Texte - TACT

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MINI COURS
INTRODUCTION à CABRI-GÉOMÈTRE
15-16-17 JUIN
JOUR 1 – 15 JUIN 2001
PARTIE 1: Une Introduction à Cabri-géomètre
PARTIE 2: Un Résumé des Concepts Géomètriques au Niveau Secondaire 1 – avec
Cabri-géomètre
JOUR 2 – 16 JUIN 2001
Les Transformations avec Cabri-géomètre du Niveau Primaire jusqu’au Niveau
Secondaire.
JOUR 3 – 17 JUIN 2001
1. Le Rôle des Paramètres dans les Fonctions.
2. Le Trigo avec Cabri-géomètre? Pourquoi pas?
3. Une Représentation Visuelle d’une Variable.
Astrid Defence
[email protected]
Woodland Adult Centre
Montreal, Canada
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Jour 1, juin 15, 2001
Partie 1: Introduction à Cabri-géomètre
Nous allons faire une brève connaissance de ce logiciel en suivant un de ces outils - celui
de la DROITE. (ou LIGNES)
1. Première fenêtre.
Regardez les outils apparaissant sous la barre des menus. Un est déjà illuminé en blanc. Il
montre une droite avec un point.
Remarquez que le curseur prend l'apparence d'une flèche en dehors de la fenêtre mais
prend l'apparence d'une tête de crayon une fois dans la fenêtre. (Le curseur peut prendre
l'apparence d'une flèche, d'un crayon, d'une petite main ou d'une croix selon ce qu'on est
en train de faire).
Avec le curseur dans la fenêtre, appuyez sur la souris, la relachez, la déplacez et
l'appuyez encore. Vous verrez une droite avec un point. (Figure 1)
Figure 1
On peut controller la position de la droite avec la souris mais il faut d'abord
désélectionnez l'outil DROITE.
On désélectionne un outil en sélectionnant l'outil
3
POINTEUR ou en appuyant sur la souris quand le curseur est dans la region grise, à
droite, à côté des outils. (En anglais, je l'appelle CITGA - Click In The Grey Area).
Maintenant approchez le curseur de la droite (il se changera en une petite main qui
aggrippera la droite) appuyez sur la souris et déplacez la. Vous allez voir que la droite
tourne autour de son point. Qu'est-ce qui se passe si on essaye de déplacer le point sur la
droite?
2 . Revenez à l'outil DROITE et simplement appuyez sur la souris. Vous allez voir tous
les choix qui nous sont offerts par cet outil. Sélectionnez segment, ramenez le curseur
dans la fenêtre, appuyez sur la souris, (ceci positionne un point du segment), déplacez la,
et appuyez encore pour positionner l'autre point du segment. Faites plusieurs segments.
(Figure 2)
Qu'est-ce qui se passe quand on déplace un des points au bout du segment?
Qu'est-ce qui se passe quand on déplace le segment?
(Vous n'avez pas oublié de désélectionnez DROITE avant d'essayer ces déplacements,
n'est-ce pas?)
Figure 2
4
3. Retournez encore une fois à l'outil DROITE , sélectionnez demi-droite, sélectionnez
vecteur. (Figure 3)
Figure 3
Notez les differences entre le déplacement des points de base des demi-droites et des
vecteurs. Et notez aussi les differences entre les déplacements des demi-droites ellesmêmes et des vecteurs eux-mêmes.
4. Avant de continuer vos sélections vous aimeriez peut-être vous débarasser des images
dans cette fenêtre. Pour ce faire, vous avez la choix d'ouvrir une nouvelle fenêtre
(nouveau dans le menu fichier), ou de sélectionner toute la fenêtre (control A) et de
l'effacer.
Maintenant sélectionnez triangle. Pour en construire un, on appuye sur la souris trois
fois dans la fenêtre. (clic-clic-clic!) (Figure 4a)
Répétez cette sélection, mais cette fois-ci à chaque clic tapez une lettre majuscule pour
nommer les sommets du triangle. (Figure 4b).
On peut aussi déplacer les noms des sommets. (Figure 4c)
5
A
A
C
C
B
Figure 4a
B
Figure 4b
Figure 4c
Pour nommer les sommets du premier triangle, on doit se servir d'un autre outil, celui
d'OPTIONS (ou affichage) et sélectionner nommer. On clique dans la fenêtre près d'un
sommet et on voit un rectangle où on peut taper une lettre. Essayez de le faire.
5. Maintenant pour les polygones.
Sélectionnez polygone et cliquer 4, 5, 6... fois,
comme vous voulez, mais il faut le fermer en cliquant sur le premier point. Nommez-le en
même temps, ou après! (Figure 5).
E
D
F
I
H
G
Figure 5
Experimentez un peu avec votre polygone. Qu'est-ce que vous pouvez changer?
6. Et finalement pour l'outil DROITE, sélectionnez polygone régulier. Le premier clic de
la souris contruit le centre du polygone et le deuxième la longueur du rayon du cercle
(imaginaire) autour du polygone. On construit un polygone convexe en déplaçant la
6
souris dans le sens des aiguilles d'une montre, ou un polygone croisé en la déplaçant dans
l'autre sens ... et on clique. (Figures 6a, 6b).
Figure 6a
Figure 6b
Les figures 7a et 7b expliquent la fraction qui accompagne les polygones croisés.
Figure 7a
Figure 7b
7
Partie 2: Un Résumé des Concepts Géométriques au niveau Secondaire 1 - avec Cabrigéomètre.
1. Les angles opposés par le sommet sont égales.
A
B
145.54 °
34.46 °
D
O
34.46 °
145.54 °
C
Figure 8
i) Construisez une droite. Nommez son point O.
(ii) Construisez une seconde droite qui passe par le point O.
(iii) Construisez des points sur les droites (sélectionnez point sur un objet dans le menu
POINTS). Les nommez A, B, C, D.
(iv) Sélectionnez Mesure d'angle dans le menu MESURES. Cliquez sur A, puis O puis
D pour faire apparaître le mesure de l'angle AOD. Faites semblable pour les autres angles.
(v) Vérifiez que les angles opposés par le sommet O sont égales..
(vi) Vérifiez que les angles opposés par le sommet O sont toujours égales..
Qu'est-ce que vous pouvez déplacer?
8
2. Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite, ont une
somme égale à deux droits. (ou 180˚).
B
140.00 °
=
140.00 °
A
O
40.00 °
+
40.00 °
180.0 °
C
Figure 9
(i) Construisez une droite. Nommez son point O.
(ii) Construisez une demi-droite qui part du point O.
(iii) Construisez les points sur objet A, B, C comme dans la Figure 2.
(iv) Démontrez les mesures des angles COB et BOA.
(v) Ouvrez la calculatrice qui se trouve dans le menu MESURES sous le nom de calcul.
Pour faire montrer la somme des mesures des angles COB et BOA, on clique sur la mesure
de l'angle COB (ça paraît comme un variable a), on sélectionne '+', puis on clique sur la
mesure de l'autre angle (qui paraît comme un variable b), et puis on sélectionne '='. Et on
voit que la somme est 180˚. Pour mettre cette somme dans la fenêtre on clique sur le 180˚
- ceci fait apparaître un rectangle dans la fenêtre qui se déplace selon le mouvement de la
souris - et on clique à l'endroit où on veut installer ce rectangle. Le montant 180˚
apparaîtra dans le rectangle.
Pour écrire la somme des deux montants comme dans la Figure 9, on ouvre Texte
dans le menu OPTIONS (affichage). Le curseur devient une croix et Cabri nous fournit
un rectangle où on peut écrire ce qu'on veut. On clique près de la mesure d'un des angles,
(on reçoit le message "inclure ce nombre"), on tape un "+", on clique près de la mesure de
l'autre angle, on tape "=", et on inclut le 180˚ qu'on vient d'afficher dans la fenêtre.
Remarquez maintenant ce qui se passe avec toutes ces mesures quand on déplace la demidroite OB.
9
3. La somme des trois angles d'un triangle est égale à 180˚.
A
74.31 °
50.47 °
C
55.22 °
B
Result: 180.0 °
+
74.31 °
55.22 °
+
50.47 °
=
180.0 °
Figure 10
Vous voulez essayer cette demonstration vous-même sans d'autres instructions!
(Demandez de l'aide si vous en avez besoin).
4. (a) Dans tout triangle, au plus grand angle est opposé le plus grand côté.
(b) Dans tout triangle, au plus grand côté est opposé le plus grand angle.
D
79.72 °
4.16 cm
3.86 cm
47.59 °
52.70 °
5.15 cm
E
Figure 11
Àvous de le vérifier!
F
10
5. Construire un triangle équilatéral et confirmer que ces trois angles ont chacun
60˚.
(i) Vous avez deux méthodes pour construire ce triangle:
1. Par Polygone Régulier dans le menu de DROITES, (Mais pour le moment,
ne le faites pas!)
ou 2. Construire un Segment, AB, (côté du triangle), de n'importe quelle grandeur,
et les deux autres côtés de la même grandeur en vous servant de l'outil Cercle (dans le
menu COURBES) ou Compas (dans le menu CONSTRUCTION).
2(a). Avec Cercle, on clique sur un point qui va servir comme centre et on clique encore
pour établir le rayon du cercle. Alors:
C
A
B
Figure 12
(i) Segment AB.
(ii) Cercle 1 - centre A, point du rayon B.
(iii) Cercle 2 - centre B, point du rayon A. (Figure 12).
ou 2(b). Avec Compas, on clique sur le centre et sur un segment qui répresente le longeur
du rayon. Alors:
(i) Segment AB
(ii) Premier cercle: Compas - centre A, rayon AB.
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(iii) Deuxième cercle: Compas - centre B, rayon AB. (Figure 12).
Dans les deux cas:
(iv) Sélectionnez point d'intersection dans le menu POINTS, et approchez le curseur
près d'un point d'intersection des deux cercles, cliquez sur ce point et nommez-le C.
(v) Construisez le triangle ABC.
(vi) Cachez les cercles et même le segment AB.
On fait celà en sélectionnant
Cacher/Montrer dans le menu ASPECT DU DESSIN et en cliquant sur les cercles et le
segment AB. (Attention au message "Quel objet")
(vii) Tentez de déplacer les sommets du triangle. Est-ce qu'on peut tous les déplacer?
Pourquoi pas? Tentez de déplacer le triangle tout seul. Refaites apparaître le segment et
essayez encore une fois.
(viii) Vérifiez que la somme de tous les angles est égale à 60˚.
6. Les axes de symétriques d'un triangle équilatéral contiennent les médianes, les
bissectrices, les médiatrices, et les hauteurs du triangle.
Figure 13
(i) Construisez un triangle équilateral à partir du polygone régulier.
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(ii) Ouvrez le menu CONSTRUCTION et notez toutes les choix qui vous sont offertes.
Sélectionnez Médiatrice et cliquez sur un côté du triangle. Répetez pour les deux autres
côtés. Coloriez les en bleus. (ASPECT DU DESSIN - couleur)
(iii) Sélectionnez Bissectrice et cliquez sur un angle (par trois points comme vous avez
fait pour le mesurer). Répetez pour les deux autres angles. Vous allez voir disparaître les
médiatrices bleues. Evidemment ce sont les mêmes droites qu'avant.
Coloriez ces
secondes series de droites oranges. Vous allez rencontrer le message "Quel objet?"
Choisissez le deuxième.
(iv) Sélectionnez Milieu et trouvez le milieu des trois côtés. Construisez alors les trois
médianes. Vous allez voir disparaître les bissectrices oranges, qui preuvent qu'ils sont
encore les mêmes droites. Coloriez les en rouge. "Quel objet?" - le troisième.
(v) Pour les hauteurs, sélectionnez Droite perpendiculaire et construisez les droites qui
passent par les sommets du triangle et qui sont perpendiculaires aux côtés opposés. La
même chose se passe. Coloriez les en violet. Quel objet?" - le quatrième.
Comme vous voyez, quand vous choisissez n'importe quelle droite vous avez
quatre choix d'objets, chacun avec sa propre couleur - ce qui signifie que les quatres
droites sont devenues confondues.
7. Maintenant vous êtes bien capable de voir la vérité des quatre propositions suivantes:
1. Les médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point.
2. Les bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point.
3. Les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point.
4. Les médianes d'un triangle sont concourantes en un point.
À vous de les faire!
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Quelles questions supplémentaires est-ce qu'on pourra demander aux élèves à partir de ces
constructions? Ou encore mieux, quelles observations est-ce qu'on pourra attendre des
élèves eux-mêmes en faisant ces constructions?
Et une dernière petite question pour ce matin: Où se place le concept de preuve parmi
tous ces beaux dessins?
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Jour 2 juin 16, 2001
Les Transformations avec Cabri-géomètre du Niveau Primaire jusqu'au
Niveau Secondaire.
1. Au niveau primaire
On nous dit qu'il faut encourager les étudiants au niveau primaire à explorer et à se
familiariser avec des formes géomètriques avant de les étudier plus formellement au niveau
secondaire. De ce point de vue, alors, faire des transformations avec l'aide de Cabri
pourrait les familiariser avec ces concepts sans se perdre dans des constructions trop
complexes. Cabri pourrait les aider à mieux comprendre ce que ça veut dire par des
translations, des rotations et des reflexions en s'amusant un peu en même temps.
Alors voyons ce qu'on pourrait peut-être faire.
Exemple 1: une translation
i) Construisez deux cercles et leur donnez des 'yeux' et une 'bouche', (un monsieur
heureux et un monsieur triste), en vous servant des cercles et des arcs.
ii) Construisez un chapeau pour le monsieur heureux. (voir polygones).
iii) Construisez un vecteur. (flèche de translation)
iv) Sélectionnez Translation et cliquez sur le chapeau et sur le vecteur.
v) Coloriez (Remplir) le chapeau et posez-le sur la tête de l'autre monsieur en déplaçant
le point terminale du vecteur.
vi) Ce monsieur maintenant devient heureux. (Figures 1a, 1b)
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Figure 1a
Figure 1b
On n'est limité que par l'imagination de l'enseignant(e) ou des élèves pour en trouver
beaucoup plus de beaux exemples.
Exemple 2 - une rotation - avec un peu d'animation!
i) Construisez une piste circulaire (deux cercles) et mettez-y une petite voiture. Coloriez
la voiture. (Remplir)
ii) Construisez un autre cercle et construisez deux segments provenant du centre.
iii) IMPORTANT: Marquez l'angle entre les segments et puis mesurez-le. (Vous
trouverez Marquer l'angle sous le menu OPTIONS. Si vous ne marquez pas l'angle
d'abord, vous n'aurez pas le mesure des angles plus grands que 180˚ - un petit
inconvénient de Cabri!!!)
iv) Sélectionnez rotation et faites tourner la voiture autour de la piste, (c'est à dire,
autour du centre des deux grands cercles) selon la valeur démontrée de l'angle dans le petit
cercle.
v) Sélectionnez animation (sous OPTIONS) et tirez le point A sur la circonférence du
petit cercle en sens inverse. (Figure 2)
16
A
81.68 °
Figure 2
vi) Invitez vos élèves à inventer quelque chose de plus intéressant. Ils le feront, j'en suis
certaine!
Si vous trouvez que cette construction est trop difficile pour les jeunes, vous
pourriez l'avoir déjà à moitié préparée dans un fichier qu'ils n'auront qu'à ouvrir.
Exemple 3 - une réflexion (ou une symétrie/droite).
i) D'abord on a besoin d'une droite de symetrie, alors construisez-en une. (Pas verticale!)
ii) Construisez un polygone qui ressemble à une aile de papillon, attachée à la droite.
iii) Construisez des petits cercles et coloriez-les. (remplir) (Figure 3a)
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Figure 3a
Figure 3b
iv) Sélectionnez symétrie /droite et faites la symétrie du polygone et des petits cercles
dans la droite. Ajoutez un corps (segment) et des antennes. (arcs) (Figure 3b)
v) Il ne bouge pas votre papillon! Faites-le voler! (Lesquels des points pouvez-vous
déplacer?)
2. Les transformations au niveau secondaire.
A. Une exploration sur les propriétés de chaque transformation.
Pour cette section on vous offre des activités telles que vous pourriez faire avec vos
élèves.
1. Les translations:
i) Construisez un triangle ABC et un vecteur v et faites une translation du triangle par
rapport au vecteur. Nommez l'image du ∆ABC, A'B'C'.
ii) Déplacez le point terminale du vecteur et notez l'effet sur le triangle A'B'C'.
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iii) Construisez les segments AA', BB', CC' et faites trois commentaires:
* un qui note la longueur des segments par rapport au vecteur,
* un deuxième qui note le direction des segments par rapport au vecteur,
* et un troisième qui note le sens des segments par rapport au vecteur. (Figure 4)
A'
C'
A
B'
C
V
B
Figure 4
iv) Pouvez-vous voir ce que vous devriez faire pour construire cette translation vousmême? Est-ce qu'il faut absolument connâitre la longueur du vecteur? Comment est-ce
que vous pouvez transférer cette longueur sans la mesurer? Si vous avez de bonnes
réponses à toutes ces questions, vous êtes prêt à essayer la construction d'une translation
comme vous la feriez avec papier/crayon.
v) Ouvrez un nouveau fichier et construisez un triangle ABC et un vecteur v.
vi) Sans vous servir de la translation 'ready-made' de Cabri, construisez les droites et
faites les mesures nécessaires pour effectuer la translation du ∆ABC et la construction du
∆A'B'C'. Changez la couleur du ∆A'B'C'.
vii) Vérifiez votre construction en vous servant maintenant de la translation du Cabri et
notez le changement de couleur du ∆A'B'C'. Que signifie ce changement de couleur?
viii) Qu'est-ce qui definit une translation?
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2. Les Réflexions:
i) Construisez un triangle ABC et une droite m. (l'axe de symétrie).
ii) Faites une réflexion(symétrie/droite) du ∆ABC à partir de la droite m.
iii) Déplacez la droite m et notez l'effet sur le ∆A'B'C'.
iv) Construisez les segments AA', BB' et CC' et nommez les points d'intersection avec la
droite m, D, E et F respectivement. (Figure 5). Faites deux commentaires:
* un qui note la direction de ces segments par rapport à l'axe de symétrie m,
* et l'autre qui note les longueurs de AD et DA', BE et EB', et CF et FC'.
m
A
D
A'
C'
F
C
B
E
B'
Figure 5
Voyez-vous ce qu'il faut faire pour effectuer la réflexion vous-même?
v) Ouvrez un nouveau fichier et construisez un triangle et un axe de symétrie.
Construisez et mesurez ce qu'il faut pour trouvez l'image ∆A'B'C'. Changez sa couleur.
vi) Répétez la réflexion avec Cabri. Est-ce qu'il y a un changement de couleur? Une
preuve par changement de couleur??!!
vii) Qu'est-ce qui définit une réflexion?
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3. Les rotations:
i) Construisez un triangle ABC, un centre de rotation O et, en vous servant du *Nombre
(voir OPTIONS), un angle de 60˚.
* Pour vous servir de Nombre, on le sélectionne et puis on clique quelque part
dans la fenêtre. Vous verrez un rectangle dans lequel vous tapez la valeur 60˚ (le
symbole ˚ n'est pas vraiment nécessaire - c'est compris par défaut).
(Aussi, rapellez-vous qu'un angle positif tourne dans le sens inverse des
aiguilles d'une montre et un angle négatif tourne dans le sens des aiguilles
d'une montre).
ii) Sélectionnez Rotation et cliquez sur le triangle, l'angle de 60˚ et le centre de rotation O.
Nommez l'image ∆A'B'C'.
iii)
Construisez les segments CO et OC'.
Marquez et mesurez l'angle COC'.
Evidemment 60˚. (Figure 6). Répétez pour les angles AOA' et BOB'.
60
A
C
C'
60.0 °
B
A'
B'
Figure 6
O
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Voici une méthode pour changer la valeur de l'angle (sans le petit cercle qu'on avait
avant). On resélectionne Nombre et on clique sur le nombre 60. Vous verrez
encore un rectangle autour du nombre. Avec le curseur immédiatement à la
droite du 6 tapez sur 'la flèche qui monte' sur le clavier. Vous devriez voir que le
nombre change en 70.
Tapez encore; ça devient 80. Pour faire diminuer le
nombre, tapez sur 'la flèche qui tombe' sur le clavier. La position du curseur
détermine le taux de changement. Si vous voulez que la valeur change par degré
mettez le curseur à la droite du 0.
(iv) Quand on change l'angle de rotation qu'est-ce qui se passe avec l'angle COC'? Et
qu'est-ce qui parâit être vrai de la longueur du segment CO par rapport à la longueur du
segment C'O? Comment pouvez-vous le prouver?
Voyez-vous comment faire une
rotation sans l'aide de Cabri? Essayons-le!
v) Ouvrez un nouveau fichier, construisez un triangle ABC, un point O et affichez un
angle de -100˚. Qu'est-ce qui est la première chose à faire? Oui, il faut construire des
segments OA, OB, OC. Deuxièmement, on peut construire des cercles de centre O,
passant par A, B et C. Et troisièmement il faut construire les angles AOA', BOB' et
COC' de -100˚ - c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre. Les points A', B' et C'
seront situés sur les cercles passant par A, B et C, respectivement. Finalement vous
construisez votre triangle A'B'C'. Changez sa couleur.
vi) Maintenant répétez la rotation avec l'aide de Cabri. Est-ce que vous voyez un
changement de couleur du ∆A'B'C'? Encore une fois, une preuve par changement de
couleur!?
vii) Qu'est-ce qui définit une rotation?
Comme résumé de ces activités, ce serait intéressant peut-être d'inviter vos élèves
à compléter un tableau indiquant le parallélisme des côtés de l'objet en comparaison avec
les côtés de l'image, l'orientation des côtés de l'objet en comparaison avec les côtés de
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l'image, et la congruence des côtés et des angles de l'objet en comparaison avec les côtés et
les angles de l'image. Cette dernière renforcera le concept d'isométrie entre ces figures.
Quelquefois on n'apprécie que les choses restent les mêmes que quand on
rencontre des situations où les choses changent: c'est à dire, dans la situation des
'transformations de grandeur ' (size transformations, in English); en françcais, les
homothéties.
Cabri peut nous servir d'outil puissant pour la compréhension de ce
concept.
4. Les homothéties
A'
C"
2.5
- 1.5
A
B"
O
D'
D
D"
B
B'
C
A"
C'
Figure 7
(i) Construisez un polygone ABCD, un point O et le nombre 2,5.
(ii) Sélectionnez Homothétie et cliquez sur le polygone ABCD, le point O (le centre
d'homothétie) et le nombre 2,5 (le rapport d'homothétie). Nommez l'image A'B'C'D'.
Vous aimeriez peut-être construire des droites passant par AOA', BOB', COC' et DOD'.
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(iii) Changez la valeur du rapport en sélectionnant Nombre encore et avec le curseur à la
droite du '5', dans le 2,5.
(iv) Notez l'effet sur le polygone A'B'C'D' quand le rapport prend les valeurs <1, >1, et
<0.
(La Figure 7 nous montre deux situations à la fois: A'B'C'D' avec un rapport de 2,5 et
A"B"C"D" avec un rapport de -1,5).
(v) Vous aimeriez faire noter à vos élèves le parallélisme des côtés correspondants des
figures, et la congruence des angles. Quant à la mesure de la longueur des côtés, voyons
comment Cabri pourrait les aider .
(vi) Sélectionnez Distance & longueur et démontrez la longueur des segments: OA,
OA'; OB, OB'; OC, OC'; et OD, OD'. Calculez les rapports OA'/OA; OB'/OB; OC'/OC;
et OD'/OD. Evidemment tous les rapports seront égaux à 2,5.
(vii) Maintenant trouvez la longueur des côtés des polygones et calculez les rapports
A'B'/AB; B'C'/BC; C'D'/CD; et D'A'/DA. Les résultats? 2,5.
On pourrait refaire tous ces calculs avec le rapport -1.5.
Alors vos élèves seront convaincus que quand on veut agrandir une figure par un
rapport d'homothétie de 2,5, par rapport à un point fixe (le centre d'homothétie) il suffit
de trouver des points 2,5 plus loin du centre que les points donnés, n'est-ce pas? Et si le
rapport est négatif, on le fait de l'autre côté! (C'est un peu comme celà que mes étudiants
comprennent comment faire des homothéties!)
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B. Les Isométries sur le Plan Cartésien - leur répresentation analytique.
Comme il se peut qu'il nous reste peu de temps pour compléter une étude sur les trois
isométries, nous allons simplement regarder le cas des translations, et c'est aux
participants d'appuyer des méthodes semblables dans les cas de rotations et de réflexions.
y
t(-3, -1)
( 3.0 , 4.0 )
v
A
( 0.0 , 3.0 )
A'
B
( - 5.0 , 0 . 0 )
1
( - 2.0 , 1 . 0 )
1
B'
x
C
( 4 . 0 , - 2.0 )
C'
( 1 . 0 , - 3.0 )
Figure 8
(i) Sélectionnez Montrer les axes (sous ASPECT DU DESSIN - REPÈRES).
Sélectionnez Grille (même menu) et cliquez sur l'axe des x.
(ii) Construisez un triangle ABC avec les sommets A(3, 4), B(-2, 1) et C(4, -2). On place
ces points en comptant des carrés sur la grille, et on confirme leur position en
sélectionnant Coord & équations (sous MESURES) et en cliquant sur chaque point.
Cabri nous fournit leurs coordonnées.
(iii) Construisez un vecteur de translation t(-3, -1).
(iv) Effectuez la translation du ∆ABC selon le vecteur t, et nommez-le ∆A'B'C'.
Demandez à Cabri les coordonnées des sommets du ∆A'B'C'.
(v) Est-ce que ces coordonnées sont conformes à la règle
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(x, y) t(a, b) (x + a, b + y)?
(vi) Variez le vecteur. Est-ce que la règle s'applique toujours?
(vii) Variez les sommets du ∆ABC. La règle s'applique-t-elle encore?
Les réponses à ces questions sont bien evidentes mais peut-être de voir la
confirmation de la règle d'une telle manière est justement ce qu'il faut pour quelques
élèves.
Comme indiqué en-haut les participants sont invités à explorer les rotations et les
réflexions eux-mêmes de la même façon - au plaisir!
Rappellez-vous les règles étudiées au niveau secondaire?
Les réflexions:
i) dans l'axe des x: (x, y) (x, -y)
ii) dans l'axe des y: (x, y) (-x, y)
iii) dans la droite y = x: (x, y) (y, x)
iv) dans la droite y = -x: (x, y) (-y, -x)
Les rotations de centre (0, 0).
i) par 90˚: (x, y) (-y, x)
ii) par 180˚: (x, y) (-x, -y)
iii) par 270˚: (x, y) (y, -x)
iv) par -90˚: (x, y) (y, -x)
v) par -180˚: (x, y) (-x, -y)
vi) par -270˚: (x, y) (-y, x)
Ça l'air de ne plus être beaucoup de 'fun'!!
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Alors pour remettre le 'fun'! Le problème de la Boîte Noire!
Sélectionnez un partenaire!
Où bien continuez de travailler avec quelqu'un mais
choisissez un autre binôme. Construisez un triangle quelconque et soumettez-le à trois
transformations isométriques - sans que votre partenaire ou l'autre binôme vous regarde
travailler. Cachez tout ce dont vous vous êtes servi pour faire vos transformations et ne
laissez que l'image finale - nommée.
Invitez votre partenaire ou l'autre binôme à déterminer les transformations que vous avez
faites!!
Bonne chance!!
En voici un exemple!
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Jour 3 juin 17, 2001
Partie 1: Poussez-vous de là, les TI-83, 85, 89, 92 ...!1
Vous pensez que vous avez besoin d'une calculatrice à affichage graphique pour montrer
de belles images de fonctions! Evidemment, vous n'avez pas vu ce que Cabri-géomètre
peut vous offrir. Cet article prend par acquis que vous avez accès à ce logiciel et que vous
êtes prêt(e) à me suivre dans cette aventure!2
Nous allons tracer le graphique de la fonction quadratique de la forme
y = a(x - h)2 + k
et montrer comment les valeurs des paramètres affectent ce graphique.
Avant de commencer, on doit préparer le logiciel pour accomoder notre graphique :
dans le menu Options, choisissez Préférences et sélectionnez une précision d’affichage
de une décimale (dixièmes) dans le menu local Autres et 500 points pour le nombre
d’objets associés à un lieu.
On commence:
1. Dans la boîte à outils Aspect, choisissez Montrez les axes.
2. Construisez, comme points sur objet (boîte à outils Points), quatre points
quelconques A, H, K, et X sur l'axe des x, et nommez-les au fur et à mesure.
1
Les trois articles qui suivent sont reproduits du journal l’ENVOL:
1.Poussez-vous de là : #111 – avr-mai-juin 2000, p.39-41
2.Le trigo ; #115 –avr-mai-juin 2001, p.45-47
3.Une representation visuelle : #114, jan-fév-mars 2001,p. 17-19
28
3. Pour “faire beau”, mettez les noms des points
au-dessus des points
correspondants.
4. Demandez les coordonnées des points A, H, K, et X. (article Coordonnées et
équations dans la boîte à outils Mesures).
5. Sélectionnez l’outil Texte (Affichage) et editez le texte des coordonnées affiché
pour les points A, H, K et X par l'élimination des parenthèses et les zeros. (Figure
1).
Remarque : le point décimal apparaît au lieu de la virgule car les images qui suivent ont
été produites avec une version anglophone de Cabri.
Figure 1
6. Les abscisses des points A, H et K seront nos paramètres a, h, et k dans l'équation
générale de la parabole, y = a(x - h)2 + k. L'abscisse de X sera notre valeur
indépendante, x.
7. À l'aide de la calculatrice fournie par Cabri (Mesures) calculez la valeur de y selon
les valeurs indiquées pour a, x, h et k sur l'écran. (Mais, ATTENTION, il ne faut
pas vous servir des valeurs comme telles, mais cliquer sur les valeurs indiquées).
C'est à dire, cliquez sur la valeur indiquée pour le point A, cliquez sur le *, ouvrez
des parenthèses, cliquez sur la valeur de x, cliquez sur le -, cliquez sur la valeur de
h, fermez les parenthèses, cliquez sur le ^, tapez le chiffre 2, cliquez sur +, et
29
cliquez sur la valeur de k. Cliquez sur =. Le résultat paraîtra et vous pourrez le
glisser sur l'écran pour le déposer où vous voulez dans la fenêtre.
Vous devriez peut-être changer les positions tout de suite d'un de vos points A, K, H,
ou X pour accomoder la valeur de y sur l'écran. Dans la Figure 2, on voit que les valeurs
de a et de h ont été changées pour arriver à un résultat convenable de 5,5.
J'ai écrit l'équation en me servant de l'outil Texte (Affichage) et j'ai entré les valeurs
de a, h et k en cliquant sur elles, à l'écran.
Remarque : Il a y d’autres façons de choisir les valeurs pour les paramètres a, h et k : par
exemple, avec Nombre (Affichage), mais dans l’équation qu’on veut écrire à partir de ces
nombres, les valeurs des paramètres ne changent pas quand on les modifie. Avec les
valeurs des paramètres definies comme des variables sur l’axe des x, on les voit changer
dans l’équation.
8. A l’aide du menu Report de mesure (Construction), reportez la valeur de y sur
l'axe des ordonnées. Nommez-le Y. Vous devriez obtenir quelque chose comme la
Figure 2.
Figure 2
30
9. Maintenant il faut représenter le point (-3,4; 5,5) sur le plan cartesien. Pourquoi?
Et comment faire? Cabri ne le fait pas pour nous. D'abord, en construisant ce
point nous aurions au moins un point qui appartient à notre fonction! Et pensez
comment ce serait intéressant de faire réaliser aux élèves que ce point est en vérité
l'intersection des deux droites x = -3,4 et y = 5,5! Pour ce faire, il faut construire
ces Droites perpendiculaires (Construction) aux axes ainsi que leur Point
d'intersection (Points). Nommez-le P. (voir la Figure 3).
Figure 3
10. Vous devez pensez qu'on a fait beaucoup de travail pour arriver qu'à obtenir un
unique point de notre fonction! Et est-ce qu'on n'est pas supposé de voir des
choses dynamiques avec ce logiciel?
Bon, d'abord, cachez les droites
perpendiculaires. (Cacher/Montrer); choisissez lieu et cliquez sur le point P,
puis cliquez sur le point X.
Et voilà! (Figure 4)
31
Figure 4
Les premières démarches en ont valu la peine, n'est-ce pas?
Mais qu’a-t-on fait là exactement? Ou plutôt, qu'est-ce que Cabri a fait? Eh bien,
il nous a donné le lieu de tous les points P qui sont décrits par la condition que la valeur
de leur ordonnée doit être liée à leur abscisse par l'équation y = 1,5(x +1,6)2 + 0,7 pour
toutes les valeurs réelles de x. (Nous aurions pû faire ce trajet "à la main" en activant la
Trace du point P (dans Affichage)et tirer doucement le point X tout au long de l'axe des
x).
11. Et maintenant, vérifions (selon Cabri, du moins) que ce qu'on vient de tracer est
bien une parabole. On sélectionne l’outil Coniques (Courbes) et on clique sur
cinq points du lieu. Le résultat est une courbe que Cabri reconnaît comme étant
une parabole. Il peut même nous offrir sa version de l'équation de cette parabole si
on le demande. Dans ce cas il m'a donné l'équation :
3.1 x2 + 10 x - 2.1 y + 9.2 = 0.
Est-ce la même équation que :
y = 1,5(x +1,6)2 + 0,7?
32
Je laisse au lecteur le plaisir de le confirmer: un plaisir que vous aimerez transmettre aussi
à vos élèves, n'est-ce pas?
12. Mais on oublie un peu notre objectif du départ : voir l'effet du changement des
paramètres a, h et k sur le graphique. Allez-y! Déplacez le point A.
Votre
parabole a pris des ailes : elle semble voler. Et quant au point H, la parabole le
suit comme une danseuse de tango : elle glisse à droite et à gauche en suivant son
partenaire. Et comme on s’y attend bien, déplacer le point K la fait monter ou
descendre. On voit bien, aussi, la valeur du sommet du parabole, n'est-ce pas?
(On peut même voir des familles de paraboles si on active la trace pour la courbe avant de
"glisser" les points A, H ou K.)
13. Et maintenant pour votre prochaine tâche! Essayez tout ceci avec quelque chose
de plus simple (la fonction linéaire de la forme y = mx + b, par exemple) et voyez
l'effet du changement de valeur de m et de b. Voyez en effet toute la famille de
droites avec la même valeur de m ou bien toute la famille de droites avec la même
valeur de b juste en laissant les traces des droites.
Vous et vos élèves allez
sûrement trouver cela très intéressant.
14. On peut employer cette méthode pour représenter toutes les autres functions
étudiées au niveau secondaire 5, en ajoutant d’autres paramètres si nécessaire :
•
la fonction valeur absolue, g(x) = a|b(x - h)| + k;
•
la fonction plus grand entier, g(x) = a[b(x – h)] + k, (en anglais, cette fonction est
reconnue avec Cabri par “floor”);
•
les fonctions exponentielles et logarithmiques, g(x) = ac b(x – h) + k et g(x) = alogcb(x
– h) + k (avec quelques modifications);
•
et les functions trigonométriques comme g(x) = asinb(x – h) + k.
Le développement des graphiques des fonctions trigonométriques à partir d'un point qui
fait le tour d'un cercle-unité est aussi à voir avec Cabri, mais ce sera pour la prochaine
fois!
33
Partie 2: Le trigo avec Cabri-géomètre? Pourquoi pas! La suite du rôle des
paramètres…
D’abord:
I:
La construction de la graphique de la fonction f(x) = sinx à partir du cercle
trigonométrique.
(i)
Dans les Préferences, choisir radians pour la mesure des angles et au moins 300
points pour les objets d’un lieu.
(ii)
Montrer les axes, définir la grille et construire le cercle trigonométrique.
Nommer O l’origine et Q le point (1, 0).
(iii)
Construire un point variable sur l’axe des abscisses. Le nommer X, et faire
afficher ses coordonnées.
Garder son abscisse seulement.
Ce point va
contrôler la mesure d’angle de rotation du segment OQ dans le cercle.
L’abscisse va devenir le mesure de cet angle en radians.
(iv)
Faire un rotation de Q autour de O par “l’angle” X. Nommer son image Q’.
(v)
Joindre Q à O et O à Q’ et afficher la mesure de l’angle QOQ’.
(vi)
Demander à Cabri les coordonnées du point Q’. Demander à vos élèves ce
qu’elles représentent! Ils vont sûrement vous dire que ce sont le cosinus et le
sinus de l’angle indiqué dans le cercle, n’est-ce pas? On peut vérifier ce fait
avec la calculatrice de Cabri. (voir la Figure 5).
Figure 5
34
Ce serait intéressant avant de continuer de faire remarquer aux élèves les valeurs
décimales des angles π/2, π, 3π/2 et 2π en déplaçant le point X sur l’axe des x. Et aussi de
vérifier le sens de rotation de l’angle QOQ’: positif en sens anti-horaire et negatif en sens
horaire. On peut aussi voir que quand on dépasse le valeur 6,28 sur l’axe des x, en
déplaçant le point X, ça correspond à un deuxième tour de cercle.
Mais maintenant, comment faire pour décrire la courbe de la fonction f(x) = sinx
dans cette histoire?
(vii)
On veut tracer le graphique de l’ordonée du point Q’ en fonction de l’abscisse
du point X. C’est bien facile, n’est-ce pas? Nous aurions déjà un point de
cette courbe si on commence avec le point (2,27; 0,77). Ceci est une autre
bonne occasion de demander aux élèves comment le faire. Ça ne leur revient
pas tout de suite de construire des pérpendiculaires aux axes! Les laisser sur
l’écran pour le moment – en surbrillance si vous voulez.
(viii)
Bon, maintenant on a un point de notre fonction. Le nommer S (ou comme
vous voulez). Cabri va nous donner les autres. Mais c’est plus intéréssant de
ne pas le faire tout de suite : d’abord, tirer le point X sans laisser de trace –
écouter la réaction des élèves. Puis le faire avec la trace, et ensuite le faire avec
le lieu de S à partir de X. (voir la Figure 6).
Figure 6
A partir de cette belle courbe on peut très bien examiner et faire mieux comprendre aux
élèves, les concepts de l’amplitude et de la période.
35
II: Et maintenant pour la partie attendue – le rôle des paramètres dans la fonction,
f(x) = a sinb(x – h) + k, ou a ≠ 0, et b ≠ 0.
(ix)
Construire les points A, B, H et K sur l’axe des abscisses et ne montrer que
leurs abscisses.
(x)
Avec la calculatrice, calculer et afficher le résultat de y = a sinb(x – h) + k avec
les valeurs affichés pour les abscisses de A, B, H, K et X.
(xi)
Faire un report de mesure du valeur d’y sur l’axe des ordonnées. Le nommer
Y.
(xii)
Construire une droite horizontale à travers Y et une droite verticale à travers
X. Nommer le point d’intersection S”.
(xiii)
Construire le lieu de S” lorsque le point X se déplace sur l’axe des x.
Le reste, c’est à vous! Amusez –vous à déplacer les points A, B, H et K. (La Figure 7 ne
montre qu’une possibilité parmi des douzaines!)
Figure 7
36
Partie 3 Une Représentation Visuelle d'une Variable
À la page 296 de Réflexions Mathématiques 536, Tôme 1, on peut voir une figure
représentant le Tricercle de Mohr. (Figure 8)
Figure 8: Le Tricercle de Mohr
Ce tricercle est décrit dans le accompagne ce texte comme "une figure plane limitée par
trois demi-cercles. Le diamètre du petit correspond au quart du diamètre du plus grand; le
diamètre de l'autre correspond aux trois-quarts du diamètre du plus grand.".
Dans ma classe d'étudiants de niveau adulte (troisième secondaire), on était en
train d'étudier les cercles et leurs propriétés. Puisque je suis toujours à la recherche de
bons problèmes en géométrie qui peuvent être examines avec un logiciel graphique, j'ai
demandé à mes étudiants de construire cette figure sur papier avec une règle et un compas
(en commençant avec un segment AB de 12 centimètres), pendant que moi, je la
construisais avec Cabri-géomètre (mais sans mesures particulières pour le segment AB).
Voici les étapes: (Référez-vous à la Figure 9 pour une clarification des instructions).
1. Construire un segment AB.
2. Trouver le point milieu du segment AB. Le nommer M, et construire un cercle de
centre M, passant par le point A (ou B).
3. Trouver le point milieu du segment AM. Le nommer C.
4. Trouver le point milieu du segment AC. Le nommer D. Trouver le point milieu
du segment BC. Le nommer E.
37
5. Constuire des cercles de centres D et E, passsant par les points A et B
respectivement, et demander à Cabri-géomètre de montrer leurs aires.
6. Construire les demi-cercles comme indiqués, au-dessus du diamètre AB.
Le but de cette activité était de calculer l'aire du tricercle; c'est -à-dire, la moitié du
grand cercle moins la moitié du plus petit cercle, moins la moitié du moyen cercle. Avec
les demi-cercles que j'avais construits, Cabri a calculé 4,24 cm2 pour l'aire du tricercle.
(voir la Figure 9). Quant à mes étudiants, ils ont calculé 20,675cm2 pour l'aire de leur
tricercle.
Figure 9.
Plus loin, à la page 303 du texte, on demande aux élèves de calculer l'aire d'un
cercle qui - avec nos lettres - a le segment CF comme diamètre, où C est le point de
tangence entre les deux petits circles, et F est un point qui se trouve sur le demi-cercle le
plus grand, directement au-dessus du C. (Voir la Figure 10). Pour completer cette tâche
avec Cabri-géomètre:
7. Construire une droite perpendiculaire à AB passant par C et nommer le point
d'intersection de cette droite avec le grand demi-cercle F.
8. Construire le segment CF, trouver son point au milieu, et le nommer G. Cacher la
perpendiculaire.
38
9. Construire un cercle de centre G, passant par un des points, C ou F. Cacher le
segment CF. Demander à Cabri-géomètre l'aire de ce cercle. (Voir la Figure 10, où
maintenant les cercles sont cachés et on ne voit que les demi-cercles)
L'aire du cercle de centre G = 4.24 cm2
l'aire du tricercle =
4.24 cm2
F
l'aire du cercle AB
=
22.62 cm2
l'aire du cercleBC = 12.72 cm2
G
A
D
C
l'aire du cercleAC =
M E
1.41 cm2
B
Figure 10
On voit très bien que Cabri-géomètre peut nous donner une trés belle image du
tricercle de Mohr et en même temps une preuve visuelle assez convaincante que les deux
aires sont égales. (Mes étudiants ont mesuré le diamètre CF, ont pris la moitié comme
rayon et ont calculé l'aire du cercle. Ils ont trouvé que les aires étaient à peu près les
mêmes).
Mais, attendez une minute. Il paraît qu'un de mes étudiants n'avait pas mis son
point C à la bonne place. Il l'avait mis à un tiers de la distance du segment AB au lieu d'un
quart mais il a atteint finalement le même résultat que nous ; c'est- à-dire que l'aire de son
tricercle avait la même valeur que celle de son cercle. Est-ce possible alors qu'on puisse
obtenir le même résultat en plaçant le point C n'importe où? C'était à voir. Moi, de
retour à Cabri-géomètre et mes étudiants à refaire les tricercles avec le point C à diverses
distances du point A sur le segment AB.
Ce que j'ai fait: (Voir la Figure 11)
1. Comme avant, construire un segment AB et le cercle dont AB est le diamètre.
2. Construire n'importe quel point X entre A et M.
3. Construire les cercles sur les diamètres AX et XB.
39
4. Faire montrer les aires des cercles et faire le calcul pour trouver l'aire du tricercle.
(Dans mon cas j'ai obtenu 3,64 cm2).
5. Construire les demi-cercles puis cacher les cercles.
6. Construire la perpendiculaire à AB passant par X et coupant le grand demi-cercle
en Y - tout comme avant.
7. Construire le segment XY et cacher la perpendiculaire.
8. Faire montrer l'aire du cercle ayant XY comme diamètre. (Figure 11)
L'AIRE DU CERCLE
=3.64 cm2
XY
Y
20.16 cm2
Z
11.74 cm2
1.13 cm2
A
X
M
B
L'AIRE DU TRICERCLE= 3.64 cm2
Figure 11
Et voilà les deux aires égales. Mais le point X était n'importe quel point sur AB,
n'est-ce pas? Alors on peut le déplacer, n'est-ce pas? Allez-y! Déplacez-le, notre vrai
point variable! (Il faut que vous ayiez fait vous-même l'expérience de ce déplacement pour
bien apprécier ce qu'on vient de faire!)
Mais l'activité n'est pas encore terminée. Même si mes étudiants étaient bien
convaincus visuellement de l'égalité de ces deux aires, j'ai vu dans cette activité une
occasion de leur montrer la puissance d'une preuve algébrique qui pouvait servir comme
complément à la preuve géométrique et, en même temps, de les faire faire de l'algèbre dans
une situation qui avait un sens pour eux au lieu de toutes les manipulations algèbriques
qu'ils venaient justement d'apprendre et qui ne correspondaient vraiment à rien.
Voici la preuve algébrique que nous avons bâtie ensemble:
Soit r le rayon du grand cercle.
Soit x le rayon du plus petit cercle.
40
Alors le rayon de l'autre cercle est r - x.
L'aire du tricercle =
1
(ag - am - ap) où ag = l'aire du grand cercle, am = l'aire du
2
moyen cercle, et ap = l'aire du plus petit cercle.
Alors l'aire du tricercle
=
1 2 1 2 1
πr - πx - π (r - x)2
2
2
2
=
1 2 1 2 1
πr - πx - π (r2 - 2rx + x2)
2
2
2
=
1
1 2 1 2 1 2
πr - πx - πr + πrx - πx2
2
2
2
2
= πxr - πx2
Pour déterminer le diamètre du cercle à l'intérieur on a dû se servir du théorème de
Pythagore: (Figure 12)
h
r
r - 2x
Figure 12
où
h2
= r2 - (r - 2x)2
= r2 - r2 + 4rx - 4x2
= 4xr - 4x2
=
( 4 xr − 4 x 2 )
dont le rayon du cercle
=
1
( 4 xr − 4 x 2 )
2
et l'aire du cercle
=π(
Alors
h
1
( 4 xr − 4 x 2 ) )2
2
41
1
= π ( (4xr - 4x2)
4
= πxr - πx2
(Si vous trouvez ces calculs un peu bizarres c'est parce que mes étudiants n'avaient
pas encore appris à factoriser)
Alors l'aire du tricercle est égale à l'aire du cercle au milieu pour n'importe quelle
valeur (positive, bien entendu dans ce cas) des variables x et r. Cette variabilité prend du
sens en déplaçant le point X (pour varier la valeur de x), ou en déplaçant un des points A
ou B (pour varier la valeur de r).
On a vu après tout celà qu'on pouvait faire un travail semblable avec le Salinon
d'Archimède (illustré à la même page) et c'était aussi intéressant de voir que le
déplacement du point C dans le premier lunule d'Hippocrate ne changait pas le fait qu'on
avait des aires égales dans cette figure. Ainsi dans le deuxième lunule on a pu voir des
résultats intéressants en l'explorant avec Cabri-géomètre.