’apr`es l’algorithme, xI=xA+xC
2et yI=yA+yC 2.
Donc Iest le milieu de [AC].
Montrons que Iest aussi le milieu de [BD].
On a xD= 2xI−xB, donc xB+xD= 2xI, soit
xI=xB+xD
2.
De mˆeme, on montre que yI=yB+yD
2.
Donc Iest le milieu de [BD], (Dest le sym´etrique de B
par rapport `a I).
Donc les diagonales de ABCD ont le mˆeme milieu I, ce qui
montre que ABCD est un parall´elogramme.
Donc Dest le point tel que ABCD soit un parall´elogramme.
2