CHAP 2

Théorème de Steinitz
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Proposition 1.8 :
Soient deux corps k, k’ et un isomorphisme
k'k: 
. Soit f k[X] et deux corps de
décomposition K, K’ de f et de
f
respectivement. Alors il existe un isomorphisme
T : K K/ tel que
k
T
= . En particulier pour k=k’ et =Ik on retrouve la théorème 1.7 .
Preuve :
Voir [3]
Exemple :
R(i) est le corps de décomposition de h(x)=x2+1 polynôme de R[X].
Application a la décomposition de xn-1
Théorème 1.9
Si p est premier, et si n est un entier strictement positif, alors il existe un corps fini de
cardinal pn
Preuve
Soit p un entier premier et n entier , n>0. Considérons le polynôme suivant sur Fp :
xxx  n
p
. Soit K1 un corps de décomposition de
x
sur FP. Caract(K1)=p.
 a) Le polynôme p(x) se décompose en facteurs de degré 1 sur K1. Le nombre
de ces facteurs est égal au degré de
x
, soit pn , et chacun d’eux a une racine dans K1
 b) On a
1 avec 1pn  xxxxx
. Le polynôme dérivé de
x
est le polynôme
). F dans 0pcar ( 1p p
n2p2pn' nn   xxx
La seule racine
de
x
'
est 0 qui n’est pas racine de
x
. Le polynôme
x
n’a donc pas de racines
multiples, et il en est donc de même pour
x
. En conséquence des deux points a et b, le
polynôme
x
a exactement pn racines dans K1
On va maintenant montrer que l’ensemble des racines de
x
dans K1 est un sous-
corps de K1. Il suffit de montrer que cet ensemble K est stable pour les lois de K1. Soit a K,
et b K, alors
bbet aa nn pp 
. Donc
bababa nn
npp
p
et
abbaab nn
npp
P
, ce qui montre que a+b et ab sont dans K.
En conclusion K est un corps dont le cardinal est pn

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Corollaire1.9
Si p est un entier premier et n un entier strictement positif, alors il existe un polynôme
de degré n irréductible sur FP
Preuve
D’après le théorème ci-dessus, il existe un corps fini K de cardinal pn . Si α est une
racine primitive de K, alors son polynôme minimal est de degré n et irréductible sur FP
Remarque 1.10
Il n’existe pas de formule générale donnant un polynôme irréductible pour chaque p et
n. On dispose seulement de table.
Corps de décomposition de xn-1
On s’intéresse maintenant aux racines du polynôme xn-1 dans un corps fini. Les
réponses aux questions précédentes conduiront à la décomposition de xn-1 en facteurs
irréductibles sur Fp
Avant de donner l’algorithme de décomposition de xn-1. La définition de classe
cyclotomique s’impose.
Définition 1.11
Pour j Zn, on définit la j-ième classe cyclotomique modulo n sur Fp par :
1-si0 / jp j i
où s est le plus petit entier t tel que :
n) (mod jjpt
Algorithme de décomposition de xn-1
Pour décomposer xn-1 en un produit de facteurs irréductibles il faut :
 Chercher d’abord le corps des racines de xn-1 noté
t
q
F
où t est le plus petit
entier naturel tel que n divise qt-1
 Ensuite, rechercher les différentes classes cyclotomiques relatives à q modulo n.
Le nombre de classes représente le nombre de facteurs irréductibles de xn-1.
 Noter que le nombre d’éléments dans chaque classe est le degré du polynôme
minimal correspondant à cette classe.
 Rechercher le polynôme minimal correspondant à chaque classe.
 Noter que si ns=qt-1, et si α est un élément d’ordre qt-1 dans
t
q
F
alors β=αs
est une racine primitive d’ordre n de l’unité.

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On a en définitive
 1-n
0i
in -x1x
( voir [4] page 86 )
Exemple 1.12
Décomposition de x9-1 en produit de facteurs irréductibles sur F2.
P=2 et n=9 . 9 divise 26 –1 et 9*7=26-1 , on a donc t=6 et s=7
Le corps des racines 9 ième de l’unité sur F2 est
6
2
F
=F64. Puisque 9*7=26 –1, on
considère β=α7 avec α racine primitive de F64
Les classes cyclotomiques relatives à 2 modulo 9 sont :
Г(0)={0}
Г(1)={1,2,4,8,7,5}
1x2=2 ≡2[9] ; 1x22=4 ≡4[9] ; 1x23=8 ≡[9] , 1x24=16 ≡7[9] ; 1x25=32 ≡5[9] ; 1x26= 64 ≡[9]
Г(3)={3,6}
3x2=6 ≡6[9] , 3x22= 12≡3[9]
Г(0) Г(1) Г(3)=Z9
Ainsi X9-1 admet 3 facteurs irréductibles sur F2
On en déduit
x9-1=
xmxmxm 310
et les polynômes
xmxmxm 310 , ,
ont respectivement pour degré 1 ,6
et 2. On peut les expliciter comme polynômes dans F2. Par exemple :
57842
1
 xxxxxxxm
Manifestement
1
0 xm
. Il existe un seul polynôme irréductible de degré 2 sur F2 , c’est
x2+x+1, et donc
.1
2
3 xxxm
On sait maintenant que
xmxxmxxxx 1111 329 1
Par ailleurs ,
1 11 111 3633
2
33
3
39 
 xxxxxxxx
On en déduit que
1
36
1 xxxm
, et la décomposition cherchée est :
1 1 11 3629  xxxxxx

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2- THEOREME DE STEINITZ
Un corps commutatif K étant donné, nous construirons dans ce paragraphe
moyennant le lemme de Zorn, un sur-corps de K ayant la réputation d’être algébriquement
clos.
Théorème et définition 2.1 (Corps algébriquement clos)
Soit F un corps commutatif, les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Tout polynôme non constant f F[X] a une racine dans F.
(ii) Tout polynôme non constant f F[X] se décompose dans F.
(iii) Tout polynôme irréductible dans F[X] est de degré un.
(iv) F n’admet pas d’extension algébrique excepté F lui-même.
(v) Il existe un sous-corps K de F tel que F soit algébrique sur K et tout polynôme de
K[X] se décompose dans F[X].
Un corps qui vérifie l’une des conditions du théorème 2.1 est dit algébriquement clos.
Preuve :
Voir [2] page 258.
Théorème et définition 2.2
Soit F une extension d’un corps K, les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) F est algébrique sur K et F est algébriquement clos.
(ii) F est le corps de décomposition sur K de l’ensemble de tous les polynômes
irréductibles de K[X].
Une extension F d’un corps K qui vérifie l’une des conditions équivalentes ci-dessus
est appelée clôture algébrique de K.
Preuve :
[2] page 259
Théorème 2.3 :
Si A est un ensemble infini et F un ensemble fini alors
AFA 
. En particulier,
α+n=α pour tout cardinal infini α et tout nombre entier naturel n.
Preuve :
Voir [2] page 19.

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Théorème 2.4
Si α et β sont les cardinaux tels que 0 β α et α infini alors αβ=α ; en particulier
αN0=α et si β est fini N0β=N0
Preuve :
Voir [2] page 20
Théorème 2.5
Soit A un ensemble, pour tout entier n non nul on définit An =AxAx … xA ( n
facteurs).
(i) Si A est fini, alors
AA infiniest A siet AA n
n
n
(ii)
*
Nn
n
A
=N0
A
Preuve :
(i) Le cas A fini est évident. On montrera le cas A infini, par induction sur n ( le cas n=2
étant donné par le théorème précédent).
(ii) Les ensembles An (n>0) sont disjoints deux à deux. Si A est infini, il existe une
bijection fn : An dans A d’après (i). L’application
uf ,n uf u
xANA : f
n
Nn
n
avec u An ; est une bijection.
Dès lors
ANAx NA Nn
n
N0
A
Supposons maintenant que A est fini. Si A= alors (ii) est vraie. Sinon A est non
vide, An est non vide et on a :
N0=
Nn n
AN
De plus, chaque An est fini et il existe pour tout n une application injective gn de An
dans N* . L’application g définit par :
ug ,n u
Nx N A : g
n
Nn
n
où u An , est injective