Université Abdelhamid Ibn Badis Mostaganem
Faculté des sciences exactes et de l’informatique
- Département de physique Travaux Pratiques d’A.T.S.I.
TP N 2 :
LA DECOMPOSITION EN SERIE
FOURIER
DE
Présenté par :
Latrach Khaldia
Khassani Houaria
2019-2020
Introduction
L’énoncé mathématique stipule
que presque n’importe quelle
fonction périodique peut être
exprimée comme une somme de
sinusoïdes (sinus et cosinus) de
différentes fréquences : c’est ce
qu’on appelle aujourd’hui une
série de Fourier.
L’étude d’une fonction périodique
par les séries comprend deux
volets :l’analyse qui consiste à la
détermination de la suite des ses
coefficients de Fourier et la
synthèse qui permet de retrouver
en un certain sens la fonction à
l’aide de la site de ses coefficients.
Figure1 : Signal créneau à DSF
L’expression de 𝒔(𝒕) est donnée par:
𝟏
; 𝐭 ∈ [𝐧𝐓, (𝐧 + ) 𝐓] … … …
𝟐
𝐬(𝐭) = {
𝟏
−𝐚 ; 𝐭 ∈ [(𝐧 + ) 𝐓, (𝐧 + 𝟏)𝐓]
𝟐
𝐚
Le courbe n’admet pas l’axe des
ordonnées comme axe de
symétrie, alors 𝑠(𝑡) est une
fonction impaire
↳ son DSF ne comportera
que des termes en
sinus « les coefficients 𝐚𝐧
sont nuls »
Et donc la série de Fourier s’écrit:
∞
𝐬(𝐭) = 𝐚𝟎 + ∑ 𝐛𝐧 𝐬𝐢𝐧(𝐧𝛚𝐭)
Partie théorique
𝐧=𝟏
1/-a- La
décomposition en
sinusoïdes consiste à modifier
d’une part leurs amplitudes, en les
multipliant par des coefficients qui
leur donnent plus ou moins
d’importance, et d’autre part leurs
phases, en les décalant de manière
à ce qu’elles s’additionnent ou se
compensent.
-b- le type de signaux est
𝟐𝜫
périodique 𝑠(𝑡) de période T=
2/
𝝎
3/ On effectue la décomposition en série
de Fourier du signal créneau 𝑠(𝑡).
𝟏
𝐓
𝟐
𝐓
−
𝟐
Calcul de a0: 𝐚𝟎 = ∫ 𝐬(𝐭)𝐝𝐭
𝐓
𝟎
𝟎
𝟏
=
∫(−𝐚)𝐝𝐭 + ∫ 𝐚𝐝𝐭
𝐓
𝐓
𝐓
−
[− 𝟐
]
𝟐
𝐓
𝐚
𝟎
= [ −𝐭| 𝐓 + 𝐭|𝟎𝟐 ]
−
𝐓
𝟐
𝐚 𝐓 𝐓
= [− + ]
𝐓 𝟐 𝟐
Donc:
𝐚𝟎 = 𝟎
C'est prévu, parce que la valeur
moyenne 𝑠̅ est nulle:
2
𝐬𝐦𝐚𝐱 + 𝐬𝐦𝐢𝐧 𝐚 + (−𝐚)
𝐬̅ =
=
𝟐
𝟐
= 𝟎 = 𝐚𝟎
Alors :
∞
𝐬(𝐭) = ∑
𝐧=𝟏
𝟐𝐚
𝐬𝐢𝐧(𝐧𝛚𝐭) [𝟏 − (−𝟏)𝐧 ]
𝐧𝛑
Calcul de 𝐛𝐧 .
𝑻
𝟐
𝒃𝒏 =
Par conséquent, la décomposition
ne comprend que des
harmoniques d’ordre impair=>
n=2p+1.
𝟐
∫ 𝒔(𝒕)𝒔𝒊𝒏(𝒏𝝎𝒕)𝒅𝒕
𝑻
𝑻
−
𝟐
𝟎
𝟐
=
∫(−𝒂)𝒔𝒊𝒏(𝒏𝝎𝒕)𝒅𝒕
𝑻
𝑻
[− 𝟐
∞
𝒔(𝒕) = ∑
𝒑=𝟎
𝟐𝒂
𝒔𝒊𝒏((𝟐𝒑 + 𝟏)𝝎𝒕) [𝟏 − (−𝟏)𝟐𝒑+𝟏 ]
(𝟐𝒑 + 𝟏)𝝅
Donc : L’expression de la DSF pour un
signal créneau (carré) est :
𝟎
+ ∫ 𝒂 𝒔𝒊𝒏(𝒏𝝎𝒕)𝒅𝒕
−
=
𝑻
𝟐
]
𝟐 𝒂
𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝎𝒕) |𝟎 𝑻
[
−
𝑻 𝒏𝝎
𝟐
𝑻
𝒂
−
𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝎𝒕) |𝟎𝟐 ]
𝒏𝝎
𝟐𝒂
𝒏𝝎𝑻
=
[𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 (
)+𝟏
𝒏𝝎𝑻
𝟐
𝒏𝝎𝑻
− 𝒄𝒐𝒔 (
)]
𝟐
=
∞
4𝑎
sin((2𝑝 + 1)𝜔𝑡)
𝑠(𝑡) =
∑
𝜋
(2𝑝 + 1)
𝑝=0
4𝑎
1
1
=
[𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) + 𝑠𝑖𝑛(3𝜔𝑡) + 𝑠𝑖𝑛(5𝜔𝑡)
𝜋
3
5
+⋯
𝟐𝒂
[𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝅)]
𝒏𝝅
↳ Pour n paire
cos(𝑛𝜋) = 1 ⇒ 𝐛𝐧 = 𝟎
↳Pour n impaire
cos(𝑛𝜋) = −1 ⇒ 𝒃𝒏 =
𝟒𝒂
𝒏𝝅
Donc : pour (𝒏 ∈ ℕ∗ )
𝟐𝒂
[𝟏 − (−𝟏)𝒏 ]
𝒃𝒏 =
𝒏𝝅
3
Figure2.Les coefficients de Fourier de
signal créneau.
Partie pratique matlab
1/on explique le programme Matlab donné
dans la fiche TP:
function [s]=decompo(n
La fonction donne la série de Fourier
d’un signal périodique (créneau).
Le nom de la fonction est decompo,
son argument est n (nombre
d’harmoniques).
close all;
ferme tous les figures et graphes et
efface les fenêtres de commande.
m=floor(n/2);
Pour arrondit chaque valeur de n/2
au nombre entier le plus proche ≤ à
cet élément
Ts=0.22e-3;%période
d'échantillonnage
La période d'échantillonnage Ts est
un intervalle de temps régulier
séparant des instants
t0=24.e-3;%période de signal carré
La durée du temps dans lequel le
signal se répète
N=500;%nombre de points
N est le nombre de points qui
constituent le graphe de signal s.
vn représente les signaux de base
(La forme complexe de la série de
Fourier).
s(k+1)=cn*vn';
s(k+1)est la série de Fourier, elle
est obtenue par la multiplication des
coefficients de Fourier cn et les
exponentiels complexes vn et
chaque produit de cn et vn est
sommé par la boucle. (l’apostrophe
(‘) sur vn signifie la transposé de ce
vecteur).
End
End termine la boucle for.
t=(0:N-1)*Ts;
t est l’abscisse de graphe de s. Ces
valeurs sont des
multiples de la période
d’échantillonnage Ts .
plot(t,s);
L’instruction plot(t,s) crée un
graphe de s en fonction du temps t.
On obtient la courbe de la série de
Fourier de notre signal créneau pour
chaque n.
p=(-m-1):m;
grid;xlabel('t');ylabel('x(t)')
L’indice p qui caractérise les
coefficients de Fourier.
grid pour afficher les lignes de la
grille des axes. Pour nommer les
deux axes on utilise les deux
commandes xlabel et ylabel.
cn=((-1).^p)./(2*p+1)/pi;
Cette ligne corresponde aux
coefficients de Fourier cn de signal
créneau.
cc=(2*pi*1i*Ts)*(2*p+1)/t0;
cc représente l’exposant de
l’exponentiel complexe dans les
termes de série de Fourier.
for k=0:N-1
for exécute un groupe
d'instructions dans une boucle
pendant un nombre de fois spécifié.
(il y a 500 itérations).
vn=exp(cc*k);
4
title('le signal créneau
reconstitué')
Le titre du graphe
End
End termine la fonction f.
2/ On écrit le code en utilisant
l’éditeur de Matlab. Puis on
l’enregistre sous le nom decomp .
Le code Matlab qui donne la série de
Fourier
3/Le programme est exécuté
pour différentes valeurs de n
5
n=500
4/On remarque que les signaux
obtenus pour les valeurs n pair et
impair qui se suivent sont
identiques.
Explication.
6
On a déjà montré dans la partie
théorique que pour n pair les
coefficients de Fourier associés
aux sinus sont nuls et donc leurs
termes dans la série sont nuls et
ne contribuent pas à la
décomposition. Alors le
programme saute un signal pour n
pair est trace le signal pour n
impair suivant, c’est pour ça ces
deux signaux sont identiques.
dépassement substantiel en ce
point : c’est ce que l’on appelle le
phénomène de Gibbs [Plus le
nombre d’harmoniques est grand,
plus le phénomène de Gibbs sera
visible]
Partie pratique simulink
1/ On réalise le montage
montré dans la figure dans
Simulink
5/ A partir de n=500 on obtient
un résultat acceptable. Pour cette
Le montage réalisé par Simulink.
valeur de n les ondulations aux
maximum a et minimum –a
disparaissent et devient des lignes
horizontales.
6/ le nom de
distorsions
indiquées sur la figure est : Gibbs
2/ chaque oscilloscope donne une
courbe représentant un signal
différent.
Explication :
Au voisinage d’un point ou une
fonction « f » a une discontinuité,
les sommes partielles de la série
de Fourier présenteront un
7
L’explication de la signification de
chaque signal obtenu et leurs
interprétation.
Scope 1.
Le signal c’est un signal rampe:
𝐬(𝐭) = 𝐭.
Scope 2.
C’est un ensemble de 10 signaux
rampes amplifiés:2t, 3t, 4t …, en
plus du signal original 𝐭.
3/ Le dernier oscilloscope
Scope 3.
Ensemble de 10 fonctions sinus
possèdent la même amplitude (=1)
et des fréquences différentes
(1, 2, 3 …) (𝐬𝐢𝐧𝐭, 𝐬𝐢𝐧𝟐𝐭 … ). Le bloc
trignometric functions transforme
chaque signal rampe d’amplitude
𝑎 (𝒂 = 1,2, … ,10) à un signal
sinusoïdal de fréquence 𝑎.
donne le signal final qui
représente la DSF d’un signal
périodique.
Ce signal est un signal rampe
périodique, et il est obtenu par la
sommation de tous les signaux
sinusoïdaux apparaissent dans le
4ème oscilloscope).
4/ L’expression théorique de la
décomposition en série de Fourier
du signal.
Scope 4.
Les sinusoïdaux précédents sont
amplifiée et multipliés par les
coefficients de Fourier
1 1
1
(1, − , … . . − ) d’un signal
2 3
10
périodique qu’on sera l’indique
par la suite.
8
On peut déduire l’expression
théorique de la DSF du signal par
noter que ce signal est impair et
donc seulement les termes sinus
existent dans la série de Fourier
(𝑎0 = 𝑎𝑛 = 0). On obtient:
𝟏
𝟏
𝒔(𝒕) = 𝒔𝒊𝒏𝒕 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕 + 𝒔𝒊𝒏𝒕𝟑𝒕
𝟐
𝟑
𝟏
− 𝒔𝒊𝒏𝒕𝟒𝒕
𝟒
𝟏
𝟏
𝟏
+ 𝒔𝒊𝒏𝟓𝒕 − 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒕 + 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒕
𝟓
𝟔
𝟕
𝟏
− 𝒔𝒊𝒏𝟖𝒕
𝟖
𝟏
𝟏
+ 𝒔𝒊𝒏𝟗𝒕 −
𝒔𝒊𝒏𝟏𝟎𝒕
𝟗
𝟏𝟎
CONCLUSION
Dans ce TP on a effectué la DSF de
signal créneau manuellement et
par un programme Matlab, et d’un
signal en dents de scie en utilisant
l’application Simulink.
* lorsque le nombre d’harmonique 𝑛
augmente, La décomposition
s'améliore.
9
