PRÉPARATION À L`AGRÉGATION - OPTION C EXERCICES 1. L

PRÉPARATION À L’AGRÉGATION - OPTION C
EXERCICES
1. L’ensemble {(t, sin(t)), t ∈ R} est-il algébrique ?
2. Soit f : k −→ k3 défini par f (t) = (t, t2 , t3 ). Montrer que l’image de f ,
notée C est une variété algébrique affine. Déterminer I(C).
3. L’ensemble {(cos(t), cos(2t)), t ∈ R} est-il algébrique ?
4. Soit k un corps algébriquement clos. Déterminer I(V ) quand V est l’une
des variétés suivantes :
V (xy 3 + x3 y − x2 + y), V (x2 y, (x − 1)(y + 1)2 ), V (z − xy, y 2 + xz − x2 ).
5. Etudier les singularités de
(1) L’astroïde C : (x2 + y 2 − 1)3 + 27x2 y 2 ;
(2) La conchoïde de Nicomède : C : (x2 + y 2 )(x − 1)2 = 4x2 (cette courbe
permet de trisecter un angle, cf. Kirwan F. complex algebraic curves
p.25).
(3) Les surfaces S1 : xt − yz = 0 et S2 : x3 + y 3 + z 3 + t3 = 0 puis la courbe
de P3 : C : {xt − yz = 0, x3 + y 3 + z 3 + t3 } = S1 ∩ S2 .
(4) De même avec S10 : t2 − yz = 0 et C 0 = S10 ∩ S2 .
6. Soit I = (x2 + y 2 − 1, y + 1). Trouver f ∈ I(V (I)) tel que f ∈
/ I.
7. Soit k un corps non algébriquement clos. Soit P ∈ k[x] et soit P h ∈ k[x, y]
son homogénéisé.
i) Montrer que P a une racine dans k si et seulement si P h a un zéro
(a, b) 6= (0, 0) dans k2 .
ii) Montrer qu’il existe Q ∈ k[x, y] homogène dont le seul zéro dans k2
est (0, 0).
iii) Pour tout n ≥ 2, montrer qu’il existe Q ∈ k[x1 , ..., xn ] homogène dont
le seul zéro dans kn est (0, ..., 0).
iv) Montrer que toute variété dans kn est une hypersurface.
8. Soit I un idéal de k[x1 , ..., xn ] √
I = (f1 , f2 ) avec fini ∈ I, montrer que
i) Dans le cas particulier où √
n1 +n2 −1
f
∈ I pour tout f ∈ I.
ii) Prouver
pour
tout idéal I qu’il existe n ∈ N∗ tel que f n ∈ I pour tout
√
f ∈ I.
9. Soit k un corps algébriquement clos. Une quadrique de P3k est une variété
algébrique de la forme V (F ) où F est polynôme homogène de degré 2 en
X, Y, Z, T , donc une forme quadratique sur k4 que l’on supposera nondégénérée.
i) Montrer que toute quadrique de P3k peut s’écrire V (XY − ZT ) dans
un bon système de coordonnées.
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EXERCICES
ii) Montrer que V := V (XY − ZT ) contient deux familles de droites
que l’on indexera par P1k . Montrer qu’en chaque point de V passe
exactement une droite de chaque famille, que ces deux droites sont
disjointes et que deux droites différentes se coupent en un seul point.
iii) Montrer que si D1 , D2 et D3 sont trois droites de P3k deux à deux
disjointes, alors il existe une unique quadrique qui les contient toutes
les trois. (Montrer d’abord qu’en 9 points de P3k passe toujours une
quadrique, puis que si un tel ensemble coupe une droite en trois points,
alors il contient cette droite).
10. Soit k un corps infini. On considère l’application ϕ : P1 −→ P3 définie par
ϕ(u, v) = (u3 , u2 v, uv 2 , v 3 ).
On pose C = Im(ϕ). Montrer que C = V (XT − Y Z, Y 2 − XZ, Z 2 − Y T )
(pour l’inclusion non triviale, regarder sur les ouverts X 6= 0, T 6= 0).
Montrer que I(C) = (XT −Y Z, Y 2 −XZ, Z 2 −Y T ), puis montrer que I(C)
n’est pas engendré par deux générateurs (regarder les termes de degré 2).
Montrer que C = V (Z 2 − Y T, P ) où P est un polynôme homogène de degré
3 que l’on précisera.