Irrégularité et Conducteur de Swan p

413
Documenta Math.
Irrégularité et Conducteur de Swan p-adiques
Adriano Marmora
Received: July 6, 2004
Communicated by Takeshi Saito
Abstract. Let V be a de-Rham representation of the Galois group of
a local field of mixed characteristic (0, p). We relate the Swan conductor of the associated Weil-Deligne representation to the irregularity of
the corresponding p-adic differential equation.
2000 Mathematics Subject Classification: 11F80,11F85,11S15,12H25
Keywords and Phrases: p-adic representation, de-Rham representation, Swan conductor, p-adic differential equation, p-adic irregularity.
1
Introduction
Soient K un corps de valuation discrète complet de caractéristique 0, de corps
résiduel k parfait de caractéristique p > 0, et K une clôture algébrique de
K. On note GK le groupe de Galois de K/K et IK le sous-groupe d’inertie.
Fontaine a défini une hiérarchie sur les représentations p-adiques de GK (i.e.
les Qp -espaces vectoriels de dimension finie munis d’une action continue de
GK ) : représentations de de Rham ⊃ rep. semi-stables ⊃ rep. cristallines.
Le théorème de monodromie p-adique affirme que toute représentation de
de Rham est potentiellement semi-stable, i.e. sa restriction à un sous-groupe
ouvert de GK est semi-stable. Le but de cet article est l’étude d’invariants
numériques qui mesurent le défaut de semi-stabilité de représentations potentiellement semi-stables. Une telle représentation est entièrement décrite par
son module de Weil-Deligne Dpst (V ). Celui-ci est muni d’une action de GK
dont la restriction à l’inertie se factorise par un quotient fini. Fontaine [10]
définit les conducteurs de Swan et d’Artin de V , notés respectivement sw(V )
et ar(V ), comme étant les conducteurs de Swan et d’Artin de Dpst (V ). Dans
un travail récent [3], Berger associe à toute représentation de de Rham V une
équation différentielle p-adique NdR (V ) munie d’une structure de Frobenius.
À une équation différentielle p-adique M munie d’une structure de Frobenius,
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Christol et Mebkhout [7] associent un invariant entier irr(M ), l’irrégularité de
M.
Pour tout n ∈ N, soient µn le groupe des racines pn -ièmes de l’unité dans K
et Kn = K(µn ). Pour une représentation p-adique V de GK , on note Vn sa
restriction au sous-groupe Gal(K/Kn ). Le résultat principal de cet article est
le suivant.
Théorème 1.1. Pour toute représentation de de Rham V de GK , on a
irr(NdR (V )) = lim sw(Vn ).
n→+∞
Le théorème 1.1 est l’analogue en caractéristique zéro d’un théorème de Tsuzuki
en caractéristique p > 0. Soit E un corps de valuation discrète complet, de
caractéristique p et de corps résiduel parfait. Dans [22], Tsuzuki montre que
la catégorie des représentations p-adiques de GE = Gal(E sep /E) dont l’inertie
agit par un quotient fini (monodromie finie), est équivalente à la catégorie des
ϕ-∇-modules étales sur un corps valué E † (E) de caractéristique 0, d’anneau
d’entiers hensélien et de corps résiduel E (voir §4.3 pour la définition). Puis
dans [23], il démontre l’égalité entre le conducteur de Swan de la restriction à
l’inertie d’une telle représentation et l’irrégularité du ∇-module correspondent.
Dans la démonstration de 1.1, on se ramène, par la théorie du corps des normes,
au cas d’un corps de valuation discrète complet d’égale caractéristique p > 0.
Cependant, on ne peut pas appliquer directement le résultat de Tsuzuki, car
dans notre cas, l’action de l’inertie ne se factorise pas par un quotient fini.
La stratégie de la démonstration consiste à décrire la représentation de WeilDeligne en termes de l’équation différentielle de Berger, puis de reprendre une
partie de la preuve de Tsuzuki (l’induction de Brauer). Comme corollaires du
théorème 1.1, on en déduit un résultat analogue pour le conducteur d’Artin
(cf. 5.7) et l’égalité entre un polygone de Newton de pentes p-adiques et une
limite de polygones de Newton de pentes de Swan (cf. 5.9).
Quand cet article a été déjà achevé, l’auteur a reçu une prépublication
de P.Colmez [6] dont le résultat principal est une formule pour sw(V ) en
termes d’une filtration sur DdR (V ). Les deux travaux sont indépendants et
les méthodes utilisées semblent différentes.
Cet article est une partie de la thèse de doctorat en mathématique que je
prépare à l’université de Paris 13, sous la direction d’Ahmed Abbes. Je tiens
ici à le remercier pour son soutien constant tout le long de ce travail et ses
lectures attentives des versions préliminaires de ce texte. Je remercie également
le referee qui, par ses remarques, a amélioré ce manuscrit.
Notations
Soient k un corps parfait de caractéristique p > 0, W = W(k) (resp. Wn =
Wn (k)) l’anneau des vecteurs de Witt infinis (resp. de longueur n ≥ 1) et
Ka = Fr W le corps des fractions de W . On note | · | la valeur absolue de Ka
normalisée par |p| = p−1 et σ l’endomorphisme de Frobenius agissant sur k,
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Wn , W et Ka . On fixe une extension finie K/Ka totalement ramifiée et une
clôture algébrique K de K. On note OK la clôture intégrale de OK dans K, k
son corps résiduel, OC le complété p-adique de OK et C = Fr OC . Pour toute
extension finie L de Ka , contenue dans K, on note OL son anneau d’entiers, kL
son corps résiduel et La = Fr W(kL ). Pour tout n ∈ N, soient µn le groupe des
racines pn -ièmes de l’unité dans K et Ln = L(µn ). On note L∞ la réunion des
Ln , pour n ∈ N, HL = Gal(K/L∞ ) et ΓL = Gal(L∞ /L). Soit χ : GK → Z∗p le
caractère cyclotomique. Une représentation galoisienne p-adique (ou une Qp représentation galoisienne) est un Qp -espace vectoriel de dimension finie, muni
d’une action linéaire et continue de GK . On note RepQp (GK ) la catégorie des
Qp -représentations de GK .
2
Conducteurs
On note Bcris et Bst = Bcris [X] les anneaux des périodes de Fontaine associés à
K (cf. [12]). Soient N : Bst → Bst la Bcris -dérivation qui envoie X sur −1 et ϕ
le Frobenius agissant sur Bcris et Bst . Cettes applications vérifient N ϕ = pϕN .
Ces anneaux sont munis d’une action continue de GKa commutante avec ϕ et
N . Soit L/Ka une extension finie contenue dans K. On note GL = Gal(K/L).
GL
L
On rappelle que BG
st = Bcris = La (cf. [13, 5.1.2] et [12, 4.2.5]).
G
Pour tout V ∈ RepQp (GK ), Fontaine définit Dcris (V ) = (Bcris ⊗Qp V ) K et
G
Dst (V ) = (Bst ⊗Qp V ) K . Ce sont des Ka -espaces vectoriels de dimensions
inférieures où égales à la dimension de V sur Qp . Le Frobenius de Bcris induit
un endomorphisme σ-semi-linéaire ϕ : Dcris (V ) → Dcris (V ), appelé Frobenius.
L’espace Dst (V ) est muni d’un Frobenius ϕ et d’un endomorphisme Ka -linéaire
N , vérifiant N ϕ = pϕN . On rappelle que V est dite cristalline (resp. semistable) si dimKa Dcris (V ) = dimQp V (resp. dimKa Dst (V ) = dimQp V ). Elle est
dite potentiellement cristalline (resp. potentiellement semi-stable) s’il existe
une extension finie K 0 /K telle que la restriction de V à GK 0 est cristalline
(resp. semi-stable). On note P le corps K ⊗Ka Fr W(k). C’est le complété padique de l’extension maximale non-ramifiée K nr de K dans K. Le groupe
d’inertie absolu de K est canoniquement isomorphe à GP , le groupe de Galois absolu de P . Dans la suite, pour tout V ∈ RepQp (GK ), on considère la
restriction de V à IK comme une représentation p-adique de GP . Par [12,
5.1.5], une représentation V est cristalline (resp. potentiellement cristalline,
resp. semi-stable, resp. potentiellement semi-stable) si et seulement si sa restriction à IK est cristalline (resp. potentiellement cristalline, resp. semi-stable,
resp. potentiellement semi-stable).
Soit V une représentation p-adique potentiellement semi-stable de dimension
G0
n. Fontaine définit Dpst (V ) = limG0 ≤G (Bst ⊗Qp V ) , où la limite est prise
−→
K
sur les sous-groupes ouverts G0 de GK (cf. [13, 5.6.4]). C’est un Kanr -espace
vectoriel de dimension n, muni d’une action semi-linéaire de GK . Si L/K est
une extension galoisienne finie telle que V est semi-stable comme représentation
G
de GL , alors (Bst ⊗Qp V ) L est un La -espace vectoriel de dimension n et l’action
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de GK se factorise par Gal(L/K). On a un isomorphisme de représentations
G
Dpst (V ) ∼
= Kanr ⊗La (Bst ⊗Qp V ) L . Par conséquent la restriction Dpst (V )|IK
est une représentation linéaire de IK qui se factorise à travers le sous-groupe
d’inertie de Gal(L/K).
Définition 2.1. [10, 7.4.7] Soit V une représentation p-adique potentiellement
semi-stable. Les conducteurs de Swan et d’Artin de Dpst (V )|IK sont aussi appelés conducteur de Swan et d’Artin de V et notés respectivement sw(V ) et
ar(V ).
Si GK agit par un quotient fini Gal(L/K) sur V , alors Dpst (V ) = Kanr ⊗Qp
V et sw(V ) et ar(V ) coı̈ncident avec sw(Gal(L/K), V ) et ar(Gal(L/K), V )
respectivement.
Pour une représentation V potentiellement semi-stable, on considère aussi la
variante
arcris (V ) = ar(V ) + dimKa Dst (V ) − dimKa Dcris (V ).
3
3.1
Théorie de Hodge p-adique et (ϕ, Γ)-modules
Les anneaux
On pose OE = limn∈N (Wn JT K[ T1 ]), qui est aussi la complétion p-adique de
←−
W JT K[ T1 ]. C’est un anneau de valuation discrète, complet, de caractéristique 0,
absolument non ramifié, de corps résiduel k((T )). Son corps de fractions OE [1/p]
est canoniquement isomorphe à
( +∞
)
¯
X
¯
n¯
an T ¯ an ∈ Ka , (an )n∈Z bornée et lim |an | = 0 .
E=
n→−∞
n=−∞
On pose
†
E =
(
+∞
X
¯
¯
an T ∈ E ¯¯ ∃ 0 < ρ < 1 vérifiant
n
n=−∞
n
lim |an |ρ = 0
n→−∞
)
,
l’anneau des séries dans E qui convergent sur une couronne
{x ∈ C | ρ ≤ |x|C < 1} pour un réel 0 < ρ < 1. Pour tout s ∈ E † , on
note v1 (s) = inf n∈Z vKa (an ) la valuation de Gauss. On rappelle que cette
valuation sur E † est discrète et que l’anneau de valuation OE † est hensélien,
de corps résiduel k((T ))(cf.[16, §2]).
On note aussi σ l’endomorphisme x 7→ xp de OK /pOK . Soit R (cf. [11, §A3.1.1])
la limite projective du système
σ
σ
σ
σ
· · · −→ OK /pOK −→ OK /pOK −→ OK /pOK −→ OK /pOK .
C’est une k-algèbre intègre, parfaite de caractéristique p. On dispose de
p
la description suivante : R ∼
= {(x(n) )n∈N | x(n) ∈ OC , (x(n+1) ) = x(n) },
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où, à droite, la multiplication est donnée composante par composante et la
pm
(n)
somme par la formule (x + y)
= limm→+∞ (x(n+m) + y (n+m) ) . L’anneau
R est complet pour la valuation (non-discète) définie, pour tout x ∈ R, par
vR (x) = vC (x(0) ), où vC est la valuation de C normalisée par vC (p) = 1.
Le corps Fr R est algébriquement clos (cf. [11, A3.1.6]). On rappelle que
W (O /pOK ), où les applications de transition sont la comW(R) ∼
= lim
←−n∈N n K
position des morphismes de troncation et du Frobenius σ de OK /pOK . C’est
une W(k)-algèbre. Le groupe GKa agit par fonctorialité sur W(R) et W(Fr R).
On appelle ϕ le Frobenius de W(R) (resp. W(Fr R)). On fixe une fois pour
toutes un élément ε ∈ R tel que ε(0) = 1 et ε(1) 6= 1. Pour tout x dans R, on
note [x] son relèvement de Teichmüller dans W(R).
pn
= 0 dans Wn (OK /pOK ).
On vérifie facilement que ((ε(n) , 0, . . . , 0) − 1)
n
On en déduit, pour tout n ∈ N, un morphisme continu W [T ]/T p →
(n)
−n
Wn (OK /pOK ), qui envoie T sur (ε , 0, . . . , 0) − 1 et w ∈ W sur σ (w).
D’où un morphisme continu de W -algèbres W JT K → W(R), qui envoie T
dans [ε] − 1. Comme [ε] − 1 est inversible dans W(Fr R), on obtient un homomorphisme continu de W -algèbres W JT K[ T1 ] → W(Fr R), qui se factorise
par complétion p-adique en
W JT K[ T1µ r ]
HH
HH
HH
HH
H$$
OE
// W(Fr R)
v;;
vv
v
v
vv i
vv
L’homomorphisme i est injectif car i(p) 6= 0. En inversant p, on obtient i : E →
Fr W(Fr R).
Lemme 3.1. [11, A3.2.2] Les anneaux i(E) et i(E † ) ne dépendent pas du choix
de ε . Ils sont stables par les actions de GKa et du Frobenius ϕ sur W(Fr R).
Les actions induites de GKa et de ϕ sur E et E † sont données par
∀g ∈ GKa ,
g(T ) = (T + 1)χ(g) − 1,
ϕ(T ) = (T + 1)p − 1.
L’action de GKa se factorise par ΓKa .
On rappelle brièvement la construction du corps des normes (cf. [25, §2.2]).
L’extension maximale modérément ramifiée de K dans K∞ est finie. Soit
n1 le plus petit entier tel que K∞ /Kn1 soit totalement sauvagement ramifiée. On choisit une uniformisante u de Kn1 . Pour tout n ≥ n1 , le Frobenius de OKn+1 /uOKn+1 se factorise à travers OKn /uOKn ⊂ OKn+1 /uOKn+1 .
Soit λn : OKn+1 /uOKn+1 → OKn /uOKn le morphisme ainsi défini. On pose
OEK = limn∈N OKn /uOKn , où les applications de transitions sont les λn . C’est
←−
un anneau de valuation discrète, complet, de corps résiduel canoniquement isomorphe au corps résiduel de K∞ , qui est une extension finie k 0 de k. Il ne
dépend pas du choix de u. Soit EK = Fr OEK . Par fonctorialité de la construcsep
tion, on associe à K une clôture séparable Esep
K de EK et Gal(EK /EK ) est
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canoniquement isomorphe à HK . Pour tout n ≥ n1 , on a un diagramme commutatif
Ä
// O /uO
OKn+1 /uOKn+1 Â
K
K
λn
²²
Ä
OKn /uOKn Â
σ
²²
// O /uO
K
K
O /uOK , on en déduit des applications injectives
Comme R ∼
= lim
←−n≥n1 K
OEK ,→ R et EK ,→ Fr R.
Soient E nr l’extension maximale non-ramifiée de E dans Fr W(Fr R) et OEsh son
anneau d’entiers. Par fonctorialité de la hensélisation, GKa et ϕ agissent sur E nr .
L’inclusion i : OE ,→ W(Fr R) induit, par réduction modulo p, un isomorphisme
canonique entre les corps résiduels de OE et EKa . Par conséquent, Gal(E nr /E)
est canoniquement isomorphe à HKa . Soit L une extension finie de Ka . On
H
pose EL = (E nr ) L . C’est une extension finie non ramifiée de E. Elle est munie
d’actions naturelles de ΓL et de ϕ . Pour L/Ka finie galoisienne, EL est muni
d’une action naturelle de Gal(L∞ /Ka ). On note OEL l’anneau de valuation de
0
0
EL . On note kL
le corps résiduel de EL et L0 = Fr W(kL
). Si L est absolument
0
0
non-ramifié, alors kL = kL et L = La = L (cf. [20, Ch.IV, Prop.17]). Dans ce
cas le corps EL a la description simple suivante.
Lemme 3.2. Soit L/Ka une extension finie non-ramifiée. Il existe un isomorphisme canonique EL ∼
= E ⊗Ka L, compatible avec l’action de ΓL et du Frobenius. Pour L/Ka finie galoisienne, cet isomorphisme est compatible à l’action
de Gal(L∞ /Ka ).
Démonstration. L’anneau E⊗Ka L est un corps car Ka est algébriquement fermé
dans E et p est inversible. Comme L = La ⊆ Fr W(Fr R), l’inclusion i s’étend,
par linéarité, en iL : E ⊗Ka L ,→ Fr W(Fr R). L’image de cette application est
contenue dans EL . On a |iL (E ⊗Ka L) : E| = |kL : k| = |EL : EKa | = |EL : E|,
donc iL (E ⊗Ka L) = EL .
Proposition 3.3. [11, A2.2.1] Soient π une uniformisante de EL et π un
relèvement dans OEL . Il existe un unique isomorphisme continu de L0 -algèbres,
ψπ : EL0 → EL qui envoie T sur π.
Démonstration. L’anneau OEL est de valuation discrète, complet, absolument
non-ramifié. C’est donc un anneau de Cohen (cf. [9, IV0 19.8.5] ). Par [9,
IV0 19.8.6(ii)] il existe un isomorphisme ψ : OEL0 → OEL relevant l’isomor0
phisme kL
((T )) → EL qui envoie T sur π. On note ω = π − ψ(T ) ∈ pOEL . Soit
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s=
P
m
X
n∈Z
an T n ∈ OEL0 . On écrit
n
an π =
m
X
n
an (ψ(T ) + ω) =
m
X
j=0
Ãm−j
X
i=0
m
X
an
n=0
n=0
n=0
=
419
aj+i
µ
n µ ¶
X
n
i=0
i
i
ψ(T ) ω n−i =
Ãm−j
!
µ
¶ !
¶
m
X
X
j
+
i
j+i
i
T i ωj ,
ψ
ψ(T ) ω j =
aj+i
i
i
j=0
i=0
¡j+i¢ i
P+∞
où j = n − i. PourP
tout j ∈ N, P
on pose sj =
i=0 aj+i i T ∈ OEL0 .
j
n
On définit ψπ (s) =
j≥0 ψ(sj )ω , qui converge p-adiquement
n<0 an π +
car ω ∈ pOEL et limn→−∞ an = 0. L’application ψπ est un isomorphisme
OEL0 → OEL , qui envoie T sur π. On la prolonge en un isomorphisme EL0 → EL .
L’unicité est évidente.
Soient OEsh† l’hensélisé strict de OE † dans W(Fr R) et E †
nr
son corps des fracnr
tions. Par fonctorialité de la hensélisation, GKa et ϕ agissent sur E † . Comme
plus haut, l’inclusion canonique OEsh† ,→ W(Fr R) induit un isomorphisme
nr HL
nr
†
Gal(E † /E † ) ∼
= HKa . Soit L une extension finie de Ka . On pose EL = (E † ) .
†
C’est une extension finie non ramifiée de E , de corps résiduel EL . Pour L/Ka
finie galoisienne non-ramifiée, on démontre comme dans le lemme 3.2, qu’il y
†
a un isomorphisme canonique, E † ⊗Ka L ∼
= EL , compatible avec l’action de
Gal(L∞ /Ka ) et du Frobenius.
Proposition 3.4. [16, Prop. 3.4] Soit π une uniformisante de EL . Il existe
un relèvement π de π dans OE † tel que sous l’isomorphisme ψπ : EL0 → EL , on
L
ait ψπ (EL† 0 ) = EL† .
On note
( +∞
)
¯
X
¯
n¯
n
R=
an T ¯ an ∈ Ka , ∃ρc ∈ ]0, 1[ t.q. ∀ρ ∈ ]ρc , 1[ , lim |an |ρ = 0 .
n→±∞
n=−∞
On munit cet anneau d’une action du Frobenius et de ΓKa en posant :
p
ϕ(T ) = (1 + T ) − 1 et ∀γ ∈ ΓKa ,
χ(γ)
γ(T ) = (1 + T )
− 1.
On pose t = log(T + 1) ∈ R, qu’on note aussi abusivement log[ε], bien qu’il
n’appartienne pas à W(Fr R). On a une inclusion E † ⊂ R compatible avec les
actions du Frobenius et de ΓKa .
Pour toute extension finie L/Ka , on pose RL = R⊗E † EL† . On vérifie que cet anneau est intègre. C’est une extension étale finie de R. On le munit du Frobenius
produit tensoriel des Frobenius sur R et sur EL† . Si L/Ka est galoisienne finie,
alors le groupe Gal(L∞ /Ka ) agit sur RL en agissant sur R à travers le quotient
Gal(L∞ /(Ka )∞ )
= R. On vérifie
ΓKa et sur EL† via son action naturelle. On a RL
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p
χ(γ)
facilement que log (1+TT )p −1 ∈ R et pour tout γ ∈ ΓKa , log (1+T )T −1 ∈ R.
On prolonge les actions de ϕ et Gal(L∞ /Ka ) à l’anneau des polynômes RL [X]
par
(1 + T )p − 1
Tp
χ(γ)
(1 + T )
−1
γ(X) = X + log
.
T
ϕL (X) = pX + log
∀γ ∈ Gal(L∞ /Ka ),
On notera formellement X = log T . On désigne par R[1/t] (resp. R[log T ][1/t])
le localisé de R (resp. R[log T ]) en t. Dans la suite, on considérera souvent
sur RL [1/t] et RL [log T ][1/t] l’action du sous groupe ΓL de Gal(L∞ /Ka ). On
vérifie que (cf. [3, Prop. 3.3] )
(RL [log T ][1/t])
ΓL
= La .
Soit L/Ka une extension finie galoisienne, on a RL0 ∼
= R ⊗Ka L0 . Si on prend
†
un relevement π ∈ EL d’une uniformisante de EL , satisfaisant la proposition
3.4, alors ψπ se prolonge en un isomorphisme ψπ : RL0 → RL .
3.2
Le théorème de comparaison de Berger
Un (ϕ, Γ)-module sur OEK (resp. EK ) est un OEK -module de type fini (resp.
un EK -espace vectoriel de dimension finie) muni d’une action semi-linéaire et
continue de ΓK et d’un endomorphisme ϕ semi-linéaire par rapport au Frobenius de OEK (resp. EK ) commutant entre eux. On dit qu’un (ϕ, Γ)-module M
sur OEK est étale si l’image ϕ(M) engendre M sur OEK .
Pour tout (ϕ, Γ)-module M sur EK on peut choisir un réseau stable par ϕ et
ΓK , qui est donc un (ϕ, Γ)-module sur OEK . On dit qu’un (ϕ, Γ)-module M
sur EK est étale s’il existe un réseau M de M stable par ΓK et ϕ qui est étale.
On note ΦΓét
EK la catégorie dont les objets sont les (ϕ, Γ)-modules étales et les
morphismes sont les applications linéaires commutant avec ϕ et ΓK . Dans [11],
Fontaine construit une équivalence de catégories entre RepQp (GK ) et ΦΓét
EK . On
nr
c
rappelle sa construction brièvement. On note E le completé p-adique de E nr .
Pour toute Qp -représentation V de GK , on considère le EK -espace vectoriel
HK
nr
muni des actions semi-linéaires de ΓK et de ϕ . C’est
D(V ) = (Ec
⊗Qp V )
ét
un objet de ΦΓEK . Le foncteur D définit une équivalence de catégories entre
RepQp (GK ) et ΦΓét
EK .
Théorème 3.5 (Cherbonnier-Colmez). [5, III 5.2] Soit V ∈ RepQp (GK ).
†
La famille des sous-EK
-modules de type fini de D(V ) stables par ϕ et ΓK admet
un plus grand élément D† (V ) et on a
D(V ) = EK ⊗E † D† (V ).
K
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Irrégularité et Conducteur de Swan p-adiques
421
Pour toute représentation p-adique V de GK , Berger définit D†rig (V ) = RK ⊗E †
K
D† (V ) et D†log (V ) = RK [log T ] ⊗E † D† (V ) avec les actions évidentes de ϕ et
K
ΓK (cf.[3, §3.2]). Soit L/K une extension galoisienne finie. Le module D(V|GL ),
est muni naturellement d’une action de Gal(L∞ /K). Par le théorème 3.5, on
obtient une action de Gal(L∞ /K) sur D† (V|GL ) et donc sur D†rig (V|GL ) et
D†log (V|GL ).
Théorème 3.6 (Berger). [3, 3.6] Soit V est une représentation p-adique de
GK . On a des isomorphismes canoniques :
†
Dcris (V ) ∼
= (Drig (V )[1/t])
ΓK
†
et Dst (V ) ∼
= (Dlog (V )[1/t])
ΓK
.
Soit L/K une extension galoisienne finie. Alors les isomorphismes ci-dessus
ΓL
ΓL
†
†
Dcris (V|GL ) ∼
sont
et Dst (V|GL ) ∼
= (Drig (V|GL )[1/t])
= (Dlog (V|GL )[1/t])
équivariants pour les actions naturelles de Gal(L/K).
Remarque 3.7. Dans [3, 3.6], l’assertion sur l’équivariance par rapport à
Gal(L/K) n’apparait pas. C’est une conséquence immédiate de la
démonstration. On l’a mise en évidence pour l’importance qu’elle jouera
dans la suite.
4
Équations différentielles p-adiques
Soit Ω̂1R/Ka le module des différentielles continues de R sur Ka . C’est un Rd[ε]
module libre de rang 1 de base TdT
+1 = [ε] . Soient L/Ka une extension finie et
L0 l’extension finie non-ramifiée de Ka qui lui est associée dans la section §3.1
(au dessus de Lemme 3.2). Comme R ,→ RL est étale finie et L0 /Ka est finie, on
a un isomorphisme canonique Ω̂1RL /L0 ∼
= RL ⊗R Ω̂1R/Ka . On étend la dérivation
d : R → Ω̂1R/Ka en d : R[log T ] → Ω̂1R/Ka , en posant d(log T ) = T1 dT . Le corps
des constantes de RL [1/t] et de RL [log T ] est L0 .
On appelle équation différentielle p-adique (ou module à connexion) sur RK un
RK -module de présentation finie muni d’une connexion. On démontre qu’un
tel module est forcement libre (cf. [2, Prop. 2.3]). Une équation différentielle
p-adique est dite unipotente (resp. quasi-unipotente) si elle est extension itérée
d’équations différentielles triviales (resp. s’il existe une extension finie L/K telle
que M ⊗RK RL soit unipotente). On dit qu’une équation différentielle p-adique
M est munie d’une structure de Frobenius s’il existe un endomorphisme ϕM :
M → M , ϕ-semi-linéaire, horizontal, tel que ϕM (M ) engendre M sur RK .
4.1
Équation
différentielle
représentation de de Rham
p-adique
associée
à
une
Soit V une représentation galoisienne p-adique de GK . On rappelle que Berger
démontre que pour tout x ∈ D†rig (V )[1/t], la limite limγ→Id ΓK γ(x)−x
χ(γ)−1 existe
Documenta Mathematica 9 (2004) 413–433
422
Adriano Marmora
(cf. [3, §5.1]). On note cette limite ν(x). L’application x 7→ t−1 ν(x) ⊗ TdT
+1
définit une connexion ∇V : D†rig (V )[1/t] → D†rig (V )[1/t] ⊗RK Ω̂1RK /K 0 .
Soit V une représentation de de Rham de dimension n. On rappelle que Berger
montre qu’il existe un unique sous-RK -module libre de rang n de D†rig (V )[1/t]
stable par t−1 ν. On l’appelle NdR (V ). Il est stable par l’action du Frobenius
et de ΓK (cf. [3, §5.4 et §5.5] ou [4, IV.4]). On vérifie qu’il est une muni
d’une structure de Frobenius. Par construction, on associe à un morphisme de
représentations de de Rham V1 → V2 , un morphisme d’équations différentielles
p-adiques NdR (V1 ) → NdR (V2 ).
Théorème 4.1 (Berger). [3, 5.20] On a un foncteur additif V 7→ NdR (V ), de
la catégorie des représentations p-adiques de de Rham de GK , dans la catégorie
des équations différentielles p-adiques sur RK munies d’une structure de Frobenius. Ce foncteur associe à une représentation de dimension n une équation
différentielle de rang n. C’est un ⊗-foncteur exacte et fidèle. L’équation NdR (V )
est quasi-unipotente si et seulement si la représentation V est potentiellement
semi-stable. L’équation NdR (V ) est unipotente (resp. triviale) si et seulement
s’il existe n tel que la restriction de V à GKn soit semi-stable (resp. cristalline).
On étend ∇V en une connexion ∇V sur D†log (V ) et NdR (V ) ⊗RK RK [log T ], en
posant ∇V (log T ) = dT
T .
Soit M un module à connexion sur RK . On vérifie aisément que la dimension
sur L0 des sections horizontales de M ⊗RK RL [log T ] est inférieure ou égale au
rang de M . Si on a l’égalité on dit que M est triviale sur RL [log T ]. Le module
M est unipotent si et seulement si M est triviale sur RK [log T ].
Corollaire 4.2. Si V est cristalline (resp. semi-stable), alors
³
∇V
∇
†
∼
Dcris (V ) ⊗Ka K 0 ∼
= (NdR (V )) V
= (Drig (V )[1/t])
∇V
∇
†
∼
resp. Dst (V ) ⊗Ka K 0 ∼
= (NdR (V ) ⊗RK RK [log T ]) V
= (Dlog (V )[1/t])
´
.
ΓK
†
Démonstration. Le théorème 3.6 implique que Dcris (V ) ∼
= (Drig (V )[1/t]) .
Par définition de ∇V , on a (D†rig (V )[1/t])
x ∈
(D†rig (V
)[1/t])
ΓK
ΓK
, alors ν(x) = limγ→Id ΓK
définition, on a aussi, (NdR (V ))
0
que la dimension sur K de
∇V
(D†rig (V
⊆
(D†rig (V
∇V
)[1/t])
⊆ (D†rig (V )[1/t])
γ(x)−x
χ(γ)−1 =
∇V
)[1/t])
∇V
. Car si
0. D’autre part, par
. On vérifie facilement
est inférieure ou égale à dimQp V .
Comme V est cristalline, dimQp V = dimKa Dcris (V ) = dimK 0 (NdR (V ))
D’où les premiers isomorphismes. Le cas semi-stable est analogue.
∇V
.
Théorème 4.3 (André, Kedlaya, Mebkhout). [1, 7.1.5] [15, 1.1] [18, 5.023] Tout module à connexion sur RK , admettant une structure de Frobenius
est quasi-unipotent.
Documenta Mathematica 9 (2004) 413–433
Irrégularité et Conducteur de Swan p-adiques
4.2
423
Rappels sur l’irrégularité d’une équation différentielle
p-adique
On rappelle brièvement la définition de l’indice d’une équation différentielle
p-adique introduite initialement par Robba (cf. [7, §2.3] et [8, §14]). Soient C
un corps et u un endomorphisme d’un C-espace vectoriel V . On dit que u admet
un indice si Ker u et Coker u sont de dimension finie et on appelle
P+∞ indice de u
l’entier χ(u, V ) = dimC Ker u−dimC Coker u. On note A = { n=0 an T n ∈ R}.
C’est la sous-algèbre de R des séries convergentes sur
P le disque ouvert.
P On note
γ+ l’inclusion de A dans R et et γ + la troncation n∈Z an T n 7→ n∈N an T n
de R sur A. Pour tout nombre naturel n, on note abusivement γ+ (resp. γ + )
l’inclusion de A⊕n dans R⊕n (resp. la projection de R⊕n sur A⊕n ). Soit M
un module à connexion sur R de rang n. On choisit une base de M . Soient
d
et G la matrice de la dérivation ∇ξ : M → M par rapport à cette
ξ = T dT
d
base. Soit u le Ka -endomorphisme T dT
− G de R⊕n . On dit que M admet un
+
indice généralisé sur A si γ ◦ u ◦ γ+ admet un indice. Ceci ne dépend pas de
la base choisie. On note χ
e(M, A) = χ(γ + ◦ u ◦ γ+ , A⊕n ). Si deux modules à
0
connexion sur R, M et M 00 ont un indice généralisé, alors pour toute extension
M de M 0 par M 00 , χ
e(M, A) = χ
e(M 0 , A) + χ
e(M 00 , A).
Théorème 4.4 (Christol-Mebkhout). Soit M une équation différentielle
p-adique ayant une structure de Frobenius. Alors M admet un indice généralisé
sur A.
Démonstration. L’existence d’une structure de Frobenius implique la solubilité de M et que ses exposants sont non-Liouville (cf. [7, §2.5]). Le corps de
constantes Ka est de valuation discrète donc maximalement complet. C’est
donc un cas particulier de [8, Th. 14.11].
Pour une équation différentielle p-adique M munie d’une structure de Frobenius, on appelle irrégularité de M et on note irr(M ), l’indice généralisé χ
e(M, A).
Remarque 4.5. 1. Soient L/Ka une extension finie et M un module libre
de rang r sur R ⊗Ka L muni d’une connexion. On considère M comme une
équation différentielle p-adique sur R de rang r dimKa L. Si M admet un indice
−1
e(M, A).
généralisé, on pose irr(M ) = (dimKa L) χ
2. Soit M une équation différentielle p-adique sur RK . On choisit un élément
π dans OE † comme dans 3.4. Via les isomorphismes ψπ : RK 0 → RK et
K
RK 0 ∼
= R ⊗Ka K 0 , on peut définir l’irrégularité de M . On vérifie que ceci ne
dépend pas du choix de π.
3. L’indice généralisé coı̈ncide avec la définition d’indice sur E † de Tsuzuki
dans [23, §1] (cf. [17, §8]).
4.3
Équations quasi-unipotentes
La catégorie des équations différentielles p-adiques quasi-unipotentes est tannakienne neutre. On rappelle ici des constructions classiques (cf. [1] et [17]).
Documenta Mathematica 9 (2004) 413–433
424
Adriano Marmora
sep
Soit k((T ))
une clôture séparable fixée de k((T )) (dans la section 5 on supsep
pose k((T ))
⊂ Fr R). Soit E/k((T )) une extension séparable finie contenue
sep
sep
dans k((T )) . On note kE son corps résiduel, GE = Gal(k((T )) /E) et IE
nr
G
le sous-groupe d’inertie. On pose E(E) = (E nr ) E , E † (E) = E(E) ∩ E † et
R(E) = R ⊗E † E † (E). Évidement, si E est égal au corps de normes EL associé
à une extension finie L/K, alors E(EL ) = EL , E † (EL ) = EL† et R(EL ) = RL .
Les propriétés qu’on a rappelées dans les sections précédentes pour EL , EL† , RL ,
en dehors de l’action de ΓL , sont aussi valables pour E(E), E † (E), R(E). Soient
F/E une extension galoisienne finie et M un R(E)-module à connexion unipotent sur R(F ). On considère le Fr W(kF )-espace vectoriel des sections horizontales
∇
SF (M ) = (M ⊗R(E) R(F )[log T ]) .
On le munit d’une action semi-linéaire de Gal(F/E) et d’un endomorphisme
nilpotent de la façon suivante. Pour tout g ∈ Gal(F/E) et x ∈ M ⊗R(E)
R(F )[log T ], on pose g(x) = (Id ⊗g)(x). On considère sur M ⊗R(E) R(F )[log T ]
l’application Id ⊗ N , où N est la R(F )-dérivation de R(F )[log T ] qui envoie
log T sur 1. Cette application commute avec l’action de Gal(F/E). Les diagrammes suivantes sont commutatifs :
M ⊗R(E) R(F )[log T ]
∇
// M ⊗R(E) R(F )[log T ] ⊗RF Ω̂1
RF / Fr W(kF )
Id⊗g⊗dg
Id⊗g
²²
M ⊗R(E) R(F )[log T ]
∇
²²
// M ⊗R(E) R(F )[log T ] ⊗RF Ω̂1
RF / Fr W(kF )
et
M ⊗R(E) R(F )[log T ]
∇
Id⊗N ⊗Id
Id⊗N
²²
M ⊗R(E) R(F )[log T ]
// M ⊗R(E) R(F )[log T ] ⊗RF Ω̂1
RF / Fr W(kF )
∇
²²
// M ⊗R(E) R(F )[log T ] ⊗RF Ω̂1
RF / Fr W(kF )
On en déduit sur SF (M ), une action de Gal(F/E) et un endomorphisme,
qu’on note NSF (M ) , commutant entre eux. On vérifie facilement que NSF (M )
est nilpotent. On peut résumer ces données en disant que SF (M ) est une
Fr W(kF )-représentation semi-linéaire du schéma en groupes Gal(F/E) × Ga ,
où Gal(F/E) est considéré comme schéma en groupes constant. La dimension
de SF (M ) sur Fr W(kF ) est par construction égale au rang de M . Inversement,
soit V une Fr W(kF )-représentation semi-linéaire de Gal(F/E) × Ga . On note
NV l’endomorphisme nilpotent de V associé à l’action de Ga . On pose
¯
½
¾
¯ ∀g ∈ Gal(F/E), g(x) = x,
MF (V ) = x ∈ V ⊗Fr W(kF ) R(F )[log T ] ¯¯
.
(NV ⊗ Id + Id ⊗ N )(x) = 0
Documenta Mathematica 9 (2004) 413–433
Irrégularité et Conducteur de Swan p-adiques
425
Proposition 4.6. Sous les hypothèses ci-dessus, MF (V ) est un R(E)-module
libre de rang égal à la dimension de V .
Démonstration. Comme R(F ) = E † (F ) ⊗E † (E) R(E) et E † (E) est un corps on
vérifie que
(V ⊗Fr W(kF ) R(F ))
Gal(F/E)
Gal(F/E)
= (V ⊗Fr W(kF ) E † (F ))
⊗E † (E) R(E).
Comme Gal(E † (F )/E † (E)) = Gal(F/E), on en déduit par un raisonnement
Gal(F/E)
classique (cf. [20, Ch.X Prop.3]) que (V ⊗Fr W(kF ) R(F ))
est un R(E)module libre de rang égal à la dimension de V . On définit un isomorphisme
f : (V ⊗Fr W(kF ) R(F ))
Gal(F/E)
→ MF (V ),
P Pr−1
P
i i
i
en posant f ( l vl ⊗ αl ) =
l
i=0 (−) NV (vl ) ⊗ αl (log T ) , où r
est un entier tel que NVr = 0. L’application inverse g : MF (V ) →
Gal(F/E)
(V ⊗Fr W(kF ) R(F ))
, est induite par la projection R(F )[log T ] → R(F )
qui envoie log T en 0. En fait, par construction gf
conclure il
Ppour
P = Id et
d
i
α
(log T ) ).
v
⊗
(
suffit de montrer que P
g est injective. Soit x =
l
i,l
i=0
l
Supposons que g(x) = l vl ⊗ α0,l = 0. La relation (NV ⊗ Id + Id ⊗ N )(x) = 0
équivaut à
X
X
∀i = 0, . . . , d,
NV (vl ) ⊗ αi,l = −
vl ⊗ (i + 1)αi+1,l .
(?)
l
l
P
Comme l vl ⊗α0,l = 0, en
Pappliquant NV ⊗Id+Id⊗N , on obtient l NV (vl )⊗
α0,l = 0. D’où par (?),
l vl ⊗ α1,l = 0. Ainsi, par récurrence, on montre
x = 0.
P
On munit MF (V ) de la connexion induite par d : R(F )[log T ] →
Ω̂1R(F )/ Fr W(kF ) et la connexion triviale sur V . Par construction, il est quasiunipotent. Les inclusions naturelles
SF (M ) ⊆ M ⊗R(E) R(F )[log T ] et MF (V ) ⊆ V ⊗Fr W(kF ) R(F )[log T ]
induisent par linéarisation des isomorphismes
SF (M ) ⊗Fr W(kF ) R(F )[log T ] → M ⊗R(E) R(F )[log T ],
MF (V ) ⊗R(E) R(F )[log T ] → V ⊗Fr W(kF ) R(F )[log T ]
compatibles aux structures supplémentaires. On en déduit que le foncteur MF
est un quasi-inverse de SF .
On introduit une variante de ces équivalences après extension des scalaires
à K. On rappelle que le produit R(E)K = R(E) ⊗Fr W(kE ) K est intègre car
Fr W(kE ) est algébriquement fermé dans R(E). Pour une extension galoisienne
E/k((T )), on étend linéairement l’action de l’inertie I(E/k((T ))) à R(E)K . Si
I(F/E)
F/E est une extension galoisienne finie, alors R(F )K
= R(E)K . Tout
Documenta Mathematica 9 (2004) 413–433
426
Adriano Marmora
module à connexion M , libre de type fini sur R(E)K , provient par extension
des scalaires, d’un module M 0 , libre de type fini sur R(E) ⊗Fr W(kE ) L, où L
est une extension finie de Fr W(kE ) contenue dans K. On peut donc parler
d’irrégularité de M (cf. Rem.4.5-1 et 4.5-2). Soit M un module à connexion sur
R(E)K , unipotent sur R(F )K . On pose
∇
SF0 (M ) = (M ⊗R(E)K R(F )K [log T ]) .
C’est une représentation linéaire de I(F/E)×Ga . De façon analogue à ci-dessus,
le foncteur SF0 est une équivalence de catégories entre modules à connexion sur
R(E)K , unipotents sur R(F )K et représentations linéaires sur K du schéma
en groupes I(F/E) × Ga . Un quasi-inverse est donné par
¯
¾
½
¯ ∀g ∈ I(F/E), g(x) = x,
.
MF0 (V ) = x ∈ V ⊗K R(F )K [log T ] ¯¯
(NV ⊗ Id + Id ⊗ N )(x) = 0
Pour tout R(E)-module à connexion M , on considère son extension des scalaires M ⊗Fr W(kE ) K comme module à connexion sur R(E)K . Il est évident
que SF0 (M ⊗Fr W(kE ) K) = SF (M ) ⊗Fr W(kF ) K, où on ne considère sur SF (M )
que l’action du sous-groupe I(F/E) × Ga de Gal(F/E) × Ga .
La proposition suivante est une variante d’une proposition de Tsuzuki [23].
Proposition 4.7. [1, 7.1.2] Soient M un R(E)-module à connexion quasiunipotent et F/E une extension galoisienne finie telle que M soit unipotent
sur R(F ). Alors l’irrégularité de M est égale au conducteur de Swan de la
représentation SF (M ) du groupe d’inertie I(F/E).
Démonstration. Comme le conducteur de Swan et l’irrégularité ne varient
pas par extension des scalaires on peut tensoriser avec K. L’équivalence
SF0 induit un isomorphisme entre le groupe de Grothendieck des R(E)K modules à connexion, unipotents sur R(F )K et le groupe de Grothendieck
des représentations de I(E/F ) × Ga sur K. Dans ce dernier la classe d’une
représentation V de I(E/F ) × Ga est égale à la classe de sa restriction à
I(F/E). Comme le conducteur de Swan et l’irrégularité se factorisent par le
groupe de Grothendieck, il suffit de vérifier qu’ils se correspondent par SF0 .
Dans cet isomorphisme l’induction d’une représentation correspond à l’oubli de
structure pour le module à connexion correspondant. Le conducteur de Swan
et l’irrégularité varient de la même façon par rapport à l’induction et à l’oubli respectivement. On peut, en appliquant le théorème d’induction de Brauer
(cf. [21, §10] ), se réduire au cas de dimension 1. Soit M un module à connexion
sur R(E)K de rang 1, unipotent sur R(F )K . On considère la représentation
S = SF0 (M ) de I = I(F/E). Soit Λ l’extension finie de Qp , obtenue en ajoutant
les racines m-ièmes de l’unité, où m est l’exposant du groupe I. Par un autre
théorème de Brauer (cf.[21, §12.2, Th.24] ), il existe une représentation S0 de
I sur Λ telle que S ∼
= S0 ⊗Λ K. On note Λ0 ⊆ K l’extension non-ramifié de Λ
de corps résiduel kF . On rappelle que Tsuzuki [23] associe à S0 un module à
Documenta Mathematica 9 (2004) 413–433
Irrégularité et Conducteur de Swan p-adiques
427
connexion D† (S0 ) sur Λ0 ⊗Fr W(kE ) E † (E), d’irrégularité égale au conducteur de
Swan de S0 (en fait le cas de dimension 1 est dû à Matsuda [16]). On vérifie que
I
D† (S0 ) = (S0 ⊗Λ (Λ0 ⊗Fr W(kF ) E † (F ))) , avec la connexion induite par celle de
I
E † (F ). Comme S est de rang 1, on a MF0 (S) = (S ⊗K R(F )K ) . On termine
par,
¡
¢¢I
¡
MF0 (S) ∼
= S0 ⊗Λ K ⊗Fr W(kF ) E † (F ) ⊗E † (E) R(E)
I
∼
= (S0 ⊗Λ Λ0 ⊗Fr W(kF ) E † (F )) ⊗(Λ0 ⊗Fr W(kE ) E † (E)) (K ⊗Fr W(kE ) R(E))
∼
= D† (S0 ) ⊗(Λ0 ⊗
E † (E)) R(E) .
Fr W(kE )
5
K
Preuve du théorème 1.1 et corollaires
Soient V une représentation p-adique de GK et L/K une extension galoisienne
finie. On rappelle (cf. §3.2) que les modules D(V|GL ), D† (V|GL ) et D†rig (V|GL )
sont munis d’une action naturelle de Gal(L∞ /K). Pour tout x ∈ D†rig (V|GL )[1/t]
−1
et g ∈ Gal(L∞ /K), g(t−1 ν(x)) = χ(g) t−1 ν(g(x)). Pour V de de Rham, on en
déduit une action de Gal(L∞ /K) sur NdR (V|GL ). On munit les modules D(V ),
D† (V ), D†rig (V ) et NdR (V ) de l’action de Gal(L∞ /K) via le quotient ΓK .
Lemme 5.1. Soient V une représentation p-adique de GK et L/K une extension
galoisienne finie. On a des isomorphismes canoniques :
i) D(V|G ) ∼
= EL ⊗E D(V ) ;
K
L
ii) D (V|GL ) ∼
=
†
iii)
D†rig (V|GL )
EL†
⊗E † D† (V ) ;
K
†
∼
= RL ⊗RK Drig (V ) ;
iv) pour V de de Rham, NdR (V|GL ) ∼
= RL ⊗RK NdR (V ).
Ces isomorphismes sont compatibles avec les actions de Gal(L∞ /K).
Démonstration. i) On a une application EK -linéaire injective D(V ) → D(V|GL ),
compatible à l’action de Gal(L∞ /K). Comme dimEK D(V ) = dimEL D(V|GL ) =
dimQp V , elle induit un isomorphisme EL ⊗EK D(V ) ∼
= D(V|GL ) équivariant
pour l’action de Gal(L∞ /K). ii) est une conséquence du Théorème 3.5. iii) se
déduit directement de ii). iv) L’injection NdR (V ) ⊆ D†rig (V )[1/t] entraı̂ne que
RL ⊗RK NdR (V ) ⊆ RL ⊗RK D†rig (V )[1/t] = D†rig (V|GL )[1/t]. C’est un sous-RL module stable par t−1 ν, par l’unicité de NdR (V|GL ) il est égal à NdR (V|GL ).
Soit V une représentation potentiellement semi-stable de GK . Choisissons une
extension galoisienne finie L/K telle que la restriction de V à GL soit semistable. Soit L0 /Ka l’extension finie non-ramifiée associée à L dans la section
Documenta Mathematica 9 (2004) 413–433
428
Adriano Marmora
§3.1 (au dessus de Lemme 3.2). On considère le L0 -espace vectoriel des sections
horizontales
∇V
SEL (NdR (V )) = (NdR (V ) ⊗RK RL [log T ])
.
L’action de Gal(L∞ /K) sur NdR (V )⊗RK RL [log T ] commute avec la connexion
par la définition même de cette dernière (cf. §4.1). On en déduit une action
semi-linéaire de Gal(L∞ /K) sur SEL (NdR (V )). La restriction de cette action
au sous-groupe Gal(L∞ /K∞ ) correspond via l’identification Gal(EL /EK ) ∼
=
Gal(L∞ /K∞ ) à l’action décrite au §4.3.
Proposition 5.2. Soient V une représentation galoisienne p-adique de GK
et L/K une extension galoisienne finie telle que la restriction de V à GL soit
semi-stable. Il existe un isomorphisme canonique
NdR (V ) ⊗RK RL [log T ] ∼
= Dst (V|GL ) ⊗La RL [log T ].
(1)
Le groupe Gal(L∞ /K) agit sur le deux membres de (1) : à gauche comme
décrit plus haut et à droite diagonalement, par son quotient Gal(L/K) sur
Dst (V|GL ) et par son action naturelle sur RL [log T ]. L’isomorphisme (1) est
équivariant pour cette action. Il est aussi horizontal où on considère à droite la
connexion triviale sur Dst (V|GL ). De façon équivalente, en prenant les sections
horizontales, on un isomorphisme canonique Gal(L∞ /K)-équivariant
SEL (NdR (V )) ∼
= Dst (V|GL ) ⊗La L0 .
(2)
Par conséquent, l’action de Gal(L∞ /K) sur SEL (NdR (V )) se factorise par
son quotient fini Gal(L ⊗La L0 /K). Le conducteur de Swan de V est égal à
sw(I(L ⊗La L0 /K), SEL (NdR (V ))).
Démonstration. Par le corollaire 4.2, on a un isomorphisme
∇
Dst (V|GL ) ⊗La L0 ∼
= (NdR (V|GL ) ⊗RL RL [log T ]) V .
Il est équivariant par rapport à l’action de Gal(L∞ /K) car il est le composé de
l’isomorphisme équivariant du théorème 3.6 avec une inclusion naturelle. Cette
action se factorise évidemment par Gal(L ⊗La L0 /K). Le lemme 5.1-iv) donne
un isomorphisme, Gal(L∞ /K)-équivariant,
∇V
(NdR (V|GL ) ⊗RL RL [log T ])
∇
∼
= (NdR (V ) ⊗RK RL [log T ]) V =SEL (NdR (V )).
Ceci montre (2). L’isomorphisme (1) suit en tensorisant (2) par RL [log T ] au
dessus de L0 et en composant avec l’isomorphisme canonique SEL (NdR (V )) ⊗L0
RL [log T ] ∼
= NdR (V ) ⊗RK RL [log T ].
Remarque 5.3. Un résultat analogue à la proposition 5.2 a été démontré par
N.Wach pour les représentations sur un corps absolument non-ramifié, qui sont
de de Rham et de hauteur finie (cf. [24, A5 et B1.4.2] ).
Documenta Mathematica 9 (2004) 413–433
Irrégularité et Conducteur de Swan p-adiques
429
Soit L/K une extension galoisienne finie quelconque contenue dans K. Pour
tout n ∈ N, on note Gn = Gal(Ln /Kn ) et In son sous-groupe d’inertie. Pour
n ∈ N, la restriction induit un monomorphisme de groupes fn : Gn+1 ,→ Gn .
Soit n(L) le plus petit entier tel que Kn(L) contienne l’intersection de L avec
K∞ . Pour n ≥ n(L), fn est un isomorphisme et le groupe Gn est canoniquement
isomorphe à Gal(EL /EK ). Par abus on note encore fn : Gal(EL /EK ) → Gn cet
isomorphisme. Le lemme suivant est une reformulation d’un résultat classique
de Sen (cf. [19, Lemma 1, pg. 40] et [25, 3.3.2] ).
Lemme 5.4. Pour n assez grand la filtration de ramification supérieure et
inférieure de Gn est stationnaire et correspond via l’isomorphisme fn à la filtration de ramification de Gal(EL /EK ).
Démonstration. On utilise ici une définition différente du corps de normes mais
équivalente à celle donnée dans le paragraphe 3.1. On considère la limite projective d’ensembles limn∈N OKn , où les applications de transitions sont les normes.
←−
Cet ensemble est isomorphe à OEK muni de la multiplication composante par
composante et de la somme donnée par la formule suivante. Si x = (xn )n∈N et
y = (yn )n∈N appartient à OEK , alors (x + y)n = limm→+∞ NKm /Kn (xm + ym ).
On note G = Gal(EL /EK ). Soit π ∈ EL une uniformisante. Comme (Ln /K)n≥1
est cofinal dans l’ensemble des sous-extension finies de L∞ /K, on peut écrire
π = (πn )n≥1 avec πn ∈ Ln . Soit n0 ≥ n(L) un entier tel que L∞ /Ln0 soit totalement ramifiée. Pour tout n ≥ n0 , πn est une uniformisante de Ln . Pour tout
g ∈ G et n ≥ n0 , on pose i(g) = iG (g) = vEL (g(π) − π) et in (g) = iGn (fn (g)) =
vLn (fn (g)(πn ) − πn ). On doit montrer que i(g) = limn→+∞ in (g). En fait,
i(g) = vEL (g(π) − π) = vLn0 ((g(π) − π)n0 ) =
µ
¶
lim
N
(g(π
)
−
π
)
=
= vLn0
n
n
Ln /Ln0
0
n ≤n→+∞
=
=
lim
vLn0 (NLn /Ln0 (g(πn ) − πn )) =
lim
vLn ((g(πn ) − πn )) = lim in (g).
n0 ≤n→+∞
n0 ≤n→+∞
n→+∞
On rappelle qu’on a noté Vn = V|GKn .
Lemme 5.5. Soit V une représentation potentiellement semi-stable. La suite
(sw(Vn ))n∈N est stationnaire.
Démonstration. Par définition sw(Vn ) = sw(Dpst (Vn )|IK ). On a un monomorn
phisme évident Dpst (Vn ) ,→ Dpst (V )|GKn , qui est un isomorphisme car Dpst (Vn )
et Dpst (V ) ont la même dimension. Donc Dpst (Vn )|IKn ∼
= Dpst (V )|IKn et l’action
de IKn se factorise par In . Par le lemme 5.4, pour n assez grand, le conducteur
sw(Dpst (V )|IKn ) est constant.
Documenta Mathematica 9 (2004) 413–433
430
Adriano Marmora
Soit V une représentation de GK qui devient semi-stable sur L. Pour un
entier n assez grand, on considère Dpst (Vn ) = Kanr ⊗L0 Dst (V|GLn ) comme
Kanr -représentation semi-linéaire de Gal(EL /EK ) via l’isomorphisme fn . Cette
représentation ne dépend pas de n. Sa restriction à l’inertie est linéaire. Dans la
suite on la considère comme une représentation de GEK et on la note D∞
pst (V ).
Par le lemme 5.5,
sw(D∞
(3)
pst (V )) = lim sw(Vn ).
n→+∞
Démonstration du théorème 1.1. Par le théorème de monodromie p-adique
la représentation V est potentiellement semi-stable. Soit L/K une extension
galoisienne finie telle que V|GL soit semi-stable. On choisit un entier n assez
grand de façon que Gn = Gal(Ln /Kn ) soit isomorphe à Gal(EL /EK ) avec
∞
leurs filtrations de ramifications. Donc D∞
pst (V ) = Dpst (Vn ) et sw(Dpst (V )) =
sw(I(Ln /Kn ), Dst (V|GLn )). Par la proposition 5.2, on a un isomorphisme
SELn (NdR (V )) ∼
= Dst (V|GLn ), équivariant par rapport à l’action de
Gal(Ln /K). D’où, par restriction, l’égalité de sw(I(Ln /Kn ), Dst (V|GLn )) et de
sw(I(EL /EK ), SELn (NdR (V ))). Comme EL = ELn , ce dernier est égal à
l’irrégularité de NdR (V ), par la proposition 4.7.
Lemme 5.6. Soient V une représentation galoisienne p-adique de GK , L/K
une extension galoisienne finie telle que V|GL soit semi-stable et n0 le plus petit
entier tel que Kn0 ⊇ (L ⊗La L0 ) ∩ K∞ . Alors :
∇V
i) Pour tout n ≥ n0 , Dst (Vn ) = Dst (Vn0 ) ∼
= (NdR (V ) ⊗RK RK [log T ])
.
∇
ii) Pour tout n ≥ n0 , Dcris (Vn ) = Dcris (Vn0 ) ∼
= (NdR (V )) V .
Démonstration. On pose D = Dst (V|GL ). i) On considère l’isomorphisme (1)
(prop. 5.2), D ⊗La RL [log T ] ∼
= NdR (V ) ⊗RK RL [log T ]. En prenant les sections horizontales et les points fixès par Gal(L∞ /K∞ ), on obtient Dst (Vn0 ) =
Gal(L∞ /K∞ )
∇
= (NdR (V ) ⊗RK RK [log T ]) V . Pour m ≥ n0 , de
(D ⊗La L0 )
∇
façon analogue, on obtient Dst (Vm ) = (NdR (V ) ⊗RK RKm [log T ]) V . Comme
HKm = HK , on a RK = RKm en tant qu’anneaux. D’où Dst (Vm ) = Dst (Vn0 ).
ii) Par la proposition 5.2,
∇
(NdR (V ))∇V ∼
= (MEL (D ⊗La L0 ))

¯

¯ ∀g ∈ Gal(L∞ /K∞ ), g(x) = x, 

¯
= x ∈ D ⊗La RL [log T ] ¯¯ (ND ⊗ Id + Id ⊗ N )(x) = 0,


¯
(Id ⊗ d)(x) = 0
¯
¾
½
¯ ∀g ∈ Gal(L∞ /K∞ ), g(x) = x,
= Dcris (Vn0 ).
= x ∈ D ⊗La L0 ¯¯
(ND ⊗ Id)(x) = 0
On conclut comme dans i).
Documenta Mathematica 9 (2004) 413–433
Irrégularité et Conducteur de Swan p-adiques
431
Corollaire 5.7. Soit V une représentation de de Rham de GK . Alors :
lim ar(Vn )
n→+∞
= irr(NdR (V )) + rg(NdR (V )) − dimK 0 (NdR (V ) ⊗RK RK [log T ])
∇V
et
lim arcris (Vn ) = irr(NdR (V )) + rg(NdR (V )) − dimK 0 (NdR (V ))
n→+∞
∇V
.
Démonstration. Soit L/K une extension galoisienne finie telle que V|GL soit
semi-stable. On pose D = Dst (V|GL ). On rappelle que dimLa DI(L/K) =
dimKa DGal(L/K) car H 1 (Gal(kL /k), GLn (La )) est triviale (cf. [20,
Ch.X, Prop.3]). On a ar(V ) − sw(V ) = dimLa D − dimLa DI(L/K) = dimLa D −
dimKa DGal(L/K) = dimQp V − dimKa Dst (V ) = rg(NdR (V )) − dimKa Dst (V ).
Par le théorème 1.1 et le lemme 5.6-i) on obtient la première formule. On
en déduit facilement la deuxième en utilisant la définition de arcris (V ) et
5.6-ii).
Remarque 5.8. Le corollaire 5.7 généralise un résultat de Berger (cf. Th. 4.1
et [3, Th. 5.20] ) : l’équation NdR (V ) est unipotente (resp. triviale) si et seulement si V est semi-stable (resp. cristalline) sur Kn , pour n assez grand. En
effet V est semi-stable (resp. cristalline) sur Kn si et seulement si ar(Vn ) =
0 (resp. arcris (Vn ) = 0). L’équation NdR (V ) est unipotente (resp. triviale)
∇
si et seulement si rg(NdR (V )) = dimK 0 (NdR (V ) ⊗RK RK [log T ]) V (resp.
∇V
rg(NdR (V )) = dimK 0 (NdR (V )) ) et dans ce cas on a aussi irr(NdR (V )) = 0.
Soit M une équation différentielle p-adique ayant une structure de Frobenius.
Dans [7], Christol et Mebkhout associent à M une décomposition en somme
directe indexée par les rationnels, la décomposition par les pentes p-adiques.
C’est un théorème profond de la théorie que la hauteur du polygone de Newton
associé à cette décomposition est égale à l’indice χ
e(M, A).
Corollaire 5.9. Soient V une représentation galoisienne p-adique de GK et
L/K une extension galoisienne finie telle que la restriction de V à GL soit
semi-stable.
i) On a un isomorphisme Gal(EL /EK )-équivariant,
∼ nr
D∞
pst (V ) = Ka ⊗L0 SEL (NdR (V )).
ii) Sous l’isomorphisme du i), la décomposition de Kanr ⊗L0 SEL (NdR (V ))
induite par les pentes p-adiques de NdR (V ), correspond à la décomposition
par les pentes de Swan de D∞
pst (V ) (cf. [14, Ch. 1] ). Par conséquent, on
a l’égalité des polygones de Newton associés.
Démonstration. On déduit l’assertion i) par restriction de l’isomorphisme
(2) (prop.5.2) à Gal(L∞ /K∞ ). Pour ii), soit NdR (V ) = ⊕q∈Q NdR (V )q la
décomposition par les pentes p-adiques. On pose Dq = Kanr ⊗L0 SEL (NdR (V )q ).
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Adriano Marmora
C’est un facteur directe de D∞
pst (V ) de dimension égal au rang de NdR (V )q .
C’est stable par ϕ et N . Par la proposition 4.7, on a sw(Dq ) = irr(NdR (V )q ) =
q rg NdR (V )q = q dimKanr Dq . Pour conclure il suffit de montrer que toute pente
de Swan de Dq est égale à q. Soient s une pente de Swan de Dq et Dq,s 6= 0
sa partie isopentique de pente s. Par [14, Lemma 1.8] , Dq,s est stable par
Gal(EL /EK ). Comme ϕ et N commutent avec Gal(EL /EK ), l’unique pente
possible pour ϕ(Dq,s ) et N (Dq,s ) est s. Comme Dq,s est maximal de pente s,
on a ϕ(Dq,s ) ⊆ Dq,s et N (Dq,s ) ⊆ Dq,s . On en déduit que MEL (Dq,s ) est un
sous-module différentiel de NdR (V )q muni d’un Frobenius. Donc MEL (Dq,s ) a
comme seule pente q. Par 4.7,
s dimKanr Dq,s = sw(Dq,s ) = irr(MEL (Dq,s )) = q rg MEL (Dq,s ) = q dimKanr Dq,s .
D’où s = q.
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Adriano Marmora
LAGA, Institut Galilée
Université Paris 13
93430 Villetaneuse (France)
[email protected]
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