QCM1 Fichier - mooc INP Toulouse

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Série de Fourier 1
Première semaine de travail : Série de Fourier
QCM de cours
Ce QCM sert à vous autoévaluer sur votre assimilation du coursdelasemaine 1 sur les séries de
Fourier. Il se comp ose de questions traitant des formules fondamentales du cours. Elles sont directement
liées au cours et ne nécessitent pas de calcul.
1- Soit fune fonction périodique, de période a.Alors:
A-f(x+a)=f(a)
B-f(x+
a
2
)=f(x)
C-f(x+a)=f(x)
2- Soit la fonction f(x)=sin(
4x
π
).Quelleestsapériode:
A-2π
B-0.5π
2
C-0.5
3- Soit une fonction fpériodique de période a.Lescoefficients,c
n
,desadécompositionensérie
d’exponentielles s’écrivent
A-
2
a
a
2
0
f(t)exp−2iπn
t
a
dt
B-
1
a
a
2
−
a
2
f(t)exp−2iπn
t
a
dt
C-
1
a
a
2
0
f(t)exp−2iπn
t
a
dt
4- Soit une fonction fpériodique de période a.Lescoefficients,a
n
,n̸=0,desadécompositionen
série sinus-cosinus s’écrivent
A-
2
a
a
0
f(t)cos2πn
t
a
dt
B-
2
a
a
0
f(t)exp2πn
t
a
dt
C-
2
a
a
0
f(t)sin2πn
t
a
dt
5- Soit une fonction fpériodique de période a.Lecoefficient,a
0
de sa décomposition en série sinus-
cosinus s’écrit
A-
1
a
a
0
f(t)cos2π
t
a
dt
B-
1
a
a
0
f(t)dt
C-
1
a
a
0
f(t)sin2π
t
a
dt
6- Soit une fonction fpériodique de période a.Lescoefficients,b
n
de sa décomposition en série
sinus-cosinus s’écrivent
A-
2
a
a
0
f(t)cos2πn
t
a
dt
B-
2
a
a
0
f(t)exp2πn
t
a
dt

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Série de Fourier 2
C-
2
a
a
0
f(t)sin2πn
t
a
dt
7- Soit fune fonction périodique impaire.LescoefficientsdesadécompositionensériedeFourieren
sinus-cosinus vérifient :
A-a
n
=0,∀n∈N
B-b
n
=0,∀n∈N
∗
C-c
n
=0,∀n∈Z
8- Soit fune fonction périodique réelle.Lescoefficients,c
n
,desadécompositionensériedeFourier
en d’exponentielles vérifient :
A-c
−n
=c
n
,∀n∈N
B-c
−n
=c
n
,∀n∈N
∗
C-c
−n
=−c
n
,∀n∈Z
9- Soit fune fonction périodique paire.LescoefficientsdesadécompositionensériedeFourieren
sinus-cosinus vérifient :
A-a
n
=0,∀n∈N
B-b
n
=0,∀n∈N
∗
C-a
n
et b
n
réels,∀n∈Z
10- Quelle relation existe-t-il entre les coéfficients de Fourierd’unefonctionpériodiquequelconque,
pour n≥1
A-c
n
=
(a
n
−ib
n
)
2
B-c
n
=
(a
n
+ib
n
)
2
C-c
n
=
(a
n
−b
n
)
2
11- L’égalité de Parseval, pour une fonction f périodique et de carré intégrable, nous dit que
A-
1
a
a
0
|f(t)|
2
dt =
∞
n=0
|c
n
|
2
B-
1
a
a
0
|f(t)|dt =
∞
n=−∞
|c
n
|
2
C-
1
a
a
0
|f(t)|
2
dt =
∞
n=−∞
|c
n
|
2
12- Soit f une fonction définie sur un intervalle borné Ide R.CettefonctionseraditeC
1
par morceaux
sur Isi elle est continue par morceaux sur Iet si :
A-fest dérivable sur Isauf sur un ensemble fini de points et de dérivee C
1
par morceaux
B-fest dérivable sur I
C-fest dérivable sur Isauf sur un ensemble fini de points
13- Soit fune fonction de période aet C
1
par morceaux sur [0,a].Onaalors

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Série de Fourier 3
A-
+∞
n=−∞
c
n
e
2iπn
t0
a
=
1
2
[f(t
0+
)+f(t
0−
)] ∀t
0
∈R
B-f(t
0
)=
∞
n=−∞
c
n
(f)e
2iπn
t0
a
∀t
0
∈R
C-Rien de particulier, il manque des hypothèses