PRÉPARATION À L`AGRÉGATION - OPTION C EXERCICES 1. L

PRÉPARATION À L’AGRÉGATION - OPTION C
EXERCICES
1. L’ensemble {(t, sin(t)), t ∈R}est-il algébrique ?
2. Soit f:k−→ k3défini par f(t) = (t, t2, t3). Montrer que l’image de f,
notée Cest une variété algébrique affine. Déterminer I(C).
3. L’ensemble {(cos(t),cos(2t)), t ∈R}est-il algébrique ?
4. Soit kun corps algébriquement clos. Déterminer I(V)quand Vest l’une
des variétés suivantes :
V(xy3+x3y−x2+y), V (x2y, (x−1)(y+ 1)2), V (z−xy, y2+xz −x2).
5. Etudier les singularités de
(1) L’astroïde C: (x2+y2−1)3+ 27x2y2;
(2) La conchoïde de Nicomède : C: (x2+y2)(x−1)2= 4x2(cette courbe
permet de trisecter un angle, cf. Kirwan F. complex algebraic curves
p.25).
(3) Les surfaces S1:xt−yz = 0 et S2:x3+y3+z3+t3= 0 puis la courbe
de P3:C:{xt −yz = 0, x3+y3+z3+t3}=S1∩S2.
(4) De même avec S0
1:t2−yz = 0 et C0=S0 1∩S2.
6. Soit I= (x2+y2−1, y + 1). Trouver f∈I(V(I)) tel que f /∈I.
7. Soit kun corps non algébriquement clos. Soit P∈k[x]et soit Ph∈k[x, y]
son homogénéisé.
i) Montrer que Pa une racine dans ksi et seulement si Pha un zéro
(a, b)6= (0,0) dans k2.
ii) Montrer qu’il existe Q∈k[x, y]homogène dont le seul zéro dans k2
est (0,0).
iii) Pour tout n≥2, montrer qu’il existe Q∈k[x1, ..., xn]homogène dont
le seul zéro dans knest (0, ..., 0).
iv) Montrer que toute variété dans knest une hypersurface.
8. Soit Iun idéal de k[x1, ..., xn]
i) Dans le cas particulier où √I= (f1, f2)avec fni
i∈I, montrer que
fn1+n2−1∈Ipour tout f∈√I.
ii) Prouver pour tout idéal Iqu’il existe n∈N∗tel que fn∈Ipour tout
f∈√I.
9. Soit kun corps algébriquement clos. Une quadrique de P3
kest une variété
algébrique de la forme V(F)où Fest polynôme homogène de degré 2 en
X, Y, Z, T , donc une forme quadratique sur k4que l’on supposera non-
dégénérée.
i) Montrer que toute quadrique de P3
kpeut s’écrire V(XY −ZT )dans
un bon système de coordonnées.
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2 PRÉPARATION À L’AGRÉGATION - OPTION C EXERCICES
ii) Montrer que V:= V(XY −ZT )contient deux familles de droites
que l’on indexera par P1
k. Montrer qu’en chaque point de Vpasse
exactement une droite de chaque famille, que ces deux droites sont
disjointes et que deux droites différentes se coupent en un seul point.
iii) Montrer que si D1,D2et D3sont trois droites de P3
kdeux à deux
disjointes, alors il existe une unique quadrique qui les contient toutes
les trois. (Montrer d’abord qu’en 9 points de P3
kpasse toujours une
quadrique, puis que si un tel ensemble coupe une droite en trois points,
alors il contient cette droite).
10. Soit kun corps infini. On considère l’application ϕ:P1−→ P3définie par
ϕ(u, v)=(u3, u2v, uv2, v3).
On pose C=Im(ϕ). Montrer que C=V(XT −Y Z, Y 2−XZ, Z2−Y T )
(pour l’inclusion non triviale, regarder sur les ouverts X6= 0,T6= 0).
Montrer que I(C)=(XT −Y Z, Y 2−XZ, Z2−Y T ), puis montrer que I(C)
n’est pas engendré par deux générateurs (regarder les termes de degré 2).
Montrer que C=V(Z2−Y T, P )où Pest un polynôme homogène de degré
3 que l’on précisera.