Sujet de Thèse
_ Titre : Fonctions algébriquement constructibles versus fonctions rationnelles
continues
_ Unit_e de recherche : IRMAR, UMR-6625
_ Thème : Géométrie algébrique réelle
_ Mots clefs : fonction rationnelle, ensemble constructible
Objectif de la thèse
Une fonction continue et rationnelle sur une variété algébrique complexe non
singulière est nécessairement régulière. Ce n'est plus le cas dans le cadre des
variétés algébriques réelles, comme le montre l'exemple de la fonction sur R2
définie par f(x; y) =x3/(x2+y2) . L'article [2] a récemment mis en lumière cette
classe
de fonctions, il propose différentes questions encore ouvertes à leur propos.
De plus, l'anneau de ces fonctions, intermédiaires entre les fonctions régulières
et les fonctions rationnelles, possède de bonnes propriétés géométriques (même
s'il n'est pas noethérien), comme démontré dans [1].
Récemment, Jean-Philippe Monnier a entamé l'étude des fonctions
algébriquement contructibles (introduites par C. McCrory and A. Parusinski [3])
via les fonctions rationnelles continues, obtenant notamment de nouvelles bornes
pour l'écriture du signe d'une telle fonction comme sommes de signes de fonctions
polynomiales. Cette approche ouvre de nouvelles perspectives que l'on propose
d'étudier dans le cadre de la thèse.
References
[1] G. Fichou, J. Huisman, F. Mangolte, J.-P. Monnier, Fonctions régulues, J.
Reine angew. Math. 718, 103-151 (2016)
[2] J. Koll_ar, K. Nowak, Continuous rational functions on real and p-adic va-
rieties Math. Z. 279, 1-2, 85-87 (2015).
[3] C. McCrory, A. Parusi_nski, Algebraically constructible functions, Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup. 4e série 30, 527-552 (1997)
[4] J.-P. Monnier, Semi-algebraic geometry with rational continuous functions,
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