Université Abdelhamid Ibn Badis Mostaganem
Faculté des sciences exactes et de l’informatique
- Département de physique -
Travaux Pratiques d’A.T.S.I.
2019-2020
TP N 2 :
LA DECOMPOSITION EN SERIE DE
FOURIER
Présenté par :
Latrach Khaldia
Khassani Houaria
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Introduction
L’énoncé mathématique stipule
que presque n’importe quelle
fonction périodique peut être
exprimée comme une somme de
sinusoïdes (sinus et cosinus) de
différentes fréquences : c’est ce
qu’on appelle aujourd’hui une
série de Fourier.
L’étude d’une fonction périodique
par les séries comprend deux
volets :l’analyse qui consiste à la
détermination de la suite des ses
coefficients de Fourier et la
synthèse qui permet de retrouver
en un certain sens la fonction à
l’aide de la site de ses coefficients.
Partie théorique
1/-a- La décomposition en
sinusoïdes consiste à modifier
d’une part leurs amplitudes, en les
multipliant par des coefficients qui
leur donnent plus ou moins
d’importance, et d’autre part leurs
phases, en les décalant de manière
à ce qu’elles s’additionnent ou se
compensent.
-b- le type de signaux est
périodique de période T=
2/
Figure1 : Signal créneau à DSF
L’expression de est donnée par:
Le courbe n’admet pas l’axe des
ordonnées comme axe de
symétrie, alors est une
fonction impaire
son DSF ne comportera
que des termes en
sinus « les coefficients
sont nuls »
Et donc la série de Fourier s’écrit:
3/ On effectue la décomposition en série
de Fourier du signal créneau.
Calcul de a0:
Donc:
C'est prévu, parce que la valeur
moyenne est nulle:
3
Calcul de .
Pour n paire
cos(
Pour n impaire
cos(
Donc : pour
Alors :
Par conséquent, la décomposition
ne comprend que des
harmoniques d’ordre impair
n=2p+1.
Donc : L’expression de la DSF pour un
signal créneau (carré) est :
Figure2.Les coefficients de Fourier de
signal créneau.
Partie pratique matlab
4
1/on explique le programme Matlab donné
dans la fiche TP:
function [s]=decompo(n
La fonction donne la série de Fourier
d’un signal périodique (créneau).
Le nom de la fonction est decompo,
son argument est n (nombre
d’harmoniques).
close all;
ferme tous les figures et graphes et
efface les fenêtres de commande.
m=floor(n/2);
Pour arrondit chaque valeur de n/2
au nombre entier le plus proche à
cet élément
Ts=0.22e-3;%période
d'échantillonnage
La période d'échantillonnage Ts est
un intervalle de temps régulier
séparant des instants
t0=24.e-3;%période de signal carré
La durée du temps dans lequel le
signal se répète
N=500;%nombre de points
N est le nombre de points qui
constituent le graphe de signal s.
p=(-m-1):m;
L’indice p qui caractérise les
coefficients de Fourier.
cn=((-1).^p)./(2*p+1)/pi;
Cette ligne corresponde aux
coefficients de Fourier cn de signal
créneau.
cc=(2*pi*1i*Ts)*(2*p+1)/t0;
cc représente l’exposant de
l’exponentiel complexe dans les
termes de série de Fourier.
for k=0:N-1
for exécute un groupe
d'instructions dans une boucle
pendant un nombre de fois spécifié.
(il y a 500 itérations).
vn=exp(cc*k);
vn représente les signaux de base
(La forme complexe de la série de
Fourier).
s(k+1)=cn*vn';
s(k+1)est la série de Fourier, elle
est obtenue par la multiplication des
coefficients de Fourier cn et les
exponentiels complexes vn et
chaque produit de cn et vn est
sommé par la boucle. (l’apostrophe
(‘) sur vn signifie la transposé de ce
vecteur).
End
End termine la boucle for.
t=(0:N-1)*Ts;
t est l’abscisse de graphe de s. Ces
valeurs sont des
multiples de la période
d’échantillonnage Ts .
plot(t,s);
L’instruction plot(t,s) crée un
graphe de s en fonction du temps t.
On obtient la courbe de la série de
Fourier de notre signal créneau pour
chaque n.
grid;xlabel('t');ylabel('x(t)')
grid pour afficher les lignes de la
grille des axes. Pour nommer les
deux axes on utilise les deux
commandes xlabel et ylabel.
title('le signal créneau
reconstitué')
Le titre du graphe
End
End termine la fonction f.
2/ On écrit le code en utilisant
l’éditeur de Matlab. Puis on
l’enregistre sous le nom decomp .
5
Le code Matlab qui donne la série de
Fourier
3/Le programme est exécuté
pour différentes valeurs de n
6
7
8
9
1
/
9
100%
