FONCTIONS ET DERIVEES

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I. Fonction de référence
Fonction x → x 2 x → x 3 x → x x → 1
x
N om
Domaine de
définition
x – 3 – 2,5 – 2 – 1,5 – 1 – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
x²
x3
x
1/x
Tableau de
valeurs
Graphes
Extremum
Eléments de
symétrie de la
courbe

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II. Exercices sur les fonctions
Exercice n°1
Un maître nageur dispose d’un cordon flottant de 360 m de longueur pour délimiter un rectangle de baignade surveillée.
On note x et y les dimensions en mètres de ce rectangle et S(x) son aire en m².
1. a. Calculer cette aire pour x égal à 25 puis pour x égal 42.
b. De façon générale, exprimer y puis S(x) en fonction de x.
2. Le but de cette question est de déterminer quelle valeur donner à x pour que l’aire de baignade soit maximale.
a. A quel intervalle I appartient le nombre x ?
b. Première méthode : Utilisation de la calculatrice
En utilisant le tableur de la calculatrice, compléter le tableau suivant :
x 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90
S(x)
x 100 110 120 130 140 150 160 170 175
S(x)
Qu’observe-t-on ?
A l’aide de ce tableau et du graphe de la fonction, conjecturer la valeur de x pour laquelle l’aire est maximale.
c. Seconde méthode : Par le calcul
Démontrer que : S(x) – 16 200 = – 2 P(x) où P(x) est un polynôme du second degré à déterminer.
Démontrer que P(x) peut s’écrire sous la forme a(x – b)² où a et b sont à déterminer.
Quel est le signe de S(x) – 16 200 ? En déduire que S(x)  16 200 et que l’égalité n’est possible que pour une
valeur de x.
Exercice n°2
On introduit 50 000 poissons dans un lac artificiel. On estime que la population de poissons varie en fonction du temps et que
t années après la mise à l’eau, le nombre de poissons en milliers d’unités est donné par la formule : P(t) = 50 + 60t
1 + 0,05t
1. Calculer le nombre de poissons au bout d’un an, de quatre ans, de huit ans.
2. En combien d’années la population aura-t-elle quadruplé ? aura-t-elle été multipliée par 6 ?
3. a. Compléter le tableau suivant ( arrondir à l’unité ) :
t 0 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70
P(t)
b. A l’aide de la calculatrice conjecturer la valeur de m, plus petit nombre que P(t) ne dépassera jamais.
c. Confirmer cette conjecture en étudiant le signe de P(t) – m.

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Exercice n°3
[AB] est un segment de 10 centimètres de longueur. M est un point de [AB] distinct de A et B.
AMP et BMQ sont des triangles rectangles isocèles en P et Q.
On cherche à déterminer la position du point M pour que la distance PQ soit minimale.
On pose : AM = x ( on a donc 0 < x < 10 )
1. a. Exprimer PM² puis MQ² en fonction de x.
b. En déduire que PQ² = x² – 10x + 50.
c. Exprimer PQ en fonction de x.
2. Représenter graphiquement la fonction f définie sur ] 0 ; 10 [ par : f(x) = x
2
− 10x + 50.
En déduire la position du point M rendant la distance PQ minimale.
3. On cherche à déterminer la position de M pour que PQ = 6.
a. Déterminer graphiquement la ( les ? ) valeur(s) de x correspondante(s).
b. Résoudre ce problème par le calcul.
Exercice n°4
On dispose d'une feuille cartonnée de dimensions 24×32 avec laquelle on veut fabriquer une boîte sans couvercle.
Pour cela, on découpe à chaque coin de la feuille un carré de côté x. On obtient le patron de la boîte.
On se propose d’étudier son volume suivant les valeurs de x.
1. Préciser dans quel intervalle I peut varier x pour que la boîte soit réalisable.
2. Exprimer en fonction de x les 3 dimensions de la boîte.
3. En déduire, en fonction de x, le volume en cm3 de la boîte. On le notera V(x).
4. Compléter le tableau de valeurs suivant :
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
V(x)
5. Construire dans un repère orthogonal la représentation graphique de V(x) en fonction de x.
On placera l’origine en bas et à gauche de la feuille et on prendra pour unités :
- 1 cm sur l’axe des abscisses pour représenter une valeur de x de 1 cm
- 1 cm sur l’axe des ordonnées pour représenter un volume de 100 cm3.
6. En utilisant le graphique et la calculatrice, répondre aux deux questions suivantes :
a. Y a-t-il une valeur de x pour laquelle le volume est maximal ? Si oui, quelle est cette valeur ?
Quelles sont alors les dimensions et le volume de la boîte ?
b. Indiquer pour quelles valeurs de x on obtient une boîte dont le volume est supérieur à 1 litre.

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Exercice n°5
On considère un triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que AB = 5 cm.
Soit F le milieu de [AC] et M un point libre sur [AB].
Soit (d) la perpendiculaire à (AB) issue de M, elle coupe (BC) en E.
On s’intéresse à la fonction f qui à x = MB associe l’aire y du polygone EFAM.
1. Montrer que le polygone EFAM est un trapèze.
2. Calculer EM en fonction de x.
En déduire que f(x) = 1
2
x + 5
2(5 − x), où f(x) est l’ aire du trapèze EFAM.
3. Quel est le domaine de définition de la fonction f ?
4. Créer un tableau de valeurs de la fonction f.
5. On se propose de trouver la valeur (ou les valeurs ) x pour laquelle (ou lesquelles) l’aire est maximale.
Montrer que f(x) = 225
32 − 1 2
x − 5
4
2
et en déduire que la fonction f admet un maximum pour x = 5
4.
6. On admet que le tableau des variations de f est :
x
f (x)
…
…
…
…
…
…
Compléter ce tableau.
Exercice n°6
Dans un parterre rectangulaire ABCD, un jardinier doit semer du gazon sur un quadrilatère MNPQ de telle sorte que M soit
sur [AB], N sur [BC], P sur [CD] et Q sur [AD] avec de plus AM = BN = CP = DQ = x.
[AB] mesure 8 m et [AD] 4 m.
1. Faire une figure.
2. A quel ensemble I peuvent appartenir les nombres x ?
3. Exprimer l’aire A(x) du quadrilatère MNPQ en fonction de x.
4. Vérifier que cette aire peut s’écrire sous la forme : A(x) = 2 (x – 3)² + 14.
5. Faire l’étude du sens de variation de A sur l’ensemble I, dresser son tableau de variation, puis construire la courbe
représentant la fonction A dans un repère bien choisi.
6. Le jardinier, voulant faire des économies, voudrait que la surface à semer ait la plus petite aire possible. Déduire du
travail précédent une solution au problème du jardinier et déterminer dans ce cas l’aire de la surface qu’il doit semer.
7. Le jardinier aurait-il pu semer une surface d’aire 22 m² ? Quelle serait alors la position de M sur [AB]?
Même question pour une aire A(x) qui, en m², vérifie 16  A(x)  22.

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III. A la découverte de la dérivée
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, i , j )
Rappel : soit A et B deux points de coordonnées (xa ; ya) et (xb ; yb).
Le coefficient directeur de la droite (AB) est donné par a = yb – ya
xb – xa (on l’appelle aussi Taux d’accroissement).
Exercice n°7
1. Tracer une droite D1 passant par A (1 ; 2) et de coefficient directeur 3.
2. Tracer une droite D2 passant par B (4 ; – 1) et de coefficient directeur – 2.
3. Donnez le coefficient directeur et l’équation réduite de la droite (AB).
Exercice n°8
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x². Tracer soigneusement Cf dans un repère (unité 2cm).
Soit x0 un nombre réel. On note d
x
0
la limite en 0 (lorsqu’elle existe) du quotient f(x0 + h) – f(x0)
h
1. On prend x0 = 0. Calculer d0 et tracer sur le graphique la droite passant par A(0 ; f(0)) et de coefficient directeur d0.
2. On prend x0 = 1. Calculer d1 et tracer sur le graphique la droite passant par B(1 ; f(1)) et de coefficient directeur d1.
3. On prend x0 = – 2. Calculer d–2 et tracer sur le graphique la droite passant par C(– 2 ; f(–2)) et de coefficient directeur d–2.
4. Que pensez-vous de la position relative de chacune des droites par rapport à Cf ?
Définition : soit f une fonction définie sur une intervalle I, soit a un réel de I.
On dit que f est dérivable en a si et seulement si la limite quand h tend vers 0 du quotient f(x0+ h) – f(x0)
h existe.
Si f est dérivable en a, on note f ’(a) = lim
h → 0 f(x0 + h) – f(x0)
h
Vocabulaire : le rapport f(x0 + h) – f(x0)
h s'appelle Taux de variation de f entre a et a + h (ou Taux d’accroissement).
Exercice n°9
On considère à présent la fonction définie sur IR par f(x) = x3
Rappel : (a + b)3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3
1. Placer dans un repère (unité : 0,5 cm) les points d’abscisses 0 et 1. Montrer que f est dérivable en 0 et en 1.
Tracer ses tangentes en ces points.
2. f est-elle dérivable en tout point ? Calculer f ’(x0) où x0 est un réel quelconque.
3. Reprendre la question 1 pour les abscisses 2 ; – 1 et – 2.
4. Tracer Cf dans le repère à l’aide des éléments déjà tracés.
Exercice n°10
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l’ensemble de dérivation de f et calculer sa dérivée.
1. f(x) = k
2. f(x) = x
3. f(x) = 2x + 1
4. f(x) = ax + b
5. f(x) = x²
6. f(x) = 1
x